Teoria della relativit3 19 dicembre 2014 Trasformazione della

Teoria della relatività-3 19 dicembre 2014 Trasformazione della velocità La velocita` della luce come velocita` limite Invarianza della velocita` della luce Trasformazione dell’accelerazione Effetto Doppler

Trasformazione della velocità • La velocita` di un corpo, in ciascun sistema di riferimento, e` definita come rapporto tra intervallo spaziale percorso e intervallo di tempo necessario a percorrerlo • In S avremo quindi la coppia dr, dt cui corrisponde in S’ la coppia dr’, dt’ e le velocita` sono y y’ S’ S x z v x’ z’ 2

Trasformazione della velocità • Calcoliamo la trasformazione della velocità per componenti • Sia ux la componente della velocità u di un corpo lungo x nel sistema S, vogliamo trovare il valore ux’ della componente lungo x’ della velocità u’ nel sistema S’ • Differenziando le eqq. di trasformazione 3

Trasformazione della velocità • Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità 4

La somma di due velocità minori di c è minore di c • Dimostriamolo nel caso particolare in cui v e c siano paralleli a x • Se -c < v < c , -c < ux < c, allora anche -c < ux’ < c • Infatti, se -c < v < c, ux’ è funzione crescente di ux , e quindi assumera` un valore minore di quello assunto per ux=c, che vale • e maggiore di quello assunto per ux=-c, che vale 5

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali • Questo risultato deve ovviamente valere se la teoria e` consistente • Nel caso il corpo in moto sia sostituito da un raggio di luce in verso positivo ux = c o negativo ux = -c otteniamo che nel sistema S’ la velocita` del raggio luminoso e` uguale agli estremi appena trovati 6

Trasformazione della velocità • Sia uy la componente della velocità u di un corpo lungo y nel sistema S, vogliamo trovare il valore uy’ della componente lungo y’ della velocità u’ nel sistema S’ • Differenziando le eqq. di trasformazione 7

Trasformazione della velocità • Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità • E similmente per la componente lungo z 8

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali • Vediamo il caso particolare in cui la luce in S e` diretta lungo y, allora • In S’ le componenti saranno • E il modulo della velocita` 9

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali • Lo si puo` dimostrare nel caso piu` generale verificando la relazione • inserendo nella formula le componenti della velocita` nel sistema S’ 10

Trasformazione dell’accelerazione • Si possono trovare le eqq. di trasformazione dell’accelerazione partendo dalle definizioni 11

Trasformazione dell’accelerazione • E analogamente per le componenti y e z 12

Effetto Doppler per onde e. m. • Sia dato un Sd. RI S in cui una sorgente a riposo emette un’onda e. m. piana monocromatica F( , t) di lunghezza d’onda l e periodo T • che si propaga nella direzione di una retta che giace nel piano xy e forma un’angolo con l’asse x • La relazione tra , x e y è y S z • Inoltre la velocità della luce si può esprimere come x 13

Effetto Doppler per onde e. m. • Nel sistema S’, in moto con velocità v lungo x rispetto a S, l’onda avrà lunghezza d’onda l’, periodo T’ e forma • ove ’ è dato da • Inoltre la velocità della luce si può esprimere come y y’ S S’ z x z’ ' ' x’ v 14

Effetto Doppler per onde e. m. • Applichiamo le trasformazioni di Lorentz alla fase (divisa per 2 ) di F’ nel sistema S’ • Questa espressione deve coincidere con la fase (divisa per 2 ) dell’onda F nel sistema S, perche’ la fase non dipende dal sistema di riferimento in cui viene misurata • Possiamo quindi uguagliare i termini omologhi nelle due espressioni 15

Effetto Doppler per onde e. m. • Otteniamo Dal rapporto delle prime due eqq. ricaviamo la relazione tra gli angoli di propagazione dell’onda nei due sistemi • e la relazione inversa • 16

Effetto Doppler per onde e. m. • L’ultima eq. ci dà la relazione tra le frequenze (f=1/T) nei due sistemi • e tra le lunghezze d’onda • Le relazioni inverse sono 17

Effetto Doppler per onde e. m. • Per (il Sd. R si muove nello stesso verso dell’onda) y’ x’ v z’ Spostamento “verso il rosso” y’ • Per (il Sd. R si muove in verso opposto all’onda) x’ z’ v Spostamento “verso il blu” 18

Effetto Doppler trasverso • Confrontando questa espressione con quella ottenuta nel caso classico • troviamo una perfetta corrispondenza per piccole velocità ( ) • Una notevole differenza si ha a grandi velocità per cui classicamente ma relativisticamente (effetto Doppler trasverso) 19