Teoria da Computao e Fundamentao da Matemtica Um

Teoria da Computação e Fundamentação da Matemática : Um pouco de história Edward Hermann Haeusler Prof. do Departamento de Informática PUC/RJ

Qual a relação entre a Lógica e a Computação ? - O que é a (Teoria da) Computação ? (Tentativa de) conceituação do Computável - O que é Lógica ? (Tentativa de) conceituação do Razoável Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 2

Computável Toda tarefa que pode ser realizada por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento = ? Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667) Antes de 1900 d. c ====> Máquina de Calcular de Pascal. (Pascal sec. XVII) Máquina de Babbage (Ch. Babbage. sec. XIX) Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 3

Razoável Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis. Antes de 1879 Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a. c. ) ====> Álgebras Booleanas (Boole 1847) Álgebra Relacional (De. Morgan, Schroeder, C. S. Peirce XIX) Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 4

Panorama da Matemática no Século XIX - Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX): - Equação da Onda - Equação do Calor - Equação de Poisson - Técnicas de Fourier - Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais - Problemas de Fundamentação: - Séries divergentes x Séries Convergentes - Conceito de infinito não era preciso - Conceito de função não era preciso - O próprio conceito de número real não era preciso. - Definição de convergência não existia Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 5

Panorama da Matemática no Século XIX (cont. ) Dedekind (1831 -1916) Estabelece o princípio de indução e define conceito de número real Cauchy (1789 -1857) Bolzano(1781 -1848) Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas Riemman(1826 -1866) Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas Peano (em 1889) Define os axiomas da aritmética Weierstrass (1815 -1897) Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas Hilbert (em 1898 -1899) Estabelece a fundamentação da geometria Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 6

Teoria Ingênua dos Conjuntos Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos) Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de números cardinais e ordinais transfinitos. Resistência aos principais resultados em função do “receio do infinito” Os paradoxos: - Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais” - Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos” R = { x / x x} Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio ==> R R se e somente se R R Teoria da Computação: e Fund. Matemática 7

Evolução da Lógica como assunto matemático De. Morgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos. Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando De. Morgan. Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal. Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência ( ) como primitivo. ===> Os paradoxos aparecem novamente !! ===> Paradoxos associados ao axioma da escolha Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 8

As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos. Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana fundamentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 9

O Programa de Hilbert => Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que: - As teorias mais complexas são extensões das mais simples. Th(N) Th(Z) Th(Q) Th(R) Th(C) - Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, por compactação, completamento algébrico, etc) => Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias. => Provar que não existe prova de 0 = 1 usando. . . Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 10

Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX - Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell - Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica. - Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível. - Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível - Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética (só o sucessor). -Tarski (1930) formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem - Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem - Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: # é o código de . - Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 11

Os Teoremas de Gödel Lema da diagonal (Gödel/Tarski): T |- diagx 1(# , # ( )) Paradoxo do mentiroso: “Eu estou mentindo” ( Th(N) T) se e somente se x 1 é a única variável livre em e (t) indica substituição por t Seja (x 1) uma fórmula com somente x 1 livre, então existe tal que T |- (# ) Pr Teorema de Tarksi: Não existe uma fórmula Verd(x 1) em T capaz de definir a verdade aritmética, isto é, T |- Verd(# ) se e somente se é verdadeira na aritmética. Teorema de Gödel: Qualquer axiomatização de Th(N) onde seja possível aritmetizar o conceito de prova é incompleta. Prova: Seja Th(N) e uma fórmula Pr(x, y) tal que |- Pr(# , # ) se e somente se é uma prova com axiomas de . Aplique o lema da diagonal a p Pr(p, x 1) Segundo Teorema de Gödel: Seja uma axiomatização como acima, então a fórmula p Pr(p, #(0=1)) não é demonstrável a partir de Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 12

Codificando Pr em uma definição recursiva Prova Axiomas formada por Regras de Inferência Premissas formada por conclusão Sentenças conectivos/ quantificadores Átomos Sentenças Compostas Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 13

