Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe realizowalno

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Teoria sterowania – traktuje elementy układu sterowania jak i sam układ sterowania jako system System: Klasyfikacje: - Liniowy - nieliniowy - Stacjonarny - niestacjonarny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Klasyfikacje: c. d. - Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO) Klasyfikacja w odniesieniu do liczby zmiennych wejścia - wyjścia - Czasu ciągłego – czasu dyskretnego Klasyfikacja w odniesieniu charakteru sygnałów wejścia i wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Wybrane elementy wprowadzenia do teorii sterowania Systemy liniowe, stacjonarne, ze sprzężeniem zwrotnym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Jak możemy traktować modele obiektów dynamicznych? Przedstawiają one prawo przetwarzania sygnału wejściowego obiektu u(t) w sygnał wyjściowy obiektu y(t) bezpośrednio lub z wykorzystaniem zmiennych stanu x(t) Prawo to umożliwia dla danego kształtu u(t) i znanych odpowiednich wartości początkowych określić kształt y(t) Czy to trudne zadanie? Dla układów liniowych ze stałymi współczynnikami – nie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Rozważamy najpierw równanie modelu wejście – wyjście w którym nie występują pochodne sygnału wejścia (1) z warunkami początkowymi: (2) Czy potrafilibyśmy zbudować urządzenie, które rozwiązywałoby takie równanie? Schematy analogowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Taką samą strukturę mają poszczególne równania stanu w modelu stanu (3) lub: z warunkiem początkowym: (4) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Czy potrafimy zbudować sumator (układ elektroniczny)? Uf Uwe 1 R 1 Uwe 1 if i 1 Uwe 2 Rf ig eg - K + i 2 Uwy Uwe 2 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Czy potrafimy zbudować integrator (układ elektroniczny)? uf uwe R uwe if iwe ig eg Cf - -K Rwe, Rwy + Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. uwy Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dla równania modelu wejście – wyjście Zapiszmy: (1 a) oraz warunki początkowe: (2 a) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - uzyskiwanie pochodnych niższych rzędów – idea całkowania równania - zadawanie warunków początkowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - uzyskiwanie najwyższej pochodnej Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Schemat analogowy rozwiązywania równania różniczkowego (1) z warunkami początkowymi: (2) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dla równania stanu modelu przestrzeni stanu Zapiszmy: (3 a) oraz warunek początkowy: (4 a) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu A jeżeli występują pochodne sygnału wejścia? Przykład Równanie: Warunki początkowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Zapiszmy równanie: Scałkujmy je jednokrotnie: C 2 wyznaczymy kładąc t=0 i korzystając z warunków początkowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Powtórzmy operację całkowania: C 1 wyznaczymy kładąc t=0 i korzystając z warunków początkowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Wykonajmy operacje całkowania po raz trzeci C 0 wyznaczymy kładąc t=0 i korzystając z warunków początkowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Poznaliśmy metodę kolejnych całkowań – metodę postaci kanonicznej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Jeżeli występują pochodne sygnału wejścia a warunki początkowe są zerowe dogodniejsza jest metoda zmiennej pomocniczej Przykład Równanie: Warunki początkowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Transformacja Laplace’a i transmitancja operatorowa Rozważaliśmy dotychczas w dziedzinie czasu zachowanie się obiektu dynamicznego w przedziale czasu od t 0 do t opisywanego równaniem różniczkowym Przykład 1 – czwórnik RC z warunkiem początkowym: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 2 – dwójnik RL z warunkiem początkowym: Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Ogólna struktura: (1 a) (1 b) u(t) Obiekt y(t) Dla dowolnego wejścia u(t) określonego w przedziale [t 0, t] pełna odpowiedź obiektu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dokonamy przejścia do dziedziny zmiennej zespolonej s Załóżmy, że zarówno funkcja (reprezentacja matematyczna sygnału) u(t) – wejście, jak i y(t) – wyjście, spełnia warunki pozwalające poddać je przekształceniu Laplace’a Pamiętać powinniśmy o warunkach jakie muszą spełniać funkcje f(t) (funkcje czasu) poddawane transformacji Laplace’a Transformację Laplace’a możemy stosować do systemów liniowych (czyli spełniających zasadę superpozycji) i stacjonarnych (czyli spełniających zasadę niezmienniczości w czasie) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Funkcja