TEORIA AXIOMTICA DOS CONJUNTOS SOMA E MULTIPLICAO DE

TEORIA AXIOMÁTICA DOS CONJUNTOS SOMA E MULTIPLICAÇÃO DE ALEPHS Equipe: Everton Marques Patrícia Lustosa

Adição de Cardinais �Iniciaremos relembrando as definições de adição e multiplicação de cardinais. �Seja k e λ números cardinais. Definimos anteriormente k + λ como a cardinalidade do conjunto X U Y, onde |X| = k, |Y| = λ, e X e Y são disjuntos : |X| + |Y| = |X U Y| se X M Y = Ø �Além disso, vimos também que essa definição não depende da escolha de X e Y

Multiplicação de cardinais �O produto k. λ foi definido como a cardinalidade do produto cartesiano X x Y, onde X e Y são dois conjuntos quaisquer com cardinalidade k e λ respectivamente. |X|. |Y| = |X x Y| �Novamente, essa definição independe da escolha de X e Y.

Regras aritméticas da adição e multiplicação de cardinais �Vimos também que a soma e a multiplicação de cardinais satisfazem algumas regras aritméticas tais como comutatividade, associatividade e distributividade: �k+ λ = λ + k �k. λ = λ. K �k + (λ + µ) = (k + λ) + µ �k. (λ. µ) = (k. λ). µ �k. (λ + µ) = k. λ + k. µ �Se k e λ são cardinais finitos, então as operações k + λ e k. λ coincidem com as operações aritméticas de ordinais

Aritmética de números infinitos �A aritmética de números infinitos difere bastante da aritmética de números finitos. �As regras de adição e multiplicação de alephs são bem simples: �Ν 0 + n = Ν 0 � Isso é verdade para todo número natural n. �Ν 0 + Ν 0 = Ν 0 � Por exemplo, podemos ver o conjunto dos naturais como a união de dois conjuntos disjuntos contáveis (pares e ímpares). � Ν 0 = Ν 0 � O conjunto de todos os pares de números naturais é contável.

Teorema 2. 1 �Dadas as operações mostradas anteriormente, podemos provar um teorema geral que determina completamente o resultado da adição e multiplicação de alephs: Teorema 2. 1: Nα. Nα = Nα, para todo α. �Antes de provarmos esse teorema, é necessário vermos as conseqüências da adição e multiplicação de números cardinais, através de 2 corolários que serão mostrados adiante.

Corolário 2. 2 �Corolário 2. 2: Para todo α e β tal que α < β, temos: Então, Nα. N β = N β. n + N α = N α, para todo número natural n. �Prova: Se α < β, de um lado nós temos que: Nβ = 1. Nβ < Nα. Nβ e por outro lados temos que: o teorema 2. 1 diz que Nα. Nβ < Nβ. Nβ = Nβ. Então, pelo teorema de Cantor-Bernstein Nα. Nβ = Nβ. A outra igualdade é provada da similarmente.

Corolário 2. 3 �Corolário 2. 3: Para todo α e β tal que α < β, temos: Nα + N β = Nβ Então, n + Nα = N α para todo número natural n. �Prova: Se α < β, então: Nβ < Nα + Nβ < Nβ + Nβ = 2. Nβ = Nβ �A segunda parte é provada similarmente.

Prova do teorema 2. 1 (I) �Provaremos o teorema 2. 1 por indução transfinita. Para todo α, construímos uma certa well-ordering < do conjunto ωα x ωα, e mostra usando a hipótese da indução Nβ. Nβ < Nβ para todo α < β, que a ordenação do conjunto bem-formado (ωα x ωα, <) é pelo menos ωα. Então segue que Nα. N α < N α, e também Nα. N α > N α, então temos que Nα. N α = N α. �Construímos a boa-ordenação < de ωα x ωα uniformemente para todo ωα; isto é, definimos a propriedade < dos pares de ordinais e mostramos que < bem-ordena ωα x ωα para todo ωα.

Prova do teorema 2. 1 (II) �Nós dizemos que (α 1 , α 2) < (β 1 , β 2) se e somente se: �max{α 1 , α 2} < max{β 1 , β 2}, ou �max{α 1 , α 2} = max{β 1 , β 2} e α 1 < β 1, ou �max{α 1 , α 2} = max{β 1 , β 2}, α 1 = β 1 e α 2 < β 2. �Agora mostramos que < é uma well-ordering (para qualquer conjunto de pares de ordinais). Primeiro temos que mostrar que < é transitiva. Seja α 1, α 2, β 1 , β 2, γ 1, γ 2 tal que (α 1 , α 2) < (β 1 , β 2) e (β 1 , β 2) < (γ 1, γ 2). Segue da definição de < que max{α 1 , α 2} < max{β 1 , β 2} < max{γ 1, γ 2}. Então max{α 1 , α 2} < max{γ 1, γ 2}. Se max{α 1 , α 2} < max{γ 1, γ 2}, então (α 1 , α 2) < (γ 1, γ 2).

