Terminale ES Spcialit GRAPHES Nombre de chanes de

Terminale ES Spécialité GRAPHES Nombre de chaînes de longueur r Démonstration du théorème

Définitions : • La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. 1 2 3 4 • Une chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de la liste soit adjacent au suivant. Chaîne (1 -2 -3 -2 -4) • La longueur d’une chaîne est le nombre d’arêtes qui la composent. Longueur de la chaîne (1 -2 -3 -2 -4) : 4

Théorème : La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. 1 2 3 4 Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i, j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Nombre de chaînes de longueur 2 reliant 2 à 2 :

Démonstration : La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. Notons aij le terme général de A et aij (r) le terme général de Ar. 1 2 3 4 Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i, j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que aij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Pour r = 1, aij (1) = aij est le nombre d’arêtes reliant i à j, c’est donc le nombre de chaînes de longueur 1 reliant i à j.

Démonstration : La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. Notons aij le terme général de A et aij (r) le terme général de Ar. 1 i Pour r = 3 2 3 h j 4 Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i, j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que aij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Supposons la propriété vraie au rang r. Une chaîne de longueur r+1 est la réunion d’une chaîne de longueur r reliant i à un sommet quelconque h et d’une arête reliant h à j.

Démonstration : La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. Notons aij le terme général de A et aij (r) le terme général de Ar. h Pour r = 3 h peut prendre la valeur 1, 2, 3, 4, …, n. i 1 S’il y a au moins une arête entre h et j ahj 2 3 aih (r) et au moins une chaîne de longueur r entre i et h. Et donc le nombre d’arêtes de longueur r+1 entre i et j est : j 4 ai 1 (r) a 1 j + ai 2 (r) a 2 j + ai 3 (r) a 3 j + … + ain (r) anj Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i, j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que aij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Supposons la propriété vraie au rang r. Une chaîne de longueur r+1 est la réunion d’une chaîne de longueur r reliant i à un sommet quelconque h et d’une arête reliant h à j.

ai 1 (r) a 1 j + ai 2 (r) a 2 j + ai 3 (r) a 3 j + … + ain (r) anj

Démonstration : La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. Notons aij le terme général de A et aij (r) le terme général de Ar. h h peut prendre la valeur 1, 2, 3, 4, …, n. i 1 S’il y a au moins une arête entre h et j ahj 2 3 aih (r) et au moins une chaîne de longueur r entre i et h. Et donc le nombre d’arêtes de longueur r+1 entre i et j est : j 4 ai 1 (r) a 1 j + ai 2 (r) a 2 j + ai 3 (r) a 3 j + … + ain (r) anj Ceci est le terme de rang (i, j) de la matrice Ar x A. C’est-à-dire le terme (i, j) de la matrice Ar+1. On a donc montré que aij (r+1) est le nombre de chaînes de longueur r+1 reliant i à j. La propriété vraie au rang r+1.

Conclusion : Pour tout entier r non nul, le terme (i, j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j.