f(t) musi spełniać (L 1) Całka musi istnieć (być zbieżna) (L 2) Poddając transformacji Laplace’a obydwie strony (1 a) i uwzględniając znajomość (1 b) otrzymamy (2) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Rozwiązując (2) ze względu na Y(s) Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi Składowa swobodna: Składowa wymuszona: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Transformata Laplace’a składowej wymuszonej: gdzie, - Transmitancja operatorowa obiektu dynamicznego I definicja transmitancji obiektu dynamicznego Transmitancją operatorowa obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy stosunek transformaty Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie do transformaty Laplace’a tego wymuszenia lub inaczej: Transmitancją operatorowa obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy stosunek transformaty Laplace’a odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie uzyskanej przy zerowym warunku początkowym, do transformaty Laplace’a tego wymuszenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Transmitancja obiektu dynamicznego – na przykładzie obiektu rzędu pierwszego, np. czwórnika RC, dwójnika RL Właściwości: (i) G(s) – wzmocnienie dynamiczne obiektu w dziedzinie s (ii) G(s) – nie ma stałej wartości, lecz jest funkcją zmiennej s (iii) G(s) – nie zależy od sygnału wejściowego – jest zatem charakterystyką obiektu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Transmitancja obiektu opisuje dynamikę obiektu w dziedzinie zmiennej zespolonej s Odpowiedź impulsowa obiektu opisuje dynamikę obiektu w dziedzinie czasu t Związek pomiędzy nimi? Transformata Laplace’a impulsu jednostkowego: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Otrzymaliśmy: lub Składowa wymuszona odpowiedzi na impuls jednostkowy Transmitancja obiektu dynamicznego II definicja transmitancji obiektu dynamicznego Transmitancją operatorowa obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy transformatę Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie impulsem jednostkowym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu W rozważanym przykładzie – obiekt pierwszego rzędu - odpowiedź dla i intensywności S Dla t 0 = 0 i S = 1: Otrzymamy: (porównać z wynikami z poprzednich slajdów) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Przykład 1 – czwórnik RC Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Przykład 2 – dwójnik RL Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Odpowiedź wymuszona na sygnał skokowy o amplitudzie dla t 0 =0: Odpowiedź wymuszona w dziedzinie s: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Odpowiedź wymuszona w dziedzinie t: Zastosujemy dla znalezienia L-1 metodę rozkładu na ułamki proste: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Stąd: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Parametry transmitancji obiektu rzędu pierwszego inercyjnego dla rozważanego przykładu Wielkość nazywamy statycznym współczynnikiem wzmocnienia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania SN Przykład 1 – czwórnik RC Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Przykład 2 – dwójnik RL Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Określanie wzmocnienia statycznego – wykorzystanie transmitancji - wzmocnienie statyczne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Określanie wzmocnienia statycznego – wykorzystanie transmitancji - wzmocnienie statyczne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu oraz Przykład 3 Wyznaczyć wzmocnienie statyczne obiektu o transmitancji W dziedzinie czasu opis równaniem różniczkowym: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu W dziedzinie czasu należałoby teraz rozwiązać równanie różniczkowe dla wymuszenia Mając y(t) należałoby obliczyć i ostatecznie wyznaczyć K Korzystając z transmitancji: Dla np. A = 3 odpowiedź ustalona: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu W dziedzinie czasu należałoby teraz rozwiązać równanie różniczkowe dla wymuszenia Mając y(t) należałoby obliczyć i ostatecznie wyznaczyć K Korzystając z transmitancji: Dla np. A = 3 odpowiedź ustalona: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Przedstawmy odpowiedź wymuszoną: dla rozważanego przykładu Wielkość - nazywamy stałą czasowąbezwładności (inercji) Policzmy: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Podsumowanie: W automatyce wyróżniamy pewne tzw. człony elementarne liniowe i stacjonarne, stanowiące części obiektu sterowanego lub układu sterującego charakteryzujące się określoną transmitancją operatorową Poznaliśmy już jeden z takich członów: Przykład 1 – czwórnik RC Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 2 – dwójnik RL Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Standardowa postać transmitancji tych układów: Parametry: - współczynnik wzmocnienia statycznego - stała czasowa bezwładności Nazwa członu: Człon inercyjny pierwszego rzędu Inne człony poznamy w dalszej części wykładu i podczas ćwiczeń ! Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Wróćmy do tematu schematów analogowych Równanie poddajemy obustronnie transformacji Laplace’a: Wprowadzamy zmienną pomocniczą spełniającą równanie: Wówczas: Zamiast pierwotnego równania modelujemy dwa równania: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu W dziedzinie czasu dwa modelowane równania: - równanie zmiennej pomocniczej - równanie wyjścia Zróżniczkujemy równanie wyjścia: Dla t=0 otrzymamy: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - równanie zmiennej pomocniczej - równanie wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Przykład modelu silnika prądu stałego obcowzbudnego Spróbujemy najpierw zbudować schemat blokowy dla modelu nieliniowego stacjonarnego rozważanego silnika Poszukujemy zachowania się rozważanego systemu w przedziale czasu [0, t), dla warunków początkowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Weźmy pierwsze równanie Transformacja sygnałów w części mechanicznej systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Podstawowy element: całkowanie funkcji w przedziale [0, t] z warunkiem początkowym Transformację sygnałów w części mechanicznej możemy przedstawić: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Weźmy drugie równanie Transformacja sygnałów w części elektrycznej – obwód wzbudzenia systemu - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Weźmy trzecie równanie Transformacja sygnałów w części elektrycznej – obwód twornika systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Zestawimy schemat całego modelu - - - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Silnik – obiekt/system sterowany Cel sterowania – np. utrzymanie określonej prędkości kątowej silnika, określonej wcześniej: stałej – sterowanie stałowartościowe, zmiennej w czasie – sterowanie programowe, nie znanej wcześniej, podawanej na bieżąco – sterowanie nadążne Wielkości wyjściowe obiektu Wielkość sterowana – należy do jednej z klas wielkości wyjściowych obiektu sterowanego Przyjmijmy: wielkość sterowana – prędkość kątowa silnika Pozostałe obserwowane wielkości wyjściowe – wielkości pomocnicze Zatem: wielkości pomocnicze – prąd wzbudzenia, prąd twornika Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Silnik – obiekt/system sterowany – c. d. Wielkości wejściowe obiektu Poszukiwanie wielkości sterującej; jakie wielkości wejściowe wpływają na prędkość kątową silnika Moment oporowy zewnętrzny – wielkość zakłócająca Napięcie twornika, napięcie wzbudzenia? – kandydaci na wielkość sterującą Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Graficzna reprezentacja systemów dynamicznych – schematy blokowe Poglądowym narzędziem przedstawiania systemów dynamicznych są schematy blokowe – dotyczy to szczególnie systemów stacjonarnych, zarówno liniowych jak i nieliniowych Schemat blokowy obrazuje informacji/sygnałów w systemie przepływ i transformacje Budowa schematu blokowego korzysta z kilku symboli podstawowych, a zbudowany schemat może być narzędziem pomocniczym w analizie systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Graficzna reprezentacja systemów dynamicznych – schematy blokowe Symbole podstawowe: Opis sposobu przetwarzania Element systemu: przetwarzanie informacji wejściowej w informację wyjściową Droga przesyłania informacji Węzeł zaczepowy: rozsyłanie tej samej informacji do różnych elementów systemu lub do otoczenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Węzeł sumacyjny: sumowanie algebraiczne sygnałów dochodzących z różnych elementów systemu lub z otoczenia Węzeł mnożący: mnożenie algebraiczne sygnałów dochodzących z różnych elementów systemu lub z otoczenia Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Technologię budowania schematu blokowego pokażemy na kilku przykładach Opis sposobu przetwarzania użyty w symbolu elementu systemu może mieć różny charakterystyka statyczna – dla elementu statycznego nieliniowego Opis sposobu przetwarzania transmitancja operatorowa lub widmowa – dla elementu dynamicznego liniowego stacjonarnego szkicowa charakterystyka skokowa lub impulsowa – dla elementu dynamicznego liniowego stacjonarnego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. szkicowa charakterystyka częstotli wościowa – dla elementu dynamicznego liniowego stacjonarnego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Zadania – budowanie schematu blokowego w oparciu o zależności opisu systemu sterowania Zadanie 1: Działanie systemu sterowania opisane jest następującymi zależnościami: Narysuj schemat blokowy tego układu sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 61

