Time and frequency Workshop Time and Frequency uncertainty

Time and frequency Workshop Time and Frequency uncertainty propagation and GUM method Raul F. Solis B. CENAMEP AIP

LA GUM Serie JCGM 100: 2008 Evaluación de los datos de medida “Guía para la expresión de la incertidumbre de medida” • Se le conoce popularmente como GUM por “Guide for the Uncertainty Measurement”. • También toma el sentido GUM => Goma de mascar => Enredo.

LA GUM • Basada en la Recomendación 1 del Comité International des Poids et Mesures (CIPM) de 1981. • Da reglas generales para evaluar y expresar la incertidumbre en un amplio espectro de mediciones. • Realizada por expertos nominados por el BIPM, la IEC, la ISO y la OILM. • En su versión del 2008, está compuesta por 9 capítulos y 9 anexos.

LA GUM • BIPM: Bureau International des Poids et Mesures. • IUPAQ: International Union of Pure and Applied Chemistry. • IEC: International • IUPAP: International Union of Electrotechnical Commission. Pure and Applied Physics. • ISO: International Organization for Standardization. • OIML: Organisation Internationale de Métrologie Légale. • IFCC: International Federation of Clinical Chemistry and Laboratory Medicine. • ILAC: International Laboratory Accreditation Cooperation.

OBJETIVO DE LA GUM

EMPLEO Y LIMITACIONES DE LA GUM • La GUM trabaja para la mayoría de los casos donde las mediciones sean lineales y con distribuciones unimodales. • Para casos donde las distribuciones no sean lineales o sean multimodales, los resultados pueden no ser realistas. • Para manejar estos casos, se puede aplicar métodos de simulación, como el de Monte Carlo (Suplemento I de la GUM). • La GUM tiene suplementos que ayudan a trabajar con magnitudes no regulares.

APLICACIÓN DE LA GUM • Para aplicar la metodología de la GUM, hay que seguir 4 pasos fundamentales:

PASO 1: EVALUAR • Primero se deben identificar que fuentes de incertidumbre afectan la medición. • Se deben comprender de que forma estas contribuciones interactúan entre si con el sistema de medición. • Es lo que se conoce como presupuesto de incertidumbre. • Se debe poder obtener un número y su forma de distribución para poder ser evaluada.

PASO 1: EVALUAR � Las principales (no todas) fuentes de incertidumbre son: ◦ Definición incompleta del mensurando. ◦ Realización imperfecta de su definición. ◦ Muestreo no representativo. ◦ Condiciones ambientales. ◦ Resolución. ◦ Incertidumbres de patrones. ◦ Constantes o parámetros externos. ◦ Aproximaciones / suposiciones de los métodos. ◦ Variaciones en la repetitividad.

PASO 1: EVALUAR • Para realizar la evaluación de la fuentes de incertidumbre, hay que tomar en cuenta que las fuentes se dividen en: – Tipo A: contribuciones de incertidumbres basadas en datos experimentales. – Tipo B: contribuciones basadas en conocimientos previos o proyecciones de modelos.

PASO 1: EVALUAR • Si el resultado de la medición es calculado como el promedio de una serie de mediciones, se debe emplear directamente la desviación estándar (en especial en sistemas no automatizados). • La varianza de Allan describe las características de la estabilidad del oscilador, si se asegura una cadencia repetida de ventanas de tiempo.

PASO 1: EVALUAR • Las fuentes de información no estadísticas (tipo B) se obtienen de: – Conocimiento sobre el instrumento y demás elementos de la medición. – Mediciones previas. – Documentación (certificados de calibración, especificaciones técnicas del fabricante, tablas, referencias). – Experiencia del metrólogo.

PASO 2: DETERMINAR • Al obtener la evaluación y cuantificar las contribuciones de la incertidumbre, se obtiene la incertidumbre expandida. • Como segundo paso hay que combinar sus interacciones para poder analizar como en su conjunto pueden afectar, la que llamamos la determinación de la incertidumbre combinada.

PASO 2: DETERMINAR www. themegallery. com

PASO 2: DETERMINAR www. themegallery. com

PASO 2: DETERMINAR • La combinación de las incertidumbres se realiza después de conocer el modelo asociado a la medición. • Este modelo expresa la dependencia del resultado de medición con respecto de las magnitudes de entrada o componentes de incertidumbre identificados y luego cuantificados.

