Thema 1 Wiskunde rekenen of problemen oplossen Bruno

Thema 1 Wiskunde, rekenen of problemen oplossen? Bruno Sagaert - OVSG Fien Depaepe – K. U. Leuven Jos Willems – AKOV

Bruno Sagaert Begeleiding OVSG

READER 2010 HOOFDREKENEN HOOFDSTUK 1 ONDERZOEK

1 Onderzoeksvragen 1 OVSG-toets 2010 hoofdrekenen § Hanteren leerlingen standaardprocedures? § Hanteren ze flexibele procedures waar dit is aangewezen? § Gebruiken ze visuele hulpmiddelen? § Welke procedures leiden tot correcte resultaten? § Is er een correlatie tussen bepaalde procedures en goede resultaten? § Waarop maken leerlingen veel fouten? § Welke fouten maken die leerlingen dan? Kwantitatieve analyse van 15 hoofdrekenoefeningen bij 490 leerlingen Kwalitatieve analyse van 10 oefeningen bij 292 leerlingen

2 Analyse 1 Optellen Vraag 2 0, 125 + 2 = 5 59. 6 23. 0 8. 0 1. 4 P 1 P 2 P 3 0. 9 P 4 P 5 6. 1 P 6 0. 9 P 7 Legenda P 1: breuk kommagetal P 2: kommagetal breuk via kgv (40) P 3: idem 2, maar andere noemer P 4: idem 2, maar tiendelige breuk P 5: idem 2, 3 of 4 maar uitkomst omzetten naar kommagetal P 6: geen tussenuitkomsten P 7: andere § Meer dan de helft van de leerlingen zet de breuk om naar een kommagetal. Rekenen de leerlingen liever met kommagetallen dan met breuken?

2 Analyse 1 Optellen Vraag 2 0, 125 + 2 = 5 53. 2 19. 0 5. 1 3. 8 F 1 Legenda F 1: niet opgelost F 2: geen tussenuitkomsten F 3: fout in goed gekozen procedure F 4: keuze van verkeerde procedure F 5: fout tegen nauwkeurigheid F 2 F 3 F 4 F 5 § Een eenvoudige oefening, toch maakt 30% van de leerlingen een fout. § Wie een fout maakt, kiest meestal een goede procedure maar maakt daarbij een rekenfout. § Het niet noteren van tussenuitkomsten leidt ook tot fouten. § Maken leerlingen rekenfouten omdat ze geen tussenuitkomsten noteren?

2 Analyse 1 Optellen Vraag 2 0, 125 + 2 = 5

2 Analyse 2 Aftrekken Vraag 4 1 000 – 100 = fout; 43. 9% correct; 56. 1% § Bijna 44% maakt een fout Moeilijke oefening? § Is aftrekken moeilijker dan optellen?

2 Analyse 2 Aftrekken Vraag 4 1 000 – 100 = 75. 1 Legenda P 1: aftrekker splitsen P 2: geen tussenuitkomsten genoteerd P 3: andere 22. 0 2. 9 P 1 P 2 P 3

2 Analyse 2 Aftrekken Vraag 4 1 000 – 100 =

2 Analyse 2 Aftrekken Vraag 4 1 000 – 100 = Legenda F 1: niet opgelost F 2: geen tussenuitkomsten F 3: fout in goed gekozen procedure F 4: keuze van verkeerde procedure F 5: fout tegen nauwkeurigheid 53. 8 26. 1 8. 4 10. 9 0. 8 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 § Vooral veel rekenfouten in goed gekozen procedure (splitsen aftrekker) § Niet noteren van tussenuitkomsten leidt tot fouten!? § Rekenen met grote getallen met nullen is moeilijk.

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 8 1 x 4= 4 fout; 22. 4% correct; 77. 6%

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 8 1 x 4= 4 28. 7 26. 5 27. 4 9. 4 8. 1 Legenda P 1: toepassen commutativiteit P 2: visuele voorstelling gebruiken P 3: toepassen gelijkwaardigheid ¼ x 4 = ¼ van 4 P 4: breuk kommagetal P 5: geen tussenuitkomsten P 6: andere 0. 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 § Ruim ¼ van de leerlingen ‘ziet’ direct de uitkomst. § Ruim ¼ van de leerlingen vervangt ¼ door 0, 25. § Ruim ¼ van de leerlingen past de commutativiteit toe.