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Rozwiązanie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 62

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Zadanie: Utrzymać napięcie zasilania odbiorników w sieci prądu stałego na stałym, zadanym poziomie Uo=24 V Wielkości zakłócające Zaproponowane rozwiązanie ωm Φk Φw Iw E Rz Ik Io K 5 Uε Uo Wielkość sterująca - Obiekt sterowany Wielkość sterowana Układ sterujący Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Zależności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dostępna wiedza o obiekcie sterowanym Wielkości zakłócające W przykładzie: Wartość pożądana wielkości sterowanej System sterowany System sterujący W przykładzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Wielkość sterująca Wielkość sterowana W przykładzie Układ zamknięty sterowania (ze sprzężeniem zwrotnym) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Przykład – sterowanie napięciem zasilania –schemat blokowy Symbole z falką - zmienne Opis działania: Schemat blokowy: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 68

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. + Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 69

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Schemat blokowy systemu sterowanego - prądnicy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. + Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 70

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Opis działania systemu sterowanego - prądnicy (1) (2) (3) (4) (5) Podstawiając kolejno (2) – (5) do (1) otrzymamy opis zależności wejście – wyjście prądnicy (6) Opis działania prądnicy nieliniowy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 71

Teoria sterowania SN Jeżeli Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu stałe, czyli Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. + Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 72

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu (1) (2 a) (3) (4) (5) (6 a) Opis działania liniowy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 73

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Schemat blokowy systemu sterowania + Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. + Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 74

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Schemat blokowy systemu sterowania + Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania + 75

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Opis działania (6) (7) (8) Podstawiając kolejno (7) – (8) do (6) otrzymamy opis zależności wejście – wyjście systemu sterowania (9) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 76

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Schemat blokowy systemu sterowania + Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. + Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 77

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Schemat blokowy systemu sterowania + Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania + 78

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Opis działania (6 a) (7) (8) Podstawiając kolejno (7) – (8) do (6 a) otrzymamy opis zależności wejście – wyjście systemu sterowania (9 a) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 79

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Rozważymy teraz model zlinearyzowany silnika PS i wybierzemy opis za pomocą transmitancji operatorowej – zbudujemy schemat blokowy transmitancyjny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 80

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Powracamy do przykładu z silnikiem PS Niech Poddamy transformacji Laplace’a każde z równań, przy zerowych warunkach początkowych Warto pamiętać, że Linearyzacja w otoczeniu punktu równowagi gwarantuje zerowe warunki początkowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 81

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Weźmy pierwsze równanie i poddajmy je transformacji Laplace’a Otrzymamy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 82

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 83

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Weźmy drugie równanie i poddajmy je transformacji Laplace’a Otrzymamy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 84

Teoria sterowania SN Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 85

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Weźmy w końcu trzecie równanie modelu i poddajmy je transformacji Laplace’a Otrzymamy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 86

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 87

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Zestawimy schemat całego modelu - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 88

