Teoria dei giochi Eliminazione iterata delle strategie strettamente

Teoria dei giochi §Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate §Il diritto di proprietà

Concetti base Ø Un problema di scelta razionale in condizioni di iterazione strategica (GIOCO) può essere descritto in termini matematici precisi mediante la forma estesa oppure la forma strategica. Ø Un gioco in forma strategica identifica i giocatori, le strategie di ognuno di essi e i payoff associati a ogni situazione sociale, che rappresentano l’utilità di ogni giocatore di trovarsi in quella particolare situazione sociale.

Concetti base SOLUZIONE DI UN GIOCO Con il termine soluzione di un gioco si intendono le strategie dei giocatori e le corrispondenti situazioni sociali che sono compatibili con alcune ipotesi riguardanti l’intelligenza e la razionalità dei giocatori, nonché il loro grado di conoscenza delle caratteristiche del gioco stesso.

Concetti base A seconda dei requisiti di conoscenza o razionalità in possesso dei diversi giocatori esiste una classificazione che individua quattro concetti base di soluzione: Ø Ø le strategie che sopravvivono all’eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate le strategie razionalizzabili l’equilibrio di Nash (o equilibrio strategico) l’equilibrio correlato

Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Mostriamo con un esempio come si applica il concetto di soluzione e successivamente diamo una definizione generale e spieghiamo in che senso l’esito così ottenuto rappresenta la scelta razionale in condizioni di interazione strategica. A tal proposito consideriamo il seguente gioco in forma strategica:

Forma strategica sinistra destra alto 3, 2 2, 6 centro 4, 4 3, 3 basso 6, 5 1, 3

Il gioco Ø Abbiamo un gioco in forma strategica di cui considereremo dapprima il giocatore I e in particolare confronteremo due strategie di tale giocatore: per esempio alto e centro. Ø Vogliamo vedere se I preferisce alto oppure centro, dobbiamo però tener conto di quello che I crede farà II.

Preferenze Ø Le preferenze del giocatore I tra alto e centro per ogni possibile strategia del giocatore II sono: • se II gioca sinistra, I ottiene 3 giocando alto e 4 giocando centro. Quindi se II gioca sinistra, I preferisce strettamente centro in quanto 4 > 3. • Se II gioca destra, I ottiene 2 giocando alto e 3 giocando centro. Quindi se II gioca destra, I preferisce strettamente centro in quanto 3 > 2.

Strategia strettamente dominata Possiamo notare che qualunque cosa faccia il giocatore II, I preferisce sempre centro rispetto ad alto: diremo a tal proposito che per il giocatore I la strategia alto è STRETTAMENTE DOMINATA dalla strategia centro. Si dice che per un certo giocatore, una strategia è strettamente dominata se ne esiste un’altra che assicura al giocatore in esame un payoff più elevato qualunque sia la strategia adottata dagli altri giocatori.

Strategia strettamente dominata Ø Il concetto di strategia strettamente dominata viene dimostrato confrontando di volta in volta due strategie, e non è sempre vero che una di esse è strettamente dominata dall’altra. Ø Consideriamo a tale proposito le strategie centro e basso per il giocatore I e replicando il procedimento visto in precedenza, andiamo a vedere le preferenze del giocatore I tra centro e basso per ogni possibile strategia del giocatore II.

Strategia strettamente dominata Ø Ø se II gioca sinistra, I preferisce strettamente basso rispetto a centro, in quanto 4 < 6. se II gioca destra, I preferisce strettamente centro rispetto a basso in quanto 3 > 1. In questo caso , le preferenze del giocatore I dipendono da quello che egli crede che faccia il giocatore II. Di conseguenza, la strategie centro non è strettamente dominata dalla strategia basso per il giocatore I, così come basso non è strettamente dominata da centro.

Strategia strettamente dominata Analogamente si può dimostrare che alto non è strettamente dominata da basso, così come basso non è strettamente dominata da alto. Quindi: Ø per il giocatore I alto è l’unica strategia strettamente dominata (dalla strategia centro) Ø il giocatore II non ha strategie strettamente dominate

Strategia strettamente dominata Un giocatore intelligente e razionale che conosca la struttura del gioco non giocherà mai una strategia strettamente dominata.

Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Ipotizziamo ora che ogni giocatore non solo sia intelligente, razionale e conosca la struttura del gioco, ma sappia anche ogni giocatore sa che tutti sono intelligenti, razionali e conoscono la struttura del gioco. . . e così via ad infinitum, cioè ipotizziamo che la struttura del gioco e l’intelligenza e la razionalità dei giocatori siano conoscenza comune. Vediamo ora come, nell’esempio in esame, tale ipotesi implichi l’eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate.

Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Stabilito che I non giocherà mai alto, se sinistr destra II è intelligente, razionale e conosce la a struttura del gioco, sa che I non giocherà alto 3, 2 2, 6 mai alto. Quindi II si disinteresserà completamente della strategia alto da centro 4, 4 3, 3 parte di I. Ma a causa dell’ipotesi di basso 6, 5 1, 3 conoscenza comune, I sa che II si disinteresserà della strategia alto. sinistra destra Ciò ci permette di ELIMINARE la STRATEGIA ALTO dal problema di centro scelta razionale, in quanto è conoscenza basso comune che non varrà giocata. 4, 4 3, 3 6, 5 1, 3

Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate L’eliminazione della strategia alto ha fatto si che, nella nuova versione del gioco, il giocatore II abbia una strategia strettamente dominata. Vediamo come considerando le preferenze tra le sue strategie per ogni possibile strategia del giocatore I: Ø Ø Se I gioca centro, II preferisce strettamente sinistra rispetto a destra, in quanto 4 > 3. Se I gioca basso, II preferisce strettamente sinistra rispetto a destra, in quanto 5 > 3.

Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Di conseguenza, qualunque sia la strategia adottata del giocatore I, il giocatore II preferirà sempre sinistra rispetto a destra. Quindi nel nuovo gioco destra è una strategia strettamente dominata per il giocatore II: questo significa che giocherà sinistra.

Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Per l’ipotesi di conoscenza comune dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della struttura del gioco, la strategia destra di II può essere ELIMINATA dal gioco, in quanto è conoscenza comune che non verrà giocata. Nel nuovo gioco centro per I è strettamente dominata dall’strategia basso. sinistra centro 4, 4 basso 6, 5 sinistra Possiamo dunque procedere all’eliminazione della strategia centro per il giocatore I e basso 6, 5 ottenere la versione finale del gioco. Si ottiene così un’unica soluzione del gioco: I gioca basso, II gioca sinistra e il payoff è (6, 5).

Soluzione ELIMINAZIONE ITERATA Dato un gioco in forma strategica, si individua una strategia strettamente dominata. Si elimina tale strategia e, di conseguenza, tutti i payoff associati all’utilizzo di quella strategia. Si scrive la nuova forma strategica del gioco e si ripete il procedimento fino a quando per tutti i giocatori non esistono più strategie strettamente dominate. Le strategie che sopravvivono all’eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate sono tutte e sole le strategie compatibili con l’ipotesi di conoscenza comune dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della struttura del gioco.

Il dilemma del prigioniero Consideriamo ora un noto esempio facilmente risolvibile mediante eliminazione iterata della strategie strettamente dominate: il Dilemma del Prigioniero. Ø La teoria dei giochi si è spesso dimostrata in grado di spiegare in modo semplice e sufficientemente rigoroso alcuni importanti fenomeni politici, sociali e economici. . Ø Uno degli esempi classici di applicazione del Dilemma del prigioniero è l’esistenza del diritto di proprietà.