Leitura computacional do teorema de Gödel · Todas as funções computáveis são representáveis em [N, <, 0, suc, +, *]. · Toda computação pode ser expressa em forma de Dedução a partir de um conjunto de axiomas (GA) que defina as operações aritméticas básicas. Þ Gödel define o conceito de função primitivamente recursiva e relaciona com aquelas que são representáveis em aritmética. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 14

· Th( [N, <, 0, suc, +, *]) · diag é computável. · Como GA é r. c. então Ded é computável Þ Ded é representável em Cn(GA). Þ Qualquer axiomatização r. c. GA para [N, <, 0, suc, +, * ] é incompleta, i. e, Cn(G) é incompleta. ß Existem funções não computáveis Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 15

Seja T = fórmulas válidas T ser r. c Cn(T È G) é r. c. fórmula b repr. f em Cn(TÈ GA) função f computável que reconhece Cn(TÈ G) Diag. sobre ~b a « ~b(#a) Cn(TÈ GA) Contradição Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 16

A Computação do ponto de vista das funções prim. recursivas 1931 - Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética 1927/1928 - Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea 1934 - Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e “nested” a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável. 1936 - A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler , apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística 1936 - A. Church Define o -Calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing. 1938 - Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church. 1954 - Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 17

Sxyz (xy)xz : 0: I : 1: P 0 K Kxy x Ix x (I SKK) : 2: P 1 K. . . : n: P: n-1: K. . P Tese de Church: f: N N é computável se e somente se existe um combinador F C 1 C 2. . . Cn tal que para todo n N (F: n: : m: ) f(n) = m) f é recursiva n existe uma máquina de Turing M , tal que M com 11. . . . 111 na fita de entrada M pára com 11. . . 11111 na saída sssnf(n) = m existe um algoritmo de Markov A , mt. q. A lendo 11. . . . 111 pára e produz o string 11. . . 11111 na saída sss f(n) = m m Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 18

A Tese de Church é um enunciado científico, portanto não possui demonstração matemática. Evidência Forte para a Tese de Church Teorema de Rogers (1958): Sejam duas FAA’s ( i)i N então existe f recursiva tal que i = f(i) Obs: Uma FAA é um conjunto de funções parciais ( i)i N, tal que: 1 - As funções parc. recursivas estão todas em ( i)i N 2 - Existe u N com u parc. recursiva tal que para todo i e x u(i, x) = i(x) 3 - Existe c recursiva tal que c(i, j) = i j Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 19

A Tecnologia e a Construção do Computador 1890 -1900: Hollerith cria o cartão perfurado e o utiliza na sua máquina eletromecânica de processamento de dados (Censo de 1890). Criação da perfuradora de cartões (usada até fins dos anos 70 do século XX). 1900 -1919: Invenção do diodo a vácuo (rádio-com)- Flemming, Invenção do tríodo (válvula eletrônica)- De Forest, Invenção do CRT- Swinton, descoberta da supercondutividade- Onnes, descoberta da semicondutividade (germânio) -Benedicts, invenção do FLIP-FLOP (unid. armazenamento de 1 bit)- Jordan 1925 : Primeiro computador analógico é construído para resolver equações dif. Bush 1931 : Konrad Zuse constrói a primeira calculadora elétrica digital Z 1. 1937 : Claude Shannon aplica lógica booleana a circuitos de chaveamento. Primeiro somador em base binária (Dissert. Mestrado em matemática). G. Stibitz desenvolve o somador usando relés elétricos (na Bell Labs). 1937 : Zuse define o circuito para o teste de igualdade entre números binários. 1938 : Zuse constrói a Z 2 que refina a Z 1 com aritmética binária em relés. É o primeiro computador eletromecânico Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 20

1941 : Primeiro computador eletrônico (não-programável) , o ABC, Clifford & Berry 1941 : Zuse desenvolve o Z 3, primeira máquina controlada por programa. Memória de 64 palavras e 3 sec por multiplicação. 1942 : John Mauchly introduz a válvula eletrônica como substituta do relé. 1942 : Computador Britânico Collossus (quebra do código alemão ? ? ) 1943 : Computador Mark I na IBM 1943 : ENIAC (Eletronic Numeric Integrator and Computer) (30 ton e 18000 válvulas). : Visita de John von Neuman às instalações do ENIAC. Após esta visita é iniciado o projeto do EDVAC (computador com programa armazenado). : Um inseto (bug) nos contatos de um relé do Mark II é descoberto ser a causa de seu mal funcionamento. 1944 1945 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 21

1947 : Invenção do Transistor (Bardeen, Brattain & Schokcley). 1947 : Início da construção do EDSAC em Cambridge. 1948 : Introduzido o uso de disco magnético como memória secundária. 1948 : Mark I passa a ser o primeiro computador digital com armazenamento de programas. Limitado porém. 1949 : Primeiro computador pleno com armazenamento de programas (EDSAC) 1950 : Zuse instala o Z 4 na universidade de Zurique. 1951 : Primeiro UNIVAC é vendido ao departamento de demografia americano. Pesava cerca de 20 tons e realizava 1000 operações por segundo. 1951 : Primeiro computador americano com arm. de programa EDVAC finalizado e operacional (Univ. Pensilvânia). O conceito de microprogramação é introd. 1954 : UNIVAC equipado com memória de núcleo de ferrite. Em 1955 UNIVAC com transistores no lugar das válvulas. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 22

1956 : FORTRAN é desenvolvido por J. Backus na IBM. 1957 é o ano do primeiro compilador comercial da linguagem. 1958 : John Mc. Carthy desenvolve LISP. ALGOL 58 é desenvolvido pela equipe de Backus. 1959 : Desenvolvimento de FLIP-FLOP em circuitos integrados. 1959 : PDP-1 desenvolvido pela Digital. 4 k de RAM, palavras de 18 bits, fita de papel e CRT. 1960 -1962 : Desenvolvido o princípio de comunicação por pacotes de dados, P. Baran. 1960 1963 : COBOL é distribuído para instalações comerciais. Consórcio Americano. Europeu especifica o padrão ALGOL 60. : Programa ELIZA escrito por J. Weinzenbaum (MIT). 1961 : Conceito de “time-sharing”, multiusuário e multiprogramação são introd. 1960 -1964 : Computadores IBM pós série 700: s. 1400, 7090, projeto do System/360 1964 : Linguagem BASIC (Beginners All Purpose Language), PL/I (IBM) Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 23

1964 -1965 : PDP-8 (Digital) é o primeiro mini-computador. 1965 : Projeto Multics (MIT). Linguagem APL (IBM). 1967 : SIMULA-67, primeira linguagem orientada a objeto (Nyygard) 1967 : Primeiro artigo sobre uma rede integrada de computadores (Arpanet) 1967 : Desenvolvimento de PASCAL (N. Wirth). 1968 : Programação Estruturada (goto’s are out) , Dijkstra. 1968 : Primeiro computador feito somente com circuitos integrados (B 2500 e B 3500) 1969 : Primeira rede não local operacional UCLA, UC Santa Barbara, SRI, U. Utah. 1969 : Padrão RS-232 de comunicação com periféricos. 1970 : UNIX. Linguagem C em 1967. 1971 : Primeiro microprocessador 4004 (4 bits), F. Fagin (Intel). 8008 (1972) Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 24

E a história se repete. . . 1968 : Conferência Internacional (NATO conf. on Prog) discute a crise do software e cunha o termo “Engenharia de Software”. Duas exceções e outros desenvolvimentos: 1970 : Codd define o modelo relacional e sua álgebra, enquadrando BD em uma abordagem com fundamentação matemática e formal. 1960 -1970 : Desenvolvimento da teoria de linguagens formais (Chomsky) coloca a área de implementação de linguagens de programação em bases mat. e formais (YACC e etc). 1978 - : Uso de álgebra e lógica em modelos de concorrência e de desenvolvimento de software. Introdução do conceito de prova de correção de programa, validação de modelos, etc. . . . Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 25

A Ciência da Computação Hoje : NP = P ? (Cook 1970) P : Encontra solução em tempo polinomial NP : Verifica solução em tempo polinomial Co. NP : Verifica que não é solução, em tempo polinomial Taut Co. NP Sat NP Verificação de Modelos Prova de Teoremas Obs: Se Co. NP então NP P Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 26