PASO 2: DETERMINAR • Incertidumbre combinada: • Coeficientes de sensibilidad:

PASO 3: EXPANDIR Estimación de la incertidumbre expandida: Donde k = 2 representa aproximadamente el 95% del nivel de confianza, y uc representa la incertidumbre estándar combinada.

PASO 3: EXPANDIR Obtención del factor de cobertura del intervalo de confianza Donde: Tipo A: n-1 (o equivalente) Fórmula de Welch-Satterthwaite Tipo B: ∞

PASO 3: EXPANDIR Ejemplo: Si tenemos dos componentes de incertidumbre: • u. A = 0, 5 con n-1 = 9 g. l. • u. B = 0, 8 con ∞ g. l.

PASO 3: EXPANDIR grados de libertad con por lo tanto y

PASO 4: REPORTAR • Al reportar las incertidumbres se debe recordar que al ser una estimación, no debe tener más de 2 cifras significativas. • Se debe describir claramente el método aplicado. • Hay que expresar todas las constantes y correcciones empleadas. • Siempre indicar el intervalo de confianza (k=2, 95%, 2 S, etc. ) para la medición o el rango de mediciones.

PASO 4: REPORTAR • Del ejemplo anterior: U = ± 1, 905 • Hay que redondear siempre al entero superior de la ultima cifra significativa empleada: U = ± 2 • Es preferible redondear incrementando la incertidumbre que reduciéndola. • Tomar en cuenta, que dependiendo del método aplicado, el error no puede ser inferior a la incertidumbre asociada.

PASO 4: REPORTAR

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Se piensa calibrar un cronómetro. Este cronómetro cuenta desde 0 segundos hasta 10 horas con 0, 01 de resolución. • La referencia es un oscilador de cuarzo de laboratorio calibrado. El sistema de adquisición de datos es manual y emplea una tarjeta de captura de datos sincronizada a la referencia. • El método de calibración es mediante comparación directa y está completamente validado.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Recordemos: • Primero hay que identificar las fuentes. • Segundo hay que cuantificar la incertidumbre de cada fuente. Si no se puede cuantificar, no se puede analizar. • Tercero: Combinar las incertidumbres de acuerdo a la GUM. • Y por último se debe expresar el resultado.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Primero: Identificar las Fuentes • Modelo del error de la medición: Repetibilidad de la medición Resolución del cronómetro Incertidumbre de la referencia Resolución del sistema de captura Variabilidad del operador

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Por parte del cronómetro: • Resolución del cronómetro y la estabilidad del conteo de tiempo. • Por parte del Patrón: • Trazabilidad de la referencia y la resolución del sistema de captura. • Por parte del Método empleado: • Variabilidad del Operador y repetibilidad.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Segundo: Cuantificar la incertidumbre de cada fuente • Se debe establecer cual es el valor que tienen cada uno de los aportes en la variabilidad del sistema. Lo que no puede medirse no se puede cuantizar. • Se puede incluir variabilidades que no se pueden si se realiza un análisis completo del sistema de referencia durante un tiempo prudencial.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Por parte del cronómetro: • Resolución: Capacidad mínima de registro de 0, 01 s. Su distribución es rectangular. • Repetibilidad: se obtiene de comparar la marca de tiempo del cronómetro con la del patrón. Es directamente obtenido de la dispersión de los datos obtenidos de la comparación. Para nuestro caso dio 0, 02 s y su distribución es normal con k=1.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Por parte del patrón: • Trazabilidad: el certificado de calibración indica que tiene un error de frecuencia de -11 E-08 s y su incertidumbre es de 3, 6 E-08 s con k=2. Se asume distribución normal. • Resolución: 0, 0001 segundo. Su distribución es rectangular.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Por parte del método empleado: • Operador: se define como la habilidad de adquirir una muestra cumpliendo con el requisito del sistema. Por pruebas ya realizadas el valor mínimo es de 0. 03 segundos para tomas de datos cada 10 segundos. La distribución rectangular se asume.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Por parte del método empleado: • Hay que aclarar que para los valores de las condiciones ambientales, entorno, deriva del sistema, envejecimiento, etc. Se incluyen dentro de la repetibilidad del sistema que está incluido en la incertidumbre generada por el operador. • Esto es debido a proceso de validación en el cual se hicieron las pruebas pertinentes para obtener los valores de dispersión del sistema en todo caso, en todo momento.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Resumiendo: • Resolución (Res. OBJ): 0, 01 [s] (D. R. ). • Repetibilidad (Rep. OBJ): 0, 02 [s] (D. N k=1). • Trazabilidad (Ref. TRAZ): e=-11 E-08 [s]; 3, 6 E-08 [s] (D. N. k=2). • Resolución (Res. REF): 0, 0001 [s] (D. R. ). • Operador (Op): 0, 03 [s] (D. R. ).

