TEORIA RENOWACJI TEORIA ODNOWY PROF DR HAB GRAYNA

TEORIA RENOWACJI (TEORIA ODNOWY) PROF. DR HAB. GRAŻYNA KARMOWSKA 1

PRZEDMIOT TEORII ODNOWY o o o punktem wyjścia TO jest demografia matematyczna, jej głównym zadaniem jest ustalenie zmian zachodzących w liczebności i strukturze populacji, teorię demografii matematycznej można uogólnić na inne zbiory, których pewne elementy przybywają a inne ubywają. 2

DEFINICJA TEORII ODNOWY o o TO stanowi zespół metod matematycznostatystycznych służących do ustalenia prawidłowości w procesie ubywania elementów tworzących zbiór pewnych obiektów trwałego użytkowania oraz do określenia liczby obiektów, które w danym okresie będą musiały być zastąpione nowymi obiektami o takich samych lub podobnych własnościach. [Banasiński] 3

DEFINICJA TEORII ODNOWY o o Odnowa środków produkcji dokonuje się w samym procesie produkcji, przy czym odbywa się odmiennie w przypadku środków obrotowych i środków trwałych. Środki obrotowe zużywają się w ciągu jednego cyklu obrotowego o znanym okresie i w końcu każdego takiego okresu muszą być odnowione, aby proces produkcyjny mógł być kontynuowany. 4

DEFINICJA TEORII ODNOWY o o odnowa środków obrotowych nie nasuwa większych trudności, środki trwałe nie zużywają się w ciągu 1 cyklu produkcji i pozostają w procesie produkcyjnym przez dłuższy czas zwany okresem użytkowania danego środka 5

ZAŁOŻENIA o o rozpatrywane środki trwałe są jednorodne, obiekty pozostają w użytkowaniu całkowitą liczbę okresów i ubywają w końcu okresu (czas życia środków trwałych jest zmienną losową typu skokowego), proces zużywania się środków trwałych jest procesem reprodukcji prostej (przez cały czas badania liczba obiektów jest stała), istnieje górny kres trwania obiektów wynoszących (omega) lat. 6

ZAŁOŻENIA o o Czas życia urządzenia – czas użytkowania aż do momentu powstania uszkodzenia, Potrafimy dokładnie określić moment kiedy urządzenie staje się bezużyteczne, Wszystkie warunki eksploatacji urządzeń są podobne, Wszystkie urządzenia zostały wprowadzone do eksploatacji jednocześnie. 7

PRZEDMIOT TEORII ODNOWY o o Jeżeli za zbiór przyjmiemy środki trwałe, to możemy traktować go jako populację, w której istnieje „wymieralność” i „narodziny” elementów tej populacji. Wymierają elementy, które zostają zużyte w procesie produkcji i muszą być z tego procesu usunięte, a rodzą się elementy nowe, wprowadzone do procesu produkcji. 8

RODZAJE PROCESÓW ODNOWY proces odnowy w pełnym toku o rozwijający się proces odnowy o 9

PROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKU o o Aby wyrównać powstały ubytek w roku t należy wprowadzić tyle obiektów ile ulega wycofaniu N 0(t) (trzeba wprowadzić do użytkowania). Określa ono liczbę obiektów N 0(t), które trzeba odnowić w danym roku dla wyrównania ubytku obiektów wychodzących z zużycia. 10

PROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKU t - jednostka czasu, o w rozpatrywanym zbiorze znajdują się obiekty wprowadzone do użytkowania przed rokiem, dwoma laty, …, -lat; o liczba obiektów wprowadzonych do użytkowania odpowiednio w roku: t-1, t-2, … , o prawdopodobieństwo ubytku spośród obiektów (współczynnik eliminacji) o 11

PROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKU o Liczba urządzeń, które przetrwały okres t (współczynnik dotrwania) o Prawdopodobieństwo, że dane urządzenie (wprowadzone do eksploatacji w chwili 0) przetrwa okres t 12

qprzed rokiem wychodzi z użytkowania qogólna liczba ubytku w czasie t: 13

ROZWIJAJĄCY SIĘ PROCES ODNOWY o o przyjmujemy, że pierwsze obiekty zostały wprowadzone do użytkowania w roku t=0 i w liczbie N 0(0) liczba obiektów, które trzeba odnowić w kolejnych latach dla wynosi: No(1)=No(0)p 1 14

ROZWIJAJĄCY SIĘ PROCES ODNOWY o o o TO ustala prawidłowości w procesie ubywania elementów tworzących zbiór pewnych obiektów trwałego użytkowania, określa liczbę obiektów, które w danym okresie będą musiały być zastąpione nowymi obiektami, zajmuje się również wyznaczaniem optymalnego okresu użytkowania. 15

WYZNACZANIE OPTYMALNEJ POLITYKI ODNOWY o o w zakresie obiektów, które psują się nagle obiekty, których koszty utrzymania rosną z czasem 16

Problem 1. W firmie zainstalowanych jest 1000 lampek kontrolnych. Wymiana uszkodzonej lampki kosztuje 100 zł, a wymiana prewencyjna 20 zł. Określ optymalną politykę renowacyjną wobec lampek kontrolnych, wiedząc, że współczynniki eliminacji wynoszą odpowiednio: p 1=0, 1; p 2=0, 3; p 3=0, 4; p 4=0, 2 17

