Testes de hiptese com uma amostra ESTATSTICA INFERENCIAL

Testes de hipótese com uma amostra ESTATÍSTICA INFERENCIAL

Testes de hipóteses para média (amostras grandes) Declare afirmação verbal matemáticamente. Identifique hipóteses nula e alternativa. v afirme H₀ e Hₐ. 1. Especifique o nível de significância. v Identifique α 2. e as

Testes de hipóteses para média (amostras grandes) 3. Determine a padronizado. estatística do teste 4. Encontre a área que corresponde a z. v Use a tabela de Padrão Normal.

Testes de hipóteses para média (amostras grandes) 5. Encontre o valor P: Para um teste unicaudal à esquerda, P=(área na cauda esquerda) b. Para um teste unicaudal à direita, P=(área na cauda direita) c. Para um teste bicaudal, P=(área na cauda da estatística do teste) a.

Testes de hipóteses para média (amostras grandes) Tome uma decisão para rejeitar ou falhar em rejeitar a hipótese nula. v Rejeitar H₀ se o valor P for menor ou igual a α. Caso contrário, falhe em rejeitar H₀. 6. 7. Interprete a decisão no x contexto da afirmação original.

Exercício proposto 1 � Em um anúncio, uma pizzaria afirma que a média de seu tempo de entrega é menor que 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem média amostral de 28, 5 minutos e desvio padrão de 3, 5 minutos. Há evidência suficiente para apoiar a afirmação em α=0, 01? Use o valor P.

Continuando. . . � Solução: � A afirmação é “a média de seu tempo de entrega é menor que 30 minutos”. Então as hipóteses nula e alternativa são: � H₀: μ ≥ 30 minutos � Hₐ: μ < 30 minutos(afirmação) �O nível de confiança é α =0, 01.

Continuando. . . �A estatística do teste padronizado é: � Na tabela 4, a área correspondente a z=2, 57 é 0, 0051. � Como esse teste é um teste unicaudal à esquerda, o valor de P é igual a área esquerda de z=-2, 57.

Continuando. . . � Então, P=0, 0051. Pelo fato do valor P ser menos que α=0, 01, você deve rejeitar a hipótese nula. Teste unicaudal à esquerda H₀: �� ≥ 30 minutos Hₐ: �� < 30 minutos (afirmação) A área à esquerda de z= -2, 57 é P=0, 0051 z -3 -2 -1 Z=-2, 57 0 1 2 3

Continuando. . . � Interpretação: � No nível de significância 1%, você tem evidência suficiente para concluir que a média do tempo de entrega é menor que 30 minutos.

Exercício proposto 2 � Você acha que a informação do investimento médio de franquia mostrada no gráfico é incorreta, então você seleciona aleatoriamente 30 franquias e determina o investimento necessário para cada. A média amostral de investimento é $135. 000 com desvio padrão de $30. 000. Há evidência suficiente para apoiar sua afirmação em α=0, 05. Use o valor P.

Continuando. . . Porcentagens de respostas �. Investimento de franquias 50 43% 40 41% Investimento médio é $143. 260 30 20 16% 10 Menos que $100. 000 ou mais Não sabe/não responde

Regiões de rejeição e valores críticos � Outro método para decidir se rejeita a hipótese nula é determinar se a estatística do teste padronizada está dentro de uma amplitude de valores chamada de região de rejeição da distribuição de amostragem.

Definição � Uma região de rejeição (ou região crítica) da distribuição amostral é a amplitude de valores para a qual a hipótese nula não é provável. Se uma estatística de teste está nessa região, a hipótese nula é rejeitada. Um valor crítico Z₀ separa a região de rejeição da região de não rejeição.

Resumo Encontrando os valores críticos em uma distribuição normal 1. Especifique o nível de significância α. 2. Decida se o teste é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. 3. Encontre o(s) valor(es) crítico(s) z₀. Se o teste de hipótese for: � a. Caudal à esquerda, encontre o z – escore que corresponda à área de α.

Continuando. . . Caudal à direita, encontre o z – escore que corresponda à área 1 - α. c. Bicaudal, encontre o z – escore que corresponda a ½α e 1 - ½α. 4. Faça a distribuição normal. Desenhe uma linha vertical em cada valor crítico e sombreie a região de rejeição. b.

Regra de decisão baseada na região de rejeição Para usar a região para conduzir um teste de hipótese, calcule a estatística do teste padronizado z. Se a estatística do teste padronizado: 1. Estiver na região de rejeição, então rejeite H₀. 2. Não estiver na região de rejeição, então falhe em rejeitar H₀. �

Regra de decisão baseada na região de rejeição Teste unicaudal à esquerda Teste unicaudal à direita Falhe em rejeitar H₀ Rejeite H₀ z z 0 z <- z₀ -z₀ z₀ z>z₀ 0 Teste bicaudal Falhe em rejeitar H₀ Rejeite H₀ z z <- z₀ -z₀ � 0 z₀ z>z₀ Falhar em rejeitar a hipótese nula não significa que você aceitou a hipótese nula com verdadeira. Simplesmente significa que não evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Exercício proposto 3 � Funcionários de uma grande firma de contabilidade afirmam que a média dos salários dos contadores é menor que a de seu concorrente, que é $45. 000. Uma amostra aleatória de 30 dos contadores da firma tem média de salário de $43. 500 com desvio padrão de $5. 200. Com α=0, 05 , teste a afirmação dos funcionários.