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Model obiektu/systemu typu wejście-wyjście wyrażony za pomocą transmitancji operatorowych można oczywiście stosować dla obiektów/systemów wielowymiarowych Zastosujemy tą formę reprezentacji modelu systemu do rozważanego systemy - modelu procesów elektromechanicznych silnika obcowzbudnego prądu stałego Niech wektory transformat wielkości wejściowych i wyjściowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 89

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dla systemu wielowymiarowego liniowego i stacjonarnego wprowadza się macierz transmitancji operatorowych Model obiektu/systemu typu wejście-wyjście wyrażony za pomocą transmitancji operatorowych ma wówczas postać Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 90

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dla rozważanego modelu silnika, możemy zapisać gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 91

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Poszczególne elementy macierzy określa się korzystając z liniowości systemu (spełnianie zasady superpozycji) Nietrudno, w oparciu o schemat blokowy stwierdzić gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 92

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Jeżeli wybrać za wielkość sterującą napięcie twornika ut(t), to najbardziej interesującymi transmitancjami będą transmitancje w torach Ustalmy określające je wyrażenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 93

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Odpowiedni fragment schematu blokowego dla toru: prędkość kątowa – napięcie twornika - Struktura: pętla ujemnego sprzężenia zwrotnego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 94

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Tor główny Tor sprzężenia zwrotnego - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 95

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Otrzymamy Tor: prędkość kątowa – napięcie twornika ma cechy układu drugiego rzędu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 96

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Odpowiedni fragment schematu blokowego dla toru: prędkość kątowa – moment obciążenia zewnętrznego - - Struktura: pętla ujemnego sprzężenia zwrotnego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 97

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Tor główny - Tor sprzężenia zwrotnego - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 98

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Otrzymamy Tor: prędkość kątowa – moment oporowy zewnętrzny ma cechy układu drugiego rzędu z takim samym równaniem charakterystycznym jak tor prędkość kątowa – napięcie twornika Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 99

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Częściowo wypełniliśmy macierz transmitancji G(s) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 100

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dalej wprowadźmy następujące założenia Przyjmijmy, że napięcie wzbudzenia posiada stałą wartość lub nawet założenie, że załączane jest na stałą wartość na tyle wcześniej przed momentem zmian innych wejść systemu, że ustaną w tej części systemu przebiegi przejściowe. Prowadzi to do: * silnik jest systemem liniowym stacjonarnym, ale * uzyskany przy poprzednich założeniach model transmitancyjny ulega zmianie Powód drugiej zmiany – napięcie uw(t) nie spełnia warunku L 1 stosowania przekształcenia Laplace’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 101

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Prześledźmy te zmiany Jeżeli ustalona wartość napięcia wzbudzenia wynosi to oznaczając odpowiadającą tej wartości napięcia wzbudzenia wartość prądu wzbudzenia Otrzymamy model Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 102

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dla uproszczenia oznaczmy wówczas Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 103

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Weźmy pierwsze równanie i poddajmy je transformacji Laplace’a Otrzymamy gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 104

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 105

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Weźmy drugie równanie i poddajmy je transformacji Laplace’a Otrzymamy gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 106

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 107

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Zestawimy schemat całego modelu - Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 108

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Nietrudno spostrzec, że mimo zmian modelu transmitancyjnego systemu, struktura transmitancji w torach : prędkość kątowa – napięcie twornika oraz prędkość kątowa – moment oporowy zewnętrzny pozostają niezmienione (ćwiczenie własne – pokazać to) Inne ćwiczenie: Dla schematu transmitancji z poprzedniego slajdu policzyć całą macierz gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 109

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Wprowadzimy jeszcze jedno uproszczenie Jeżeli nie interesować się przebiegami prądu twornika, uzyskamy prosty model liniowy stacjonarny silnika jako obiektu sterowanego prędkości kątowej z jednym wejściem sterującym, jednym wejściem zakłócającym i jednym wyjściem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 110

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Lub bardziej szczegółowo - gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 111

Teoria sterowania SN Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 112