Teoria de Planck para a Radiao de Cavidade

Teoria de Planck para a Radiação de Cavidade Radiação de Corpo Negro

Teoria Clássica para a Radiação de Cavidade Cálculo de Rayleigh-Jeans o Cavidade Radiante (V=a 3) n n com ondas estacionárias: E(x, t)= E 0 sen(2 x/ )sen(2 t) o n n o Densidade de Energia n n onde c/ T( )d = (<Etotal> N( )d )/V energia por unidade de volume, contida em uma cavidade, no intervalo e d. contando ondas no intervalo e d : N( )d (8 a 3/c 3) 2 d (1) De acordo com a lei de equipartição de energia, por onda <Etotal>= k. T (2) o onde k é a cte. de Boltzmann n Ou em termos da radiância RT( ): n Resultado que ficou conhecido como a Catástrofe do ultravioleta!

Teoria Clássica para a Radiação de Cavidade Resultado Clássico X Experiência o Espectro em frequências o Espectro em comp. onda

Teoria de Planck para a Radiação de Cavidade Origem da Lei de Equipartição de Energia o Distribuição de Boltzmann o tal que P(E)d. E seja probabilidade de se encontrar um elemento do sistema, em equilíbrio à temperatura T, com energia entre E d. E o Calculando a Energia média:

Teoria de Planck para Radiação de Cavidade A proposta de Planck o Para baixas frequências n n o A teoria clássica prevê resultados coerentes, e podemos esperar que: <E> k. T ( 0) Para altas frequências n n A discrepância poderia ser removida se, por hipótese: <E> 0 ( ) Planck imaginou que, para as circunstâncias que prevalecem no caso da radiação de corpo negro, a energia média das ondas estacionárias fosse função da frequência: <E>= f ( ). Isto viola a lei de equipartição de energia?

Teoria de Planck para Radiação de Cavidade Energia: variável contínua X discreta o Sendo E uma variável discreta n Assume apenas valores discretos igualmente distribuídos, ou seja: n E= 0, E, 2 E, 3 E, 4 E. . . Como consequência, o cálculo da energia média passa ser feito por somas ao contrário de integrais, como apresentado anteriormente! n Comparação qualitativa o com E << k. T E k. T o com E k. T E < k. T o com E >> k. T E << k. T Observa-se que o resultado satisfaz as condições esperadas para os mesmos limites de frequência! E a Lei não é violada.

Teoria de Planck para a Radiação de Cavidade Hipótese e resultados o Definindo a relação entre E e n n Recalculando a energia média: n Resultado de Planck para <E> Função proporcionalidade simples: E h. (sendo h uma cte. ) Satisfaz as exigências da proposta nos limites: ( 0) E 0 E k. T (clássico) ( ) E E 0 o o para E n h. (n= 0, 1, 2, 3. . . ) Ver a dedução completa no exemplo 1. 4 n E tomando o resultado já conhecido para a contagem N( )d , temos: n Resultado de Planck para a radiação do corpo negro, em função das frequências. n Ou, para: RT(ν)dν = (c/4). ρT(ν)dν

Teoria de Planck para a Radiação de Cavidade O resultado da teoria comparado à experiência o Calculando em função de : n n T( ) é definida de forma que: T( )d = - T( ) d Ver demonstração no exemplo 1. 5. Resultados experimentais em completa concordância com a previsão da teoria para o espectro de corpo negro em qualquer T. Planck não alterou a distribuição de Boltzmann. Apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas estacionárias na cavidade radiante como uma variável discreta.

Teoria de Planck para Radiação de Cavidade Cálculo da constante de Planck o Demonstração das leis empíricas n n n n o o Lei de Stefan-Boltzman RT= T 4, = 5, 67 10 -8 W/m 2. K 4 Lei de Wien max. T= CW , CW= 2, 898 10 -3 m. K Resultados de Planck (1901)1 h= 6, 55 10 -27 erg. s k= 1, 346 10 -16 erg/grau Valores atualmente aceitos: h= 6, 626 10 -34 J. s k= 1, 381 10 -23 J/K 1 M. Planck, Ann. d. Phys. 4 (1901), p. 553

Teoria de Planck para Radiação de Cavidade O Postulado de Planck o o o Toda entidade física com apenas um grau de liberdade, cuja “coordenada” seja uma função senoidal do tempo (tipo OHS), tem a energia total quantizada. Ou seja, a energia total (E) deve satisfazer a relação: E= n. h n= 0, 1, 2, 3. . . n n Acima trecho retirado da última pág. do artigo de Planck 1 1 M. Planck, Ann. d. Phys. 4 (1901), p. 553 sendo a frequência de oscilação, e h a constante de Planck.