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Determinamos el error • TObj es el tiempo indicado por el cronómetro. • TRef es el tiempo indicado por la referencia. • C es la corrección de la calibración.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN Referencia Dato Hora Minuto Segundo 1 0 0 0, 1000 2 0 0 10, 1300 3 0 0 20, 1100 4 0 0 30, 0900 5 0 0 40, 1300 6 0 0 50, 1200 7 0 1 0, 1400 8 0 1 10, 1400 9 0 1 20, 1400 10 0 1 30, 1500 Promedio -0, 125 Segundo Desviación estándar 0, 020 Segundo Hora 0 0 0 0 0 Objeto Error Minuto Segundo 0 0 -0, 1000 0 10 -0, 1300 0 20 -0, 1100 0 30 -0, 0900 0 40 -0, 1300 0 50 -0, 1200 1 0 -0, 1400 1 10 -0, 1400 1 20 -0, 1400 1 30 -0, 1500

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Al aplicar la corrección al error tenemos que:

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN Fuente Incertidumbre (s) Tipo de Distribución Contribución (s) Peso (%) Uoresi 0, 01 B Rectangular 2, 89 E-03 7, 67 Upopf 0, 03 B Rectangular 1, 73 E-02 46, 00 Upati 3, 6 E-08 B Normal (k=2) 1, 82 E-08 0, 00 Upresi 0, 0001 B Rectangular 2, 89 E-05 0, 08 Urep 0, 02 A Normal (k=1) 1, 74 E-02 46. 26

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Tercero: Aplicar la GUM • Obtener los coeficientes de sensibilidad del sistema derivando el modelo del error

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Obtener la combinación de la suma cuadrática de los componentes y sus coeficientes de sensibilidad: C. i. uc *C. i. (s) uc (s) 1 1 1 2, 89 E-03 1, 73 E-02 1, 82 E-08 2, 89 E-05 1, 74 E-02 0, 025

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Obtener los grados de libertad individuales y los grados de libertad efectivos mediante la Fórmula de Welch-Satterthwaite. • Obtener mediante la fórmula de la distribución t inversa de Student el 95% del factor de cobertura. • Obtener el factor de cobertura y multiplicarlo por la incertidumbre estándar combinada.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN Vi [ui/uc]4/vi 5000 3, 71 E-08 50 4, 81 E-03 50 5, 84 E-27 5000 3, 71 E-16 9 2, 73 E-02 Veff Factor de cobertura k U (s) 31, 12 2, 08 0, 052 0, 06

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN Fuente Incertidumbre Tipo (s) Tipo de Distribución Contribución Peso (%) (s) C. i. uc *C. i. (s) uc (s) Vi [ui/uc]4/vi Uoresi 0, 01 B Rectangular 2, 89 E-03 7, 67 1 2, 89 E-03 5000 3, 71 E-08 Upopf 0, 03 B Rectangular 1, 73 E-02 46, 00 1 1, 73 E-02 50 4, 81 E-03 Upati 3, 6 E-08 B Normal (k=2) 1, 82 E-08 0, 00 1 1, 82 E-08 0, 025 50 5, 84 E-27 Upresi 0, 0001 B Rectangular 2, 89 E-05 0, 08 1 2, 89 E-05 5000 3, 71 E-16 Urep 0, 02 A Normal (k=1) 1, 74 E-02 46, 26 1 1, 74 E-02 9 2, 73 E-02 Veff 31, 12 Factor de cobertura k 2, 08 U (s) 0, 052 U (s) 0, 06

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE LA MEDICIÓN • Y finalmente realizar la expresión final: • Al tener la incertidumbre expandida (U) y el error del sistema (ε), la expresión final de la calibración queda:

Thanks rsolis@cenamep. org. pa