Thema Polyeder bei Euklid und heute Euklids Bcher

Thema: Polyeder bei Euklid und heute: Euklids Bücher 11&13; Platonische Körper Referent: Tobias Bohn Dozent: Prof. Dr. Moritz Weber Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen

Gliederung 1. Schwerpunkte der Bücher 2. Grundlegendes zu Buch 11 und 13 3. Buch 11 • Definitionen Teil I • Von der Planimetrie zur Stereometrie • Definitionen Teil II • Polyeder bei Euklid vs. heute • Einfache, konvexe und reguläre Polyeder 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 2

Gliederung 4. Platonische Körper • Zur Geschichte der platonischen Körper • In-, Um- und Kantenkugeln • Dualitäten 5. Buch 13 • Definitionen • Beweis von Euklid • Beweis durch Eulersche Polyederformel 6. Ausblick auf Platonische Körper im n-dimensionalen 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 3

1. Schwerpunkte der Bücher 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 4

1. Schwerpunkte der Bücher 17. 11. 2020 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 5

2. Grundlegendes zu Buch 11 und 13 von Euklid 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 6

2. Grundlegendes zu Buch 11 und 13 von Euklid Stereometrie/Raumgeometrie: Ø Nicht mehr zweidimensional, sondern dreidimensional Ø Geometrische Gebilde statt ebene Geometrie (Planimetrie) 17. 11. 2020 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 7

3. Buch 11 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 8

3. Buch 11 – Definitionen Teil I 1. Ein Körper hat Länge, Breite und Höhe. 9. Ein Körper ist einem anderen ähnlich, wenn er von gleich vielen ähnlichen Flächen begrenzt wird. 13. Ein Prisma wird von zwei gegenüberliegenden ähnlichen und gleichen Dreiecken und drei Parallelogrammen begrenzt. 14. Eine Kugel wird von einem Halbkreises erzeugt, der um seinen festgehaltenen Durchmesser einmal bis zur Ausgangslage gedreht wird. 18. Ein Kegel wird von einem rechtwinkligen Dreieck erzeugt, das um eine, der den rechten Winkel bildenden, festgehaltene Seite einmal bis zur Ausgangslage gedreht wird. 21. Ein Zylinder wird von einem Rechteck erzeugt, das um eine festgehaltene Seite bis zur Ausgangslage gedreht wird. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 9

3. Buch 11 – Von der Planimetrie zur Stereometrie Analogien: Wir bezeichnen zwei mathematische Objekte (z. B. : geometrische Figuren, algebraische Terme, Lösungsverfahren, . . . ) als analog zueinander, wenn sie in den Beziehungen zueinander entsprechender Elemente übereinstimmen. Beispielanalogien: Kreis → Kugel Parallelogramm → Parallelepipede (Spat) Quadrat → Würfel 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 10

3. Buch 11 – Von der Planimetrie zur Stereometrie Verdeutlichung einer Analogie am Beispiel Kreis/Kugel: 23. 02. 2021 Kreis Kugel Kreislinie = {P | |PM| = r} Kugeloberfläche = {P | |PM| = r} Kreisfläche = {P | |PM| ≤ r} Vollkugel = {P | |PM| ≤ r} Ein Kreis ist durch drei nicht-kollineare Punkte bestimmt. Eine Kugel ist durch nicht-planare Punkte bestimmt. Alle Kreise sind zueinander ähnlich. Alle Kugeln sind zueinander ähnlich. Ein Kreis und eine Gerade haben keinen oder zwei Punkte (Passante/Tangente/Sekante) gemeinsam. Eine Kugel und eine Gerade haben keinen oder zwei Punkte (Passante/Tangente/Sekante) gemeinsam. Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 11

3. Buch 11 – Definitionen Teil II 25. Ein Würfel wird von sechs gleichen Quadraten begrenzt. 26. Ein Tetraeder wird von vier gleichen gleichseitigen Dreiecken begrenzt. 27. Ein Oktaeder wird von acht gleichen gleichseitigen Dreiecken begrenzt. 28. Ein Ikosaeder wird von zwanzig gleichen gleichseitigen Dreiecken begrenzt. 29. Ein Dodekaeder wird von zwölf gleichen, gleichseitigen und gleichwinkligen Fünfecken begrenzt. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 12