Def. Seja C uma classe de problemas (linguagens). Diz-se que um problema (ling. ) P é C-completo (a) se e somente se todo problema (ling) de C é redutível a P. Isto é resolver P é tão difícil quanto resolver qualquer outro problema em C. Exemplos: - Saber se um programa pára (via outro programa) é Rec-Completo, onde Rec é o conjunto dos problemas (ling) recursivos. - Saber se dado uma solução para um problema esta é verificável em tempo polinomial é tão difícil quanto decidir se uma sentença da lógica proposicional é “verdadeira”. Sat é NP-completa. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 27

Como SAT é NP-Completo então Taut é Co. NP-Completo ===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então Co. NP = NP. Senão existe tal sistema então Co. NP e portanto NP P. ===> P = NP é um problema genuinamente matemático. ===> P = NP é um problema genuinamente de ciência da computação. ===> P = NP é um problema genuinamente de fundamentação e lógica. - Já se tentou técnicas de construção de modelos via “forcing” (funcionou com a hipótese generalizada do continum) mas a crença geral é que não funciona. - Técnicas de diagonalização e relativização (tradição lógico-matemática) tem sido extensivamente usadas no estudo de questões relacionadas a NP=P. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 28

Alguns Fatos Importantes : Fato 1: Se P NP então NP-NPC . conjectura-se que isograph está em NPI Prova: Diagonalização Fato 2: Existe um oráculo B tal que PB = NPB Prova: NPSPACE=PSPACE e B um problema NPSPACE completo Fato 3: Existe um oráculo C tal que PC NPC Prova: Diagonalização Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 29

Lema: Sejam C 1 e C 2 duas classes de Linguagens, tais que : 1 - C 1 e C 2 são construtivamente enumeráveis 2 - C 1 e C 2 são fechadas para variação finita 3 -Existe L 1 C 1 e L 2 C 2 nestas condições existe L, tal que: L C 1 C 2 Prova: Diagonalização Teorema: Se P NP, então Sat P e NPC então existe L P NPC Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 30

Teorema do Razborov (1985 -1989) Fato: Se L P então existe uma família de circuitos booleanos (Cn)n N e um polinômio p(x) tal que Ln é aceita por Cn e | Cn | p(n). Corolário: Se existe L tal que toda família de circuitos para Ln não é limitada por polinômio então NP P. Teorema (Razborov): Circuitos monotônicos para CLIQUEn, k quando k = 4 n tem cota inferior : Indício de que NP P Obs: A prova do teorema de Razborov usa a técnica de ultraprodutos introduzida em 1938 por Lós para provar a compacidade da lógica de primeira ordem Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 31

Lembretes: Computação (Matemática/Lógica) Computação Tecnologia não é a essência da Ciência da Computação Engenharia = Conjunto de Técnicas Ciência Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 32

O que são técnicas finitárias ? ? ? (visão a posteriori) - Operações efetivas sobre objetos concretos Objetos concretos: |, |||, ||||||, . . �, � �, . . . . Operações efetivas: ? ? ? ? juntar símbolos apagar símbolos escrever símbolos reconhecer um símbolo Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 33

Consistência Def. Uma Teoria é consistente se não sustenta fatos falsos. Def. Uma Teoria é consistente se não prova todos os fatos. Def. Uma Teoria é consistente se não prova algum absurdo. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 34

Equação da onda u ut(x, 0) = g(x) e u(x, t) = F(x+ct)+G(x-ct) u(x, 0) = f(x) D’Alembert 1747 + Euler 1748 Daniel Bernouli 1753 xt u(x, t) = 2 0 (sinn ysinn xcosn ct)f(y)dy + 2 0 (1/n) (sinn ysinn xsinn ct)g(y)dy Lagrange 1759 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 35

Equação do calor u(0, t) = u(L, t) = 0 u(x, 0) = f(x) L u(x, t) = cne-n 2 2 Kt/L 2 sin(n x/L) n=1 f(x) = cnsin(n x/L) n=1 L cn= (2/L) f(x) sin(n x/L)dx 0 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Fourier 1811 ==> Toda “função” tem expansão em série de senos ? ? ? Dirichlet (1829, 1837) + Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral, 1900’s) Teoria da Computação: e Fund. Matemática 36

