Teoria Cinetica dei gas Unesposizione elementare Le tappe

Teoria Cinetica dei gas (Un’esposizione elementare)

Le tappe fondamentali dell’interpretazione cinetica del calore 1738 Daniel Bernoulli : spiegazione della legge di Boyle col modello cinetico (pressione di un gas come risultato degli urti delle molecole sulle pareti del contenitore) (ignorata per il prevalere del modello ‘statico’ proposto da Newton) 1820 John Herapath: riproposta dei risultati di Bernoulli, • calcolo della velocità di una molecola d’idrogeno 1827 Robert Brown : scoperta del moto “Browniano” 1848 1856 1861 J. R. Joule : equivalenza tra calore ed energia meccanica • abbandono definitivo della teoria del calorico • riproposta del lavoro di Herapath R. Clausius : ”sulla natura di quel particolare moto che chiamiamo calore” [fondamenti della moderna teoria cinetica] J. C. Maxwell - Ludwig Boltzmann : sviluppo dettagliato della teoria matematica [Meccanica statistica]

Le tappe fondamentali dell’interpretazione cinetica del calore 1900 J. Perrin : studio del moto browniano e determinazione del numero di Avogadro 1920 Otto Stern - Zartmann - etc. : conferme sperimentali della legge di Maxwell per la distribuzione statistica delle velocità molecolari nascita e sviluppo della Meccanica Quantistica

La teoria cinetica ‘classica’ costituisce l’ultimo trionfo della meccanica newtoniana nella descrizione dei fenomeni naturali: anche i fenomeni microscopici possono essere affrontati e spiegati sulla base delle leggi di Newton e dei principi di conservazione Alcune sue previsioni non sono però in accordo con i dati sperimentali: solo lo sviluppo della meccanica quantistica ha potuto fornire una descrizione pienamente soddisfacente dei fenomeni su scala atomica

Il modello meccanico di un gas Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed i solidi, il comportamento dei gas appare indipendente dalla specie chimica. La bassissima densità, la capacità di espandersi illimitatamente, il comportamento semplice e regolare al variare di temperatura e pressione portano a concludere che, nello stato gassoso, le molecole siano sostanzialmente indipendenti e libere, che le forze fra di esse agiscano, a breve distanza, solo nell’urto. Ciò conduce a formulare un primo modello meccanico fondato sulle seguenti ipotesi: • Le molecole sono assimilabili a sfere rigide • Il loro numero è così elevato da essere statisticamente significativo • Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas • L’urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico (si conserva l’energia cinetica) • Tutte le molecole sono di ugual massa • il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate e infine: * le molecole non si urtano fra loro L’abbandono di quest’ultima ipotesi porta ad un sostanziale raffinamento del modello, conseguenze estremamente significative

Applichiamo al modello le leggi di Newton: (la risultante delle forze applicate ad un corpo è uguale alla variazione al secondo della sua quantità di moto) Si pensi ad 1 sola pallina di massa m in moto con velocità v entro una scatola cubica di lato L L S v Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse X, essa subisce una variazione della quantità di moto: L L z vx forza agente sulla particella in 1 urto: v y x -vx v forza agente sulla parete in 1 urto: ( 3° principio della dinamica)

L’intervallo di tempo tra due urti consecutivi è: L La forza esercitata in media da 1 particella è dunque: La pressione sulla faccia (di area S=L 2) della scatola (di volume V=L 3) è: Per 1 particella si ha dunque:

Per N particelle invece: (ove è il valore medio del quadrato delle componenti della velocità lungo l’asse X) Ma, essendo ogni direzione ugualmente probabile, (teorema di Pitagora) E quindi “il prodotto pressione x volume di un gas è proporzionale all’energia cinetica media delle molecole” [Legge di Joule-Clausius]

Teoria Cinetica (ipotesi teorica) Equazione di stato dei gas (risultato sperimentale)

La temperatura assoluta risulta dunque (se la deduzione è corretta !), essere proporzionale alla sola energia cinetica media del moto molecolare: avendo definito con k la costante di Boltzmann (costante universale): Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta !

Calcolo delle velocità molecolari A che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O 2 ) a temperatura ambiente ? (T=27 °C = 300 K) se: Velocità quadratica media (radice quadrata della media dei quadrati delle velocità) per l’Ossigeno : massa molecolare

…e una molecola d’Idrogeno ( H 2 ) ? (a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa molecolare) Se le cose stanno così allora …. una molecola 100 volte più pesante di quella di ossigeno avrebbe comunque la rispettabile velocità di circa 50 m/s e percorrerebbe un locale di 5 metri di lunghezza ben 10 volte in 1 secondo !!!!…………che sia proprio così ?

Fai clic sulla foto L’esperienza ci dice che il profumo del caffè non ci arriva così in fretta !! [prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni] Questo fenomeno di propagazione di un gas in un altro (diffusione) appare in realtà decisamente più lento. Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni della teoria cinetica ? Rinunciando all’ipotesi che le dimensioni delle molecole siano infinitamente piccole , tanto piccole da rendere trascurabile la probabilità di un urto fra esse

Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite , per esempio sfere di raggio r , allora il percorso di ciascuna molecola sarà una successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione differenti, tra un urto e l’altro, percorsi ciascuno con velocità diversa, dipendente dalle modalità con cui avviene l’urto con un’altra molecola. Più grandi sono le molecole, più è probabile l’urto reciproco !

Si può dimostrare che la frequenza d’urto (numero di collisioni al secondo) è data da: e che il libero cammino medio (distanza media percorsa tra un urto e il successivo) è : r = raggio molecolare n = numero di molecole per unità di volume = velocità media Nel 1856 R. Clausius determinò, proprio in base alle velocità di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, l’ordine di grandezza delle dimensioni molecolari: Si tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate !

Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti. Si deve a J. C. Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità molecolari in un gas, il cui andamento dipende solo dalla temperatura :