Teori Peluang Kaidah Pencacahan permutasi dan kombinasi v

Teori Peluang

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi v Standar Kompetensi Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang v Kompetensi Dasar Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi v Indikator Kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi digunakan dalam menentukan banyaknya cara menyelesaikan suatu masalah Hal. : PELUANG Adaptif

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi v Kaidah pencacahan 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia Contoh: Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi). Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan? Hal. : PELUANG Adaptif

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi v Jawab: Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, dan DC. AB, Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut: Langkah 1: Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama. Langkah 2: Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua. Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 susunan pemenang yang mungkin terjadi Hal. : PELUANG Adaptif

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi v Contoh 2 Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap? Jawab: Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara. Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 12 Hal. : cara Amalia dapat berpakaian lengkap PELUANG Adaptif

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi v Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan : Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan: n 1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama. n 2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi. n 3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dan nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi. Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah n 1 x n 2 x n 3 x … x nk. Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian. Hal. : PELUANG Adaptif

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi v Definisi dan Notasi faktorial Definisi: Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!. Jadi n! n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n, atau = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1 dengan 1! = 1 Hal. : dan 0! = 1 PELUANG Adaptif

Masalah Permutasi Masalah Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang? . Jawab: Obyek Eksp. Cara Eksp. A B. . . (A, B) = permutasi ke-1 = p 1 C. . . (A, C) = permutasi ke-2 = p 2 A. . . (B, A) = permutasi ke-3 = p 3 A Diundi untuk B B C C. . . (B, C) = permutasi ke-4 = p memperebutkan 2 hadiah C 3 cara S, n(S) = 4 A. . . (C, A) = permutasi ke-5 = p 5 B. . . (C, B) = permutasi ke-6 = p 6 2 cara Menurut Prinsip Perkalian Banyaknya cara: n(S) = Hal. : = 3× 2 = 6 = 3× 2 = PELUANG = = Adaptif

Masalah Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”? . Jawab MMAA MAMA AMAM AAMM MAAM Jika salah satu anggota diberi indeks M 1 A 1 M 2 Ada 6 cara M 2 A 2 M 1 A 1 M 1 A 2 M 2 A 1 M 1 A 2 Selanjutnya perhatikan bahwa 6= = = Hal. : = PELUANG Adaptif

Masalah Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”? Jawab Karena ada 4 K, 2 A, dan 1 U, maka banyaknya cara = = = 105 cara Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada. Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada , dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada: = × Secara umum, Hal. : = × dengan n = n 1 + n 2 + = PELUANG + nk Adaptif .

Masalah Permutasi Siklis Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar A C C B B Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = B A A C Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa: CAB = BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal). Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis. Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = Hal. : PELUANG = (n – 1)! Adaptif

Masