Teoria das Relaes Uma relao binria um conjunto

Teoria das Relações Uma relação binária é um conjunto de pares ordenados. n Uma relação entre dois conjuntos X e Y é um subconjunto do produto cartesiano X Y n X Y denota o conjunto de todas ^ [P (X x Y) relações entre X e Y: X Y = Notação: n ^ (a, b) R a R b= ^ (a, b) a b=

Exemplo de Relações Sejam cursos-CIn = {graduação, mestrado, extensão, doutorado} alunos = {Maria, João, Ana, Paulo, Mônica} e a relação cursa, tal que Maria cursa graduação João cursa graduação Ana cursa mestrado Paulo cursa doutorado

Exemplo descrito formalmente cursa: alunos cursos-CIn cursa = {Maria graduação, João graduação, Ana mestrado, Paulo doutorado} ou cursa: [P (alunos cursos-CIn) a: alunos; c: cursos-CIn a cursa c (a=Maria c=graduação) (a=João c=graduação) (a=Ana c=mestrado) (a=Paulo c=doutorado)

Alguns conceitos n Em R: X Y, X é o tipo fonte (source) de R e Y é o tipo destino (target) de R. n Um elemento x do tipo X pertence ao domínio de R se existe y Y tal que x R y. Neste caso, y pertence a imagem (range) de R.

Domínio [X, Y] dom _ : (X Y) [P X R: X Y dom R = {x: X | y: Y x R y} Alguns exemplos: dom {} = {} dom {x y} = {x} dom cursa = {Maria, João, Ana, Paulo}

Teoremas sobre domínio dom (S T) = dom S dom T Mas CUIDADO com a interseção! podem ser diferentes dom (S T) dom S dom T Exemplos: dom ({1 2} {1 3}) = dom {} = {} dom {1 2} dom {1 3} = {1}

Imagem [X, Y] ran _ : (X Y) [P Y R: X Y ran R = {y: Y | x: X x R y} Alguns exemplos: dom {} = {} dom {x y} = {y} dom cursa = {graduação, mestrado, doutorado}

Teoremas sobre imagem ran (S T) = ran S ran T Mas CUIDADO com a interseção! podem ser diferentes ran (S T) ran S ran T Exemplos: ran ({1 2} {3 2}) = ran {} = {} ran {1 2} ran {3 2} = {2}

Restrição de domínio n S R denota a relação formada a partir de R, restringindo-se seu domínio ao conjunto S. Alguns exemplos: {Maria, Ana} cursa = {Maria graduação, Ana mestrado} {Monica} cursa = {}

Definição formal [X, Y] _ _ : [PX (X Y) S: [P X; R: X Y S R = {x: X; y: Y | x S x R y x y} Teoremas (S T R) R (S R) = (T S ) R

Restrição de imagem n R S denota a relação formada a partir de R, restringindo-se sua imagem ao conjunto S. Alguns exemplos: {graduação} = {Maria graduação, João graduação} cursa {extensão} = {} cursa

Definição formal [X, Y] _ _ : (X Y) [PX (X Y) S: [P X; R: X Y R S = {x: X; y: Y | y S x R y x y} Teoremas (R S) R (R S) T=R (S R) T = S (R (S T) T)

Subtração de domínio n S R denota uma relação com todos os pares de R cujo 1 o elemento não pertence ao conjunto S Alguns exemplos: {Maria, Ana} cursa = {João graduação, Paulo doutorado} {Monica} cursa = cursa

Definição formal [X, Y] _ _ : [PX (X Y) S: [P X; R: X Y S R = {x: X; y: Y | x S x R y x y} Teoremas dom (S R) = (dom R) S S R = (X S) R = (S R R) (S R)

Subtração de imagem n R S denota uma relação com todos os pares de R cujo 2 o elemento não pertence ao conjunto S. Alguns exemplos: {graduação} = {Ana mestrado, Paulo doutorado} cursa {extensão} = cursa

Definição formal [X, Y] _ _ : (X Y) [PX (X Y) S: [P X; R: X Y R S = {x: X; y: Y | y S x R y x y} Teoremas ran (R S) = (ran R) S R S=R (Y S) R = (R S)