Definizione Ø EFFICIENZA NEL SENSO DI PARETO • Una situazione sociale è efficiente nel senso di Pareto se non esiste alcuna situazione che è preferita debolmente da tutti i giocatori e strettamente da almeno uno di essi. Una situazione è efficiente nel senso do Pareto se non è possibile migliorare la situazione di qualcuno senza peggiorare , nello stesso tempo, quella di qualcun altro. •

Diritto di proprietà SITUAZIONE Bosco isolato in cui vivono soltanto due individui, entrambi cacciatore A ATTORI PRINCIPALI cacciatore B

Il gioco Un giorno i due cacciatori, al ritorno dalla caccia si incontrano. Hanno la possibilità di assumere due atteggiamenti diversi: CACCIATORE A AGGRESSIVO sottrae prede e fa schiavo B PACIFICO rispetta il diritto di B di allontanarsi con prede

Il gioco CACCIATORE B AGGRESSIVO sottrae prede e fa schiavo A PACIFICO rispetta il diritto di A di allontanarsi con prede

Soluzioni Ø Il gioco prevede quattro possibili situazioni sociali: 1) Entrambi i giocatori assumono atteggiamento aggressivo: STATO DI GUEURRA (G). Cacciatore A aggressivo e cacciatore B pacifico: A riduce B in SCHIAVITU’ (SA). Cacciatore B aggressivo e cacciatore A pacifico: B riduce A in SCHIAVITU’ (SB). Entrambi assumono un atteggiamento pacifico: STATO DI PACE, viene rispettato il diritto di proprietà (DP). 2) 3) 4)

Forma strategica Giocatore B Giocatore A aggressivo pacifico aggressivo G, G SB, SB pacifico SA, SA DP, DP

Preferenze à la Hobbes Ø Per descrivere le preferenze dei due giocatori ipotizziamo che i due cacciatori rispondano alla descrizione degli uomini fatta dal filosofo inglese Thomas Hobbes. Egli considera il cosiddetto stato di natura nel quale: • non esistono forme di coordinamento sociale tra gli individui, non esistono cioè né norme vincolanti né convenzioni sociali gli uomini sono naturalmente guidati da un amore per la libertà e dal dominio sugli altri •

Struttura preferenze GIOCATORE A SB > DP > G > SA GIOCATORE B SA > DP > G > SB Le preferenze possono essere scritte mediante due funzioni di utilità: A: UA UA(SB) > UA(DP) > UA(G) > UA(SA) B: UB UB(SA) > UB(DP) > UB(G) > UB(SB)

Soluzione Ipotizziamo ora che i due cacciatori decidano (simultaneamente e indipendentemente) come comportarsi in un mondo in cui non esiste una società che imponga loro di rispettare il diritto di proprietà. Possiamo facilmente notare che la strategia Pacifico è STRETTAMENTE DOMINATA per il giocatore A: • • se B è aggressivo, A preferisce a sua volta in modo aggressivo piuttosto che in modo pacifico, in quanto preferisce la guerra rispetto a diventare schiavo dell’altro se B è pacifico, A preferisce comportarsi in modo aggressivo perchè preferisce che l’altro sia un suo schiavo rispetto a tornare a casa ciascuno con le sue prede

Soluzione Ø Ø Qualunque sia il comportamento di B, il cacciatore A preferisce essere aggressivo. Qualunque sia il comportamento di A, il cacciatore B preferisce essere aggressivo. Possiamo quindi concludere che, se i due individui sono intelligenti, razionali, conoscono la struttura del gioco e hanno preferenze à la Hobbes, si comportano in modo aggressivo. L’esito sociale di un comportamento razionale è lo “stato di guerra universale” teorizzato da Hobbes.

Conclusioni L’esempio appena visto ha una struttura identica a quella del Dilemma del prigioniero L’esito associato a un comportamento cooperativo da parte di entrambi i giocatori è migliore per tutti e due rispetto all’esito associato a un comportamento non cooperativo, ma l’incentivo (individuale) a comportarsi in modo non cooperativo conduce a un ESITO INEFFICIENTE.

Conclusioni Ø Ø Come abbiamo visto nell’esempio, nel Dilemma del prigioniero, l’esito derivante dal comportamento individuale non è efficiente nel senso di Pareto, in quanto esiste un’altra soluzione sociale che è preferita strettamente da entrambi i giocatori. Il Dilemma del prigioniero è diventato famoso nella letteratura economica proprio perché illustra il possibile conflitto tra quello che è ottimo per il singolo individuo e quello che è ottimo per la società.