3. Buch 11 – Polyeder bei Euklid vs. heute Euklid: • Betrachtet nur bestimmte geometrische Körper (Polyeder) 23. 02. 2021 Name Tetraeder Art der Seitenfläche Gleichseitige Dreiecke Anzahl Ecken/Kanten einer Fläche 3 Anzahl Flächen/Kanten in einer Ecke 3 Anzahl Ecken 4 Anzahl Kanten 6 Anzahl Flächen 4 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 13

3. Buch 11 – Polyeder bei Euklid vs. heute Euklid: • Betrachtet nur bestimmte geometrische Körper (Polyeder) 23. 02. 2021 Name Hexaeder Art der Seitenfläche Quadrate Anzahl Ecken/Kanten einer Fläche 4 Anzahl Flächen/Kanten in einer Ecke 3 Anzahl Ecken 8 Anzahl Kanten 12 Anzahl Flächen 6 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 14

3. Buch 11 – Polyeder bei Euklid vs. heute Euklid: • Betrachtet nur bestimmte geometrische Körper (Polyeder) 23. 02. 2021 Name Oktaeder Art der Seitenfläche Gleichseitige Dreiecke Anzahl Ecken/Kanten einer Fläche 3 Anzahl Flächen/Kanten in einer Ecke 4 Anzahl Ecken 6 Anzahl Kanten 12 Anzahl Flächen 8 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 15

3. Buch 11 – Polyeder bei Euklid vs. heute Euklid: • Betrachtet nur bestimmte geometrische Körper (Polyeder) 23. 02. 2021 Name Dodekaeder Art der Seitenfläche Regelmäßige Fünfecke Anzahl Ecken/Kanten einer Fläche 5 Anzahl Flächen/Kanten in einer Ecke 3 Anzahl Ecken 20 Anzahl Kanten 30 Anzahl Flächen 12 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 16

3. Buch 11 – Polyeder bei Euklid vs. heute Euklid: • Betrachtet nur bestimmte geometrische Körper (Polyeder) 23. 02. 2021 Name Ikosaeder Art der Seitenfläche Gleichseitige Dreiecke Anzahl Ecken/Kanten einer Fläche 3 Anzahl Flächen/Kanten in einer Ecke 5 Anzahl Ecken 12 Anzahl Kanten 30 Anzahl Flächen 20 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 17

3. Buch 11 – Polyeder bei Euklid vs. heute Heute: Ein (dreidimensionales) Polyeder (auch Vielflach, Vielflächner oder Ebenflächner) ist im engeren Sinne eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, welche ausschließlich von geraden Flächen (Ebenen) begrenzt wird. • Kann sogar Durchbohrungen und innere Hohlräume haben • Muss keinerlei Symmetrie aufweisen • Beispiele aus dem Alltag: Spielwürfel, Häuser, Kristalle, Schränke etc. • Keine Polyeder sind hingegen Kugeln, Kegel, … , da sie gekrümmte Randflächen besitzen 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 18

3. Buch 11 – Einfache, konvexe und reguläre Polyeder Einfache Polyeder: Ein einfaches Polyeder besitzt keine „Löcher“. Das bedeutet, dass sich seine Oberfläche stetig in eine Kugeloberfläche deformieren lässt. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 19

3. Buch 11 – Einfache, konvexe und reguläre Polyeder Konvexe Polyeder: Ein Polyeder ist konvex, wenn zu je zwei Punkten aus dem Inneren des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen im Innern des Polyeders verläuft. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 20

3. Buch 11 – Einfache, konvexe und reguläre Polyeder Reguläre Polyeder: Ein konvexes Polyeder, das aus lauter kongruenten (deckungsgleichen), regulären Polygonen (n-Ecken) zusammengesetzt ist, von denen an jeder Ecke gleich viele aneinander stoßen, ist ein reguläres Polyeder bzw. ein Platonischer Körper. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 21

3. Buch 11 – Einfache, konvexe und reguläre Polyeder Reguläre Polyeder: Ein Platonischer Körper ist ein Polyeder mit den Eigenschaften: (1) Der Körper ist konvex. (2) Alle Begrenzungsflächen sind regelmäßige Vielecke. (3) Alle Begrenzungsflächen sind kongruent. (4) An jeder Ecke stoßen gleich viele Kanten zusammen. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 22

3. Buch 11 – Einfache, konvexe und reguläre Polyeder Reguläre Polyeder: Wir betrachten Beispiele, die 3 der 4 Eigenschaften erfüllen, um uns klar zu werden, wie wichtig jede einzelne Eigenschaft ist: 23. 02. 2021 (1) Darf nicht fehlen (3) Darf nicht fehlen (2) Darf nicht fehlen (4) Darf nicht fehlen Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 23

4. Platonische Körper 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 24

4. Platonische Körper – Zur Geschichte • Regelmäßigkeit hatte für die Menschen des Altertums etwas Göttliches. • Nach Aristoteles gibt es genau fünf Elemente: Feuer, Wasser, Luft, Erde und den Äther (= Himmel oder Geist) • Außerdem gibt es fünf Vokale: A, E, I, O, U. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 25

4. Platonische Körper – Zur Geschichte Platon‘s Werk Timaios: A – Feuer – Tetraeder E – Luft – Oktaeder I – Erde – Hexaeder O – Wasser – Ikosaeder U – Himmel – Dodekaeder 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 26

4. Platonische Körper – Zur Geschichte Johannes Kepler‘s Mysterium Cosmographicum: "Die Erdbahn ist das Maß für alle anderen Bahnen. Ihr umschreibe ein Dodekaeder; dies umspannende Sphäre ist der Mars. Der Marsbahn umschreibe ein Tetraeder; dieses umspannende Sphäre ist der Jupiter. Der Jupiterbahn umschreibe einen Würfel; diesen umspannende Sphäre ist der Saturn. Nun lege in die Erdenbahn ein Ikosaeder; diesen einbeschriebene Sphäre ist die Venus. In die Venusbahn lege ein Oktaeder; diesem einbeschriebene Sphäre ist der Merkur. Da hast du den Grund für die Anzahl der Planeten. “ 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 27

4. Platonische Körper – In-, Um- und Kantenkugel Exkurs: Symmetrie der platonischen Körper Platonische Körper zeigen größtmögliche Symmetrie • Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d. h. , jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Kongruenzabbildung des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden. Man sagt dazu: Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Ecken (wie auch auf den Kanten und Flächen) → Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 28

4. Platonische Körper – In-, Um- und Kantenkugel Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat • eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt und • eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie • eine Kantenkugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen. → gemeinsamer Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt des platonischen Körpers 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 29

4. Platonische Körper – Dualitäten Zu jedem konvexen Polyeder lässt sich ein Dualkörper konstruieren. Bei platonischen Körpern erhält man diesen, indem man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen miteinander verbindet. Es gilt: 23. 02. 2021 1. duale Polyeder genauso viele Ecken, wie das Ausgangspolyeder Flächen 2. Dualkörper genauso viele Flächen, wie der Ausgangskörper Ecken 3. Dualpolyeder und sein Ausgangspolyeder die gleiche Anzahl an Kanten Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 30

4. Platonische Körper – Dualitäten 23. 02. 2021 Name Anzahl Kanten Anzahl Flächen Anzahl Ecken Tetraeder 6 4 4 Hexaeder 12 6 8 Oktaeder 12 8 6 Dodekaeder 30 12 20 Ikosaeder 30 20 12 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 31

4. Platonische Körper – Dualitäten Besonderheit bei platonischen Körpern: 1. Ausgangs- und Dualkörper haben denselben geometrischen Schwerpunkt 2. Dualköper eines platonischen Körpers ist auch selbst ein platonischer Körper 3. Wiederholt man Dualkörperkonstruktion und konstruiert den dualen Körper zum Dualkörper, so erhält man einen verkleinerten Ausgangskörper – also einen platonischen Körper, der durch zentrische Streckung in den Ausgangskörper überführt werden kann 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 32

4. Platonische Körper – Dualitäten Tetraeder selbstdual: 4 Ecken, 6 Kanten, 4 Flächen 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 33

4. Platonische Körper – Dualitäten Hexaeder dual zu Oktaeder: 8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen 6 Ecken, 12 Kanten, 8 Flächen 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 34

4. Platonische Körper – Dualitäten Dodekaeder dual zu Ikosaeder: 20 Ecken, 30 Kanten, 12 Flächen 12 Ecken, 30 Kanten, 20 Flächen 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 35

5. Buch 13 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 36

5. Buch 13 - Definition 18 a. Außer den fünf erwähnten Körpern kann kein Polyeder konstruiert werden, das von gleichen, gleichseitigen und gleichwinkligen Flächen begrenzt wird. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 37

