TEST DE HIPTESIS U D 15 2 BCS

TEST DE HIPÓTESIS U. D. 15 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 1

CONTRASTES DE HIPÓTESIS U. D. 15. 4 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 2

HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS • CASO 1 • Se sabe que la probabilidad de un suceso concreto en una experiencia aleatoria es p. Si se duda de ello, se puede realizar un test estadístico. Para ello se repite la experiencia aleatoria un número n de veces, que equivale a decir que se toma una muestra de n elementos. • Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitidas sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población. • • EJEMPLO Se sabe que la probabilidad de que, arrojada al azar, una chincheta quede con la punta hacia arriba es p=0, 80. Como dudamos de ello arrojamos una chincheta 100 veces y vemos que en 75 ocasiones ha quedado con la punta hacia arriba. • • Hipótesis de partida: Resultados obtenidos: Hipótesis contraria: @ Angel Prieto Benito H 0: p = 0, 80 , se llama hipótesis nula. Proporción en la muestra: pr = 75/100 = 0, 75 H 1: p <> 0, 80 , se llama hipótesis alternativa. Matemáticas 2º Bachillerato CS 3

• CASO 2 • Se ha analizado la totalidad de una población y obtenido para un determinado parámetro una media μ y una desviación típica σ. Pasado un tiempo los elementos de dicha población han cambiado, pero no así el número total que compone la población. Se toma una muestra de la renovada población y se analiza el mismo parámetro, observándose una media muestral, x, de valor muy próximo a la media, μ, de la población original. ¿Podemos entonces suponer que, respecto al parámetro a estudiar, no ha habido cambio alguno y que la pequeña diferencia entre x y μ es sólo fruto del azar? . • • EJEMPLO • • El coeficiente intelectual de todos los alumnos de un instituto en el 2012 presenta una distribución normal de media μ = 105 y desviación típica σ = 16. En el 2013 se ha tomado una muestra de 100 alumnos y la media muestral es de x = 103. ¿Podemos suponer que μ – x = 2, insignificante, es fruto del azar? . • • • Hipótesis de partida: Resultados obtenidos: Hipótesis contraria: @ Angel Prieto Benito H 0: μ = 105 , se llama hipótesis nula. Media de la muestra: x = 103 H 1: μ <> 105 , se llama hipótesis alternativa. Matemáticas 2º Bachillerato CS 4

NIVEL DE SIGNIFICACIÓN • El nivel de significación de una hipótesis, α , es el valor complementario del nivel de confianza de una estimación, 1 – α. • • Si el nivel de confianza es (1 - α ) = 0, 90 %: El nivel de significación es α = 0, 10 %. • • Recordemos: Principales valores críticos • 1–α α/2 zα/2 • • • 0, 95 0, 99 0, 05 0, 025 0, 005 1, 645 1, 96 2, 575 -k @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 0 k=zα/2 5

• CASO_1 • Se sabe que la probabilidad de que, arrojada al azar, una chincheta quede con la punta hacia arriba es p=0, 80. Como dudamos de ello arrojamos una chincheta 100 veces y vemos que en 75 ocasiones ha quedado con la punta hacia arriba. • • Resolución: • • • Hipótesis de partida: H 0: p = 0, 80 , se llama hipótesis nula. Resultados obtenidos: Proporción en la muestra: pr = 75/100 = 0, 75 Hipótesis contraria: H 1: p <> 0, 80 , se llama hipótesis alternativa. • Si la hipótesis de partida fuera cierta entonces las proporciones, pr, de “punta hacia arriba” de las muestras de tamaño 100 seguirían una distribución normal. N(p, √p. q/n) = N(0, 80, √ 0, 80. 0, 20/100) = N(0, 80, 0, 04) En tal caso el 95% de las proporciones muestrales estarían en el intervalo correspondiente a (1 – α)=0, 95 • • • (0, 80 – 1, 96. 0, 04 ; 0, 80 + 1, 96. 0, 04) = ( 0, 7216 ; 0, 8784) Que se llama zona de aceptación. Puesto que el valor obtenido en la muestra, pr=0, 75, queda dentro de dicha zona, se acepta la hipótesis ( de partida o nula) con un nivel de significación del 5%. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 6

• CASO_2. 1 • • El coeficiente intelectual de todos los alumnos de un instituto en el 2012 presenta una distribución normal de media μ = 105 y desviación típica σ = 16. En el 2013 se ha tomado una muestra de 100 alumnos y la media muestral es de x = 103. ¿Podemos suponer que μ – x = 2, insignificante, es fruto del azar? . • Resolución: • • • Hipótesis de partida: Resultados obtenidos: Hipótesis contraria: • • Si la hipótesis fuera cierta entonces la población de partida tiene μ = 105 y σ = 16. Las medias, x, de las muestras de tamaño 100 seguirían una distribución normal. N(105, 16/√ 100) = N(105, 1, 6) En tal caso el 95% de las medias muestrales estarían en el intervalo correspondiente a (1 – α)=0, 95 • • H 0: μ = 105 , se llama hipótesis nula. Media de la muestra: x = 103 H 1: μ <> 105 , se llama hipótesis alternativa. (105 – 1, 96. 1, 6 ; 105 + 1, 96. 1, 6) = ( 102, 864 ; 108, 136) Que se llama zona de aceptación. Puesto que el valor obtenido en la muestra, x = 103, está en el intervalo, se acepta la hipótesis ( de partida o nula) con un nivel de significación del 5%. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 7