Prova do teorema 2. 1 (III) �Então assuma que: max{α 1 , α 2} = max{β 1 , β 2} = max{γ 1, γ 2}. Então temos que α 1 < β 1 < γ 1, então α 1 < γ 1. Se α 1 < γ 1, então (α 1 , α 2) < (γ 1, γ 2) ; Por outro lado, temos α 1 = β 1 = γ 1. Neste último caso, max{α 1 , α 2} = max{β 1 , β 2} = max{γ 1, γ 2}, e α 1 = β 1 = γ 1, então, necessariamente, α 2 < β 2 < γ 2, então obtemos novamente que (α 1 , α 2) < (γ 1, γ 2). �Depois verificamos que para todo α 1, α 2, β 1 , β 2 temos: � (α 1 , α 2) < (β 1 , β 2) � (α 1 , α 2) > (β 1 , β 2) �(α 1 , α 2) = (β 1 , β 2)

Prova do teorema 2. 1 (IV) �O que foi dito anteriormente segue diretamente da definição: Dados (α 1 , α 2) e (γ 1, γ 2), comparamos primeiro os ordinais max{α 1 , α 2} e max{β 1 , β 2}, depois os ordinais α 1 e β 1, e por último α 2 e β 2. �Agora mostramos < é uma boa-ordenação. Seja X um conjunto não-vazio de pare de ordinais; nós encontramos o <- elemento mínimo de X. Seja δ o menor máximo dos pares em X, isto é, seja δ o elemento mínimo do conjunto {max{α , β}|(α , β) Є X}. Então temos: Y = {(α , β) Є X | max{α , β} = δ}.

Prova do teorema 2. 1 (V) �O conjunto Y é um subconjunto não-vazio de X, e para todo (α , β) Є Y nós temos max{α , β} = δ; Então, δ < max{α’ , β’} para todo (α’ , β’) Є X – Y e segue que (α , β) < (α’ , β’) desde que (α , β) Є Y e (α’ , β’) Є X – Y. Então, o elemento mínimo de Y, se existir, é também o elemento mínimo de X. Agora, seja α 0 o menor ordinal no conjunto {α | (α , β) Є Y para algum β}, e seja: Z = {(α , β) Є Y | α = α 0}. �O conjunto Z é um subconjunto não-vazio de Y, e temos (α , β) < (α’ , β’) desde que (α , β) Є Z e (α’ , β’) Є Y – Z.

Prova do teorema 2. 1 (VI) �Finalmente seja β 0 o menor ordinal no conjunto {β | (α 0 , β) Є Z}. Claramente (α 0 , β 0) é o elemento mínimo de Z, e conseqüentemente o elemento mínimo de X. �Mostrado que < é uma well-ordering de ωα x ωα para todo α, nós usamos essa well-ordering para provar, por indução transfinita sobre α, que |ωα x ωα| < Nα, isto é, Nα. N α < N α. �Já foi provado anteriormente que N 0 = Nα, então nossa afirmação é verdade para α = 0; Vamos assumir que Nβ. Nβ < Nβ para todo β < α.

Prova do teorema 2. 1 (VII) �Provaremos que |ωα x ωα| < Nα. Isto é suficiente para mostrar que o order-type do conjunto bem-ordenado (ωα x ωα, <) é no máximo ωα. Se o order-type de ωα x ωα for maior que ωα então existiria (α 1 , α 2) Є ωα x ωα tal que a cardinalidade do conjunto X = { (ξ 1 , ξ 2) Є ωα x ωα | (ξ 1 , ξ 2) < (α 1 , α 2)} é pelo menos Nα. Isto é suficiente para provar que para qualquer (α 1 , α 2) Є ωα x ωα, nós temos |X| < Nα. �Seja β = max{α 1 , α 2} + 1. Então β Є ωα, e, para todo (ξ 1 , ξ 2) Є X nós temos max{ξ 1 , ξ 2} < max{α 1 , α 2} < β, então ξ 1 Є β e ξ 2 Є β. Em outras palavras X C β x β.

Prova do teorema 2. 1 (VIII) �Seja γ < α tal que |β| < Nγ. �Então |X| < |β x β| = |β| < Nγ. Nγ, e pela hipótese da indução, Nγ. Nγ < Nγ. Então, |X| < Nγ, e conseqüentemente, |X| < Nα como dito anteriormente. �Então, agora segue que |ωα x ωα| < Nα. Com isso, provamos por indução transfinita sobre α, que Nα. Nα < Nα para todo α. Como temos que Nα < Nα. Nα, nós temos que Nα. Nα = Nα, e a prova do teorema 2. 1 está completa.

Exercícios