Continuando. . � Solução: �A afirmação é “a média dos salários dos contadores é menor que $45. 000. Então, a hipótese nula e alternativa são: � H₀: μ ≥ $45. 000 � Hₐ: μ < $45. 000 (afirmação)

Continuando. . . � Em razão de o teste ser unicaudal à esquerda e o nível de significância ser α=0, 05, o valor crítico é z 0 = -1, 645 e a região de rejeição é z< -1, 645. � A estatística do teste padronizado é:

Continuando. . . � Na tabela 4, a área correspondente a z=2, 57 é 0, 0051. � Como esse teste é um teste unicaudal à esquerda, o valor de P é igual a área esquerda de z=-2, 57. � O gráfico mostra a localização da região de rejeição e da estatística de teste padronizado z. Em virtude de z não estar na região de rejeição, você falhar em rejeitar a hipótese nula.

Continuando. . . Nivel de significância de 5% H₀: �� ≥ $45. 000 Hₐ: �� < $ 45. 000 (afirmação) 1 - α=0, 95 α=0, 05 z -3 -2 Z 0=- 1, 645 -1 0 1 2 3 z≈ - 1, 58 Interpretação: � Não há evidência suficiente no nível de significância de 5% para apoiar a afirmação dos funcionários de que a média do salário é menor que $45. 000 �

Exercício proposto 4 � O departamento de agricultura dos Estados Unidos reporta que o custo médio para se criar um filho até a idade de 2 anos na zona rural é de $10. 460. Você acredita que esse valor está incorreto, então você seleciona uma amostra aleatória de 900 crianças (com idade de 2 anos) e descobre que a média dos custos é $10. 345 com desvio padrão de $1. 540. Com = 0, 05, há evidência suficiente para concluir que a média do custo é diferente de $10. 460?

Testes de hipóteses para média (amostras pequenas) � Amostras pequenas n < 30. � Se a população tiver uma distribuição normal, ou aproximadamente normal, você ainda pode testar a média populacional ��. � Para isso, você pode usar a distribuição de amostragem t com n-1 graus de liberdade.

Encontrando valores críticos em uma distribuição t 1. Identifique o nível de confiança α. 2. Identifique os graus de liberdade g. l = n -1. 3. Encontre os valores críticos usando a tabela 5 na fileira n-1 graus de liberdade. Se o teste de hipótese for:

Encontrando valores críticos em uma distribuição t a. unicaudal à esquerda, use a coluna “unicaudal α” com sinal negativo. b. unicaudal à direita, use a coluna “unicaudal α” com sinal positivo. c. bicaudal, use a coluna “bicaudal” α com sinal positivo e negativo.

Usando teste t para uma média �� (amostras pequenas) Expresse a afirmação matemática e verbalmente. Identifique a hipótese nula e alternativa. v Afirme H₀ e Hₐ. 1. Especifique o nível de significância. v Identifique α. 2.

Usando teste t para uma média �� (amostras pequenas) Identifique os graus de liberdade e faça a distribuição de amostragem. v g. l=n-1 3. Determine quaisquer valores críticos. v Use a tabela 5. 4.

Usando teste t para uma média �� (amostras pequenas) 5. Determine rejeição. 6. Encontre a padronizado. quaisquer estatística regiões do de teste

Usando teste t para uma média �� (amostras pequenas) Tome uma decisão de rejeitar ou falhar em rejeitar a hipótese nula. v Se t estiver na região de rejeição rejeite H₀. Caso contrário, falhe em rejeitar H₀. 7. 8. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.

Exercício proposto Um revendedor de carros usados diz que o preço médio de um Honda Pilot LX 2005 é de pelo menos $23. 900. Você suspeita que essa afirmação é incorreta e descobre que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem média de preço de $23. 000 e desvio padrão de $1. 113. Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do revendedor em α=0, 05? Assuma que a população é normalmente distribuída.

Continuando. . . � Solução: �A afirmação é “a média de preço é de pelo menos $23. 900”. Então, as hipóteses nula e alternativa são: � H₀: μ ≥ $23. 900 (afirmação) � Hₐ: μ < $23. 900

Continuando. . . �O teste é unicaudal à esquerda, o nível de significância é � α=0, 05 e os g. l=14 -1=13 graus de liberdade. � Na tabela 5, o valor crítico é t 0=-1, 771. A região de rejeição é t<-1, 771.

Continuando. . . �A �O estatística de teste padronizada é: gráfico mostra a localização da região de rejeição e a estatística de teste padronizada t. Porque t está na região de rejeição, você deve decidir rejeitar a hipótese nula.

Continuando. . . Nivel de significância de 5% H₀: �� ≥ $23. 900(afirmação) Hₐ: �� < $ 23. 900 1 - α=0, 95 α=0, 05 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t≈ - 3, 026 t 0=- -1, 771 Interpretação: � Há evidência suficiente no nível de significância de 5% para rejeitar a afirmação de que a média de preço do Honda Pilot LX 2005 é de pelo menos $23. 900. �

Exercício proposto � Uma indústria afirma que a média do nível do p. H na água do río mais próximo é de 6, 8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de p. H de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6, 7 e 0, 24, respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em α =0, 05? Assuma que a população é normalmente distribuída.

Bibliografia COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 7 a Ed. , São Paulo, Editora Blucher Ltda. , 1987. � HOEL, P. G. Estatística Elementar. Rio de Janeiro, Editora Atlas, 1989. � DIXON & MASSEY. Introduction to Statistical Analysis. Mc. Graw Hill, 1969. � PAERSON EDUCATION Estatística Aplicada São Paulo, 2010. �