• CASO_2. 2 • • El coeficiente intelectual de todos los alumnos de un instituto en el 2002 presenta una distribución normal de media μ = 105 y desviación típica σ = 16. En el 2007 se ha tomado una muestra de 100 alumnos y la media muestral es de x = 101. ¿Podemos suponer que μ – x = 4, insignificante, es fruto del azar? . • Resolución: • • • Hipótesis de partida: Resultados obtenidos: Hipótesis contraria: • • Si la hipótesis fuera cierta entonces la población de partida tiene μ = 105 y σ = 16. Las medias, x, de las muestras de tamaño 100 seguirían una distribución normal. N(105, 16/√ 100) = N(105, 1, 6) En tal caso el 95% de las medias muestrales estarían en el intervalo correspondiente a (1 – α) = 0, 95 • • H 0: μ = 105 , se llama hipótesis nula. Media de la muestra: x = 101 H 1: μ <> 105 , se llama hipótesis alternativa. (105 – 1, 96. 1, 6 ; 105 + 1, 96. 1, 6) = ( 102, 864 ; 108, 136) Que se llama zona de aceptación. Puesto que el valor obtenido en la muestra, x = 101, no está en el intervalo, se rechaza la hipótesis ( de partida o nula) con un nivel de significación del 5%. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 8

• CASO_2. 3 • • El coeficiente intelectual de todos los alumnos de un instituto en el 2002 presenta una distribución normal de media μ = 105 y desviación típica σ = 16. En el 2007 se ha tomado una muestra de 100 alumnos y la media muestral es de x = 102. ¿Podemos suponer que μ – x = 3, insignificante, es fruto del azar? . • Resolución: • • • Hipótesis de partida: Resultados obtenidos: Hipótesis contraria: • • Si la hipótesis fuera cierta entonces la población de partida tiene μ = 105 y σ = 16. Las medias, x, de las muestras de tamaño 100 seguirían una distribución normal. N(105, 16/√ 100) = N(105, 1, 6) En tal caso el 99% de las medias muestrales estarían en el intervalo correspondiente a (1 – α) = 0, 99 • • H 0: μ = 105 , se llama hipótesis nula. Media de la muestra: x = 102 H 1: μ <> 105 , se llama hipótesis alternativa. (105 – 2, 575. 1, 6 ; 105 + 2, 575. 1, 6) = ( 101, 88 ; 109, 12) Que se llama zona de aceptación. Puesto que el valor obtenido en la muestra, x = 102, está en el intervalo, se acepta la hipótesis ( de partida o nula) con un nivel de significación del 1%. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 9

TEST ESTADÍSTICOS Y NIVEL DE SIGNIFICACIÓN • TEST ESTADÍSTICOS Y NIVEL DE SIGNIFICACIÓN • • • Englobando todos los supuestos anteriores tenemos: El coeficiente intelectual de todos los alumnos de un instituto en el año X presenta una distribución normal de media μ y desviación típica σ. En el año Y se ha tomado una muestra de n alumnos y la media muestral es de x. ¿Podemos suponer que μ – x , insignificante, es fruto del azar? . • Resolución: • • • Hipótesis de partida: Resultados obtenidos: Hipótesis contraria: • • Si la hipótesis fuera cierta entonces la población de partida tiene μ = μ y σ = σ. Las medias, x, de las muestras de tamaño n seguirían una distribución normal. N(μ , σ /√n) = N(μ , σ ‘) Tomamos Z =1, 645, Z=1, 96 o Z=2, 575 según queramos que el nivel de significación sea del 1%, 5% o 10% respectivamente. @ Angel Prieto Benito H 0: μ = μ , se llama hipótesis nula. Media de la muestra: x H 1: μ <> μ , se llama hipótesis alternativa. Matemáticas 2º Bachillerato CS 10

• … TEST ESTADÍSTICOS Y NIVEL DE SIGNIFICACIÓN • • … Resolución: Hipótesis de partida: Resultados obtenidos: Hipótesis contraria: • • • Sea cual sea el valor de Z tomado, tenemos: (μ – Z. σ ‘; μ + Z. σ ‘) = ( x 1 ; x 2) Que se llama zona de aceptación. • Si el valor x, obtenido en la muestra, está en el intervalo, se acepta la hipótesis ( de partida o nula) con un nivel de significación de α (0, 01=1%, 0, 05=5%, 0, 10=10%, etc). • Para un mismo valor de μ, σ , n y x , podría ocurrir no aceptar la hipótesis o aceptarla. Es decir, si α vale 0, 01 podríamos rechazar la hipótesis, pero aceptarla si α vale 0, 05 ó 0, 1, al ser menos exigentes y permitir más margen. @ Angel Prieto Benito H 0: μ = μ , se llama hipótesis nula. Media de la muestra: x = 102 H 1: μ <> μ , se llama hipótesis alternativa. Matemáticas 2º Bachillerato CS 11