Teorie nhodnch matic aneb tak trochu jin statistika

Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika M. Neumann, B. Vlková, M. Berg, B. Martínek, O. Švec Supervizor Bc. Martin Veselý

Obsah • Co je matice? • Vlastní čísla matice • Rozdělení vlastních čísel ▫ Obecná matice ▫ Hermitovská matice • Aplikace

Co je matice? • Schéma m*n čísel uspořádaných v m řádcích a n sloupcích • Ke každé matici je přiřazena soustava rovnic

Vlastní čísla matice - λ • Exaktně: λ nazveme vlastním číslem matice A, pokud k němu existuje nenulový komplexní vektor x takový, že platí Ax = λx • Například: • λ je vlastním číslem pokud má soustava nenulové řešení, tj. x ≠ 0 y ≠ 0 ^

Stále vlastní čísla - λ • Řád matice = počet λ • Většina vlastních čísel je komplexní • Z λ lze určit vlastnosti matice • Algoritmů jak λ vypočítat je spousta Mat. Lab je umí všechny

Grafika vlastních čísel • Zajímavý úkaz! • Čím většího řádu je matice, tím pravidelněji jsou rozdělena vlastní čísla.

Hermitovské matice • Jejich λ jsou vždy reálná • T = transpozice • * = komplexní sdružení • AH = hermitovsky sdružená

Grafika vlastních čísel • Zajímavý úkaz! • Čím většího řádu je matice, tím pravidelněji jsou rozdělena vlastní čísla.

Četnost λ v Hermitovských maticích 2 matice řádu 2500

Aplikace • Vlastní čísla náhodných matic popisují energetické hladiny jader těžkých prvků • Náhodné matice se používají jako podklad pro modelování: • • fyzikálních procesů biologických systémů ekonomické reality dopravy

Aplikace v dopravě Četnost vzdáleností vlastních čísel ≈ Četnost vzdáleností automobilů jedoucích na silnici

• Děkujeme za: ▫ finanční podporu FJFI ▫ pomoc našemu supervizorovi ▫ uspořádání TV@J A za vaši pozornost