Rozwiązanie: Ubytki lampek w poszczególnych okresach: o N(0)=1000 o N(1)=1000 x 0, 1=100 o N(2)=1000 x 0, 3+100 x 0, 1=310 o N(3)=1000 x 0, 4+100 x 0, 3+310 x 0, 1=400+30+31=461 o N(4)=1000 x 0, 2+100 x 0, 4+310 x 0, 3+461 x 0, 1=379, 1 18

Rozwiązanie: Koszty wymiany wszystkich urządzeń po pierwszym okresie: o K 1=100 x 100+900 x 20=28 000 zł Odpowiednio w następnych latach: o K 2=(100+310)x 100+690 x 20=54 800 zł o K 3=(100+310+461)x 100+539 x 20=87 880 zł o K 4=(100+310+461+379, 1)x 100+621 x 20=137 420 zł 19

Polityka odnowy a koszty średniookresowe Okres 0 1 2 3 4 Koszty eksploatacji 20 000 28 000 54 800 97 880 137 420 Koszty średniookresowe 28 000 27 400 32 626, 6 34 355 20

W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE PSUJĄ SIĘ NAGLE wyróżniamy 2 rodzaje kosztów wymiany: o - koszt wymiany urządzenia zużytego; o - koszt wymiany urządzenia jeszcze sprawnego. 21

W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE PSUJĄ SIĘ NAGLE o o o Zakładamy, że koszt wymiany urządzenia zużytego jest wyższy niż koszt wymiany urządzenia jeszcze sprawnego, czyli . Jeżeli powyższa nierówność zachodzi to może się okazać, że opłaca się wymienić wszystkie urządzenia, kiedy jeszcze są sprawne. Kryterium wyboru optymalnej polityki odnowy jest minimum sumy kosztów odnowy. 22

W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE PSUJĄ SIĘ NAGLE o o Na podstawie równań odnowy obliczamy ile w poszczególnych latach przeciętnie zużyje się urządzeń. Następnie wyliczamy przeciętny wydatek na jeden okres wynikający z polityki odnowy wszystkich urządzeń, co jeden okres, co dwa, itd. Optymalna wartość odpowiadać będzie najniższemu wydatkowi przeciętnemu na jeden okres. Minimalny koszt wskazuje nam, po którym okresie czasu najkorzystniej jest wymienić wszystkie urządzenia. 23

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM o obiekty tej grupy w miarę upływu czasu starzeją się fizycznie i moralnie. po pewnym czasie eksploatacja urządzenia staje się tak kosztowna, że zachodzi konieczność jego wymiany na nowe. w związku z tym powstaje problem wyznaczenia optymalnego okresu użytkowania urządzenia tzn. , urządzenia w jakim momencie stare urządzenie powinno być wymienione na nowe 24

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM o o Funkcja kryterium stanowi minimalne przeciętne roczne koszty. Przyjmujemy, że koszty utrzymania rozpatrywanego obiektu są niemalejącą funkcją czasu, a wartość złomu jest stała. 25

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM o o o C - koszt zakupu urządzenia, Z - wartość złomu, N - liczba lat eksploatacji, T- przeciętne roczne koszty całkowite, F(t)- stopa wydatków na utrzymanie urządzenia. 26

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM o o o Dla f(0)=0 oraz f(n) jest funkcją niemalejącą f(0)=0 utrzymujemy warunek minimum funkcji w postaci f(n)=T a więc min T nastąpi dla takiego n, dla którego T nakłady bieżące f(n) (stopa utrzymania) zrównają się z dotychczas poniesionymi przeciętnymi kosztami. Opierając się na tych wynikach możemy zadecydować, kiedy należy odnowić urządzenie pod warunkiem, że dysponujemy dokładnym wzorem określającym koszty utrzymania. 27

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM o o Jeżeli mamy dane roczne koszty utrzymania to nie musimy korzystać z przedstawionych wyżej warunków gdyż możemy przystąpić do wymiany urządzenia wówczas, gdy przeciętne koszty osiągają minimum. Przeciętne koszty roczne obliczamy następująco: od wartości początkowej odejmujemy wartość złomu a dodajemy bieżące koszty eksploatacji liczone od początku aż do danego roku włącznie i dzielimy przez okres użytkowania 28

Metoda Houldena Łączny koszt eksploatacji urządzenia przez n okresów: Roczny przeciętny koszt utrzymania: 29

Metoda Houldena o Szukamy minimum Dla wartości skokowych: 30

Problem 2. o Cena zakupu samochodu c=120 tys. zł, cena złomu z=10 tys. zł. Średnie bieżące koszty eksploatacji (paliwo, części zamienne, naprawy) przedstawia tabela: Okres 1 2 3 4 5 6 7 Koszty (tys. zł) 5 10 15 25 35 55 77 31

Rozwiązanie: o Wyznaczamy minimum średniookresowych kosztów utrzymania samochodu: Okresy 1 2 3 4 5 6 7 Koszty średniookresowe 115, 00 62, 50 46, 67 41, 25 40, 00 42, 50 46, 43 Po piątym okresie eksploatacji samochód należy wymienić 32

M I Ł E G O D N I A 33