5. Buch 13 – Beweis von Euklid • Um Polyederecke bilden zu können, benötigt man mind. 3 Polygone • Voraussetzung: Summe der Winkel zwischen den Kanten < 360º, da sonst keine konvexe Ecke entsteht 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 38

5. Buch 13 – Beweis von Euklid Polygon: gleichseitiges Dreieck • einfachste Begrenzungsfläche für ein regelmäßiges mit einem Innenwinkel von 60° Ø 3 gleichseitige Dreiecke → Tetraederecke mit 180° Ø 4 gleichseitige Dreiecke → Oktaederecke mit 240° Ø 5 gleichseitige Dreiecke → Ikosaederecke mit 300° 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 39

5. Buch 13 – Beweis von Euklid Polygon: Quadrat (Innenwinkel 90°) Polygon: regelmäßiges Fünfeck (Innenwinkel 108°) 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 40

5. Buch 13 – Beweis von Euklid Folgerung: • Sechs gleichseitige Dreiecke • Vier Quadrate Genau 360 °, sodass keine Ecke entsteht • Drei regelmäßige Sechsecke • Vier regelmäßige Fünfecke • Drei regelmäßige Siebenecke überschreiten 360 ° • Etc… 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 41

5. Buch 13 – Beweis durch Eulersche Polyederformel Die Eulersche Polyederformel Im Jahr 1983 wurde in der DDR anlässlich des 200. Todestages des Mathematikers Leonhard Euler eine Briefmarke herausgegeben, die neben einem Bild von Euler die Eulersche Polyederformel und ein Ikosaeder zeigt. 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 42

5. Buch 13 – Beweis durch Eulersche Polyederformel Die Formel besagt Folgendes: In einem einfachen Polyeder möge E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flächen sein. Dann ist immer: E–K+F=2 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 43

5. Buch 13 – Beweis durch Eulersche Polyederformel Vorwissen: Reguläres Polyeder… • hat F Flächen, dessen jede ein reguläres n-Eck ist • an jeder E Ecke treffen r Kanten zusammen Wir zählen die Kanten nach den Flächen ab: (2) n. F = 2 K . . und einmal nach den Ecken: (3) r. E = 2 K 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 44

5. Buch 13 – Beweis durch Eulersche Polyederformel Eulersche 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen Polyederformel 45

5. Buch 13 – Beweis durch Eulersche Polyederformel (*) 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 46

5. Buch 13 – Beweis durch Eulersche Polyederformel 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 47

5. Buch 13 – Beweis durch Eulersche Polyederformel 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 48

6. Ausblick auf Platonische Körper im n-dimensionalen 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 49

6. Ausblick auf platonische Körper im n-dimensionalen Beispiel: n = 4 (vierdimensionaler Raum) • Neben Ecken, Kanten und Seiten besitzen vierdimensionale Objekte auch noch dreidimensionale Zellen • So wie die Seitenflächen eines Würfels Quadrate sind, wird ein vierdimensionales Objekt von dreidimensionalen Körpern begrenzt • Fachbegriff: vierdimensionale, durch Körper begrenzte Objekte = Polychora 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 50

6. Ausblick auf platonische Körper im n-dimensionalen Platonische Körper im vierdimensionalen Raum • Zu jedem der fünf regulären dreidimensionalen Körper eine vierdimensionale Entsprechung 1. Zum Tetraeder den 5 -Zeller (Pentachoron) 2. Zum Hexaeder den 8 -Zeller (Tesserakt) 3. Zum Oktaeder den 24 -Zeller (Ikositetrachor) 4. Zum Dodekaeder den 120 -Zeller (Hekatonikosachor) 5. Zum Ikosaeder den 600 -Zeller (Hexakosichor) + ein weiteres reguläres 4 -Polytop: den 16 -Zeller (Hexadekachor) 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 51

6. Ausblick auf platonische Körper im n-dimensionalen Veranschaulichung des 24 -Zellers 23. 02. 2021 Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 52

6. Ausblick auf platonische Körper im n-dimensionalen Platonische Körper im fünfdimensionalen Raum – auch in allen Räumen höherer Dimension • Nur noch 3 reguläre Polytope 23. 02. 2021 1. Als Simplex das Hypertetraeder 2. Als Maßpolytop den Hyperkubus 3. Als Kreuzpolytop dessen Dual, das Hyperoktaeder Proseminar: Beispiele geometrischer Strukturen 53

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