Manipulação com séries infinitas (I) : Resolvendo equações C x+ 3 x=6 =9 1 + a. C = C C(1 -a) = 1 C = 1/(1 -a) Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 37

Diferenciação de uma série (termo a termo) dx Integração de uma série (termo a termo) Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 38

Geometrias Não-Euclidianas Hiperbólica Bolyai-Lobachevsky 1820 Plana Euclides 400’s Elíptica Riemman 1800’s Axiomas de Euclides 1. Para cada par de pontos P 1 e P 2 com P 1 P 2 existe uma única reta que incide em ambos. 2. Para todos segmentos AB e CD existe um ponto E t. q. E está entre A e B e CD BE 3. Para todo par de pontos O e A com O A existe um única circ. com centro O e raio OA 4. Todos os ângulos retos são congruentes 5. Dados uma reta R e um ponto A fora desta, existe uma única R’ paralela e R e incidente em A. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 39

O método da diagonal de Cantor suponha que |(0, 1)| = |N| a 0= 0, aoo ao 1 ao 2 ao 3 ao 4. . . . aon. . . a 1= 0, a 1 o a 11 a 12 a 13 a 14. . . . a 1 n. . . 5 se ajj = 9 bj= 9 senão an= 0, ano an 1 an 2 an 3 an 4. . . . ann. . . b = 0, b 0 b 1 b 2 b 3 b 4. . . . bn. . |(0, 1)| |N| Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 40

Teorema de Cantor {A / A B} ==> Seja B um conjunto, então |B| < |2 B| Prova: Suponha que |B| = |2 B| então existe f: B 2 B S = { x / x f(x) } f-1(S) S se e somente se f-1(S) S Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 41

T |- (# ) Seja t = #( x 2(diagx 1(x 1, x 2) (x 2))) então será x 2(diagx 1(t, x 2) (x 2))) x 2(substx 1(t, x 2) (x 2))) (diagx 1(t, # ) (# )) T |- diagx 1(t, # ) (# ) diagx 1(t, x 2) T |- diagx 1(t, # ) T |- (x 2) T |- x 2= # T |- diagx 1(t, x 2) (x 2) T |- x 2 (diagx 1(t, x 2) (x 2)) Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 42

Não provabilidade da consistência em Cn(G) · a « ~Pr(#a) Cn(G) [Diag] · se a Cn(G) então Provavel(#a) Cn(G) Þ Cn(G) é inconsistente. Þ se Cn(G) é consistente então ~Provavel(#(0=1)) Cn(G) a Cn(G). ~Provavel(#a) Cn(G) a Cn(G) Þ Portanto se ~Provavel(#(0=1)) Cn(G) então Cn(G) é inconsistente Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 43

Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 44

Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 45

Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 46

Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 47

Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 48

Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 49

Paradoxos associados ao Axioma da Escolha S = Rotação de 1/10 de radiano v C = n(v) n N S C -1 1 v) - ( S C -1(v) = Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio -1(S C) Teoria da Computação: e Fund. Matemática 50

Paradoxo de Banach-Tarski (1924) e Paradoxo de Hausdorf (1914) Divisão da esfera em 5 partes (uso do axioma da escolha) Rotações e Translações Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 51

Existência de um conjunto sem medida em Rn - Medida como Comprimento, Área ou Volume (desde a Grécia antiga) - Medida como associada a integral de Riemman - Medida de Jordan (contempla somente conjuntos limitados) - 1890 - Medida de Lebesque generaliza a de Jordan e contempla conjuntos ilimitados incluindo os Riemman integráveis - 1902 - Vitali usa o axioma da escolha para mostrar a existência de um conjunto sem medida (1905) - Solovay (1960’s) prova que substituindo-se o axioma da escolha pelo axioma da determinância (“Todo jogo infinito tem estratégia vencedora”) tem-se que todo subconjunto do Rn é mensurável. Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 52