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 8 1 x 4= 4 40. 6 26. 1 20. 3 13. 0 Legenda F 1: niet opgelost F 2: geen tussenuitkomsten F 3: fout in goed gekozen procedure F 4: keuze van verkeerde procedure F 5: fout tegen nauwkeurigheid 0. 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 § 40% noteert geen tussenuitkomsten. § Ruim ¼ maakt een fout in een goed gekozen procedure, vooral dan bij breuk vervangen door kommagetal. § 1/5 kiest een verkeerde procedure.

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 9 0, 5 x 0, 5 = fout; 28. 8% correct; 71. 2%

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 9 0, 5 x 0, 5 = 43. 5 21. 8 2. 8 P 1 23. 1 4. 6 0. 0 P 2 2. 8 1. 4 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 Legenda P 1: kommagetallen breuken P 2: gebruik van visuele voorstelling P 3: toepassen gelijkwaardigheid 0, 5 x 0, 5 = ½ x ½ = ½ van ½ P 4: toepassen rekenvoordeel: vermenigvuldigen met 0, 5 = delen door 2 P 5: compenseren (5 x 5) P 6: waarde getallen behouden (5 t x 5 t) P 7: geen tussenuitkomsten P 8: andere § Ruim 40% noteert geen tussenuitkomsten § Daarnaast vooral: compenseren en toepassen rekenvoordeel

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 9 0, 5 x 0, 5 = Legenda F 1: niet opgelost F 2: geen tussenuitkomsten F 3: fout in goed gekozen procedure F 4: keuze van verkeerde procedure F 5: fout tegen nauwkeurigheid 55. 3 22. 4 13. 2 5. 3 3. 9 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 § Het niet noteren van tussenuitkomsten leidt tot fouten. § Ruim 1/5 maakt een fout in een goed gekozen procedure: vooral het compenseren (komma’s wegdenken) leidt tot fouten.

Het Bronnenboek

2 Analyse 4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ? 15 x 49 = fout; 37. 6% correct; 62. 4%

2 Analyse 4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ? 45. 7 17. 0 14. 4 18. 1 2. 7 P 1 P 2 P 3 2. 1 P 4 P 5 Legenda P 1: vermenigvuldiger splitsen P 2: vermenigvuldigtal splitsen P 3: beide factoren splitsen P 4: werken met ‘mooie’ getallen (compenseren) P 5: geen tussenuitkomsten P 6: andere P 6 § Bijna de helft splitst de vermenigvuldiger. § Veel minder: splitsen vermenigvuldigtal of splitsen beide factoren. § Maar 17% ‘compenseert’ (bv. 15 x (50 – 1) ) komt toch veelvuldig voor in de methodes.

2 Analyse 4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ? 27. 9 25. 0 18. 3 15. 4 F 1 13. 5 F 2 F 3 F 4 Legenda F 1: niet opgelost F 2: geen tussenuitkomsten F 3: fout in goed gekozen procedure F 4: keuze van verkeerde procedure F 5: fout tegen nauwkeurigheid F 5 § 25% fouten bij niet noteren van tussenuitkomsten § 18 % kiest een verkeerde procedure. § 27, 9% hanteert een juiste procedure (vooral splitsen van de vermenigvuldiger), maar gaat in de fout.

2 Analyse 4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ?

3 Wat hebben we geleerd? § Noteren van tussenuitkomsten Ø Gemiddeld 30% van de leerlingen noteert geen tussenuitkomsten. Ø Bij 7, 5% leidt dit tot fouten. Zijn de leerlingen het niet gewoon om tussenuitkomsten te noteren? Vragen / eisen we dit van de leerlingen?

3 Wat hebben we geleerd? § Standaardprocedures Ø Ruim 50% van de leerlingen hanteert standaardprocedures. Ø Meestal leidt dit tot een correct antwoord (84%). Flexibel rekenen zien we veel minder toegepast worden. Is het aanleren van en werken met standaardprocedures ‘standaard’ in ons wiskundeonderwijs?

3 Wat hebben we geleerd? § Procedures die vlugger leiden tot een correct resultaat Ø Standaardprocedures Ø Breuk omzetten naar kommagetal Ø Toepassen van de commutativiteit

3 Wat hebben we geleerd? § Gebruik van visuele hulpmiddelen Ø Wordt nagenoeg niet toegepast Niet echt ingeburgerd? Vinden leerlingen dit moeilijk? Eerder in de lagere leerjaren?

Fien Depaepe Wetenschappelijk onderzoek, KULeuven

Problemen oplossen in het Ba. O ▪ Positieve resultaten ▪ Gewenste veranderingen ▫ Zoekstrategieën ▫ Betekenisvolle toepassingssituaties ▫ Opvattingen en attitudes

1. Zoekstrategieën ▪ Goed ingeburgerd op alle niveaus ▪ Suggestie: niet enkel “wat”, maar ook “hoe” en “waarom”

Illustratie Om een vierkant grasplein met een zijde van 40 meter te maaien, heeft tuinman Jef 3 uur nodig. Hoeveel uur zal hij ongeveer nodig hebben om een ander vierkant grasplein te maaien met een zijde die dubbel zo lang is?

2. Betekenisvolle toepassingssituaties ▪ Realistische contexten ▪ Suggestie: ▫ Naast standaardopgaven ook “probleem”opgaven ▫ Valoriseren van ervaringskennis – Opbouw wiskundig model – Interpretatie uitkomst

Illustratie

Illustratie

3. Opvattingen en attitudes ▪ Meerdere oplossingswegen per opgelost vraagstuk ▪ Suggestie: ▫ Expliciteren van gewenste opvattingen/attitudes ▫ Installeren van overeenkomstige praktijken

Contactgegevens ▪ Fien Depaepe Centrum voor onderwijsbeleid, vernieuwing en lerarenopleiding KULeuven fien. depaepe@ped. kuleuven. be

Jos Willems AKOV

Rekenen, wiskunde of problemen oplossen? ▪ Aandachtspunten ▫ betekenisvolle herleidingen ▫ omtrek, oppervlakte en volume ▪ Oplossen problemen in het secundair onderwijs

Betekenisvolle herleidingen (1) ▪ 2009: 41% , 2002: 56% ▪ Basisopgave (67%) 1 ananas ? ananassen 400 ml sap; 2 liter sap ▪ Bijkomende opgave (29%) 23 140 000 m² = … km²

Betekenisvolle herleidingen (2) Oorzaken : systematiek? ▪ hm, dam ▪ herleidingstabel ▫ onvolledig ▫ zelf opstellen km 100 m 10 m m dm cm mm

Omtrek, oppervlakte, volume (1) ▪ Dimensieprobleem ▪ Illusie van lineariteit (De Bock e. a. ) X 3 6 ml ? ml

Omtrek, oppervlakte, volume (2) ▪ Oorzaken illusie van lineariteit: ▫ ▫ intuïtie overtuiging ‘elke toename is lineair’ hiaten in de kennis puur baseren op formules ▪ Hoe hieraan werken? ▫ uittesten ▫ verspreiden in de tijd ▪ Ook voor omtrek, oppervlakte, volume?

Oplossen van problemen (1) ▪ Van Nijlen (2010): ▫ B-stroom, vragen peilingsonderzoek ▫ kale opgaven en contextopgaven meten niet dezelfde wiskunde ▫ andere vaardigheden zijn vereist

Oplossen problemen (2): Ba. O Verschaffel e. a. (1998)

Oplossen problemen (3): Singapore

Oplossen problemen: Se. O ▪ B-stroom: instrumentele vaardigheden ▪ A-stroom: algebraïsche methoden ▪ Leerlijn vanuit basisonderwijs doortrekken? ▫ B-stroom: wiskundig redeneren? ▫ A-stroom: alternatief voor / motiveren van algebraïsche methoden? ▫ gemengde oefeningen, oplossingswijzen?

Elementen voor het debat 1 a Probleemoplossen voor iedereen? 1 b Gemengde oefeningen 1 c Zoekstrategieën 1 d Reflecteren 1 e Betekenisvolle herleidingen 1 f Omtrek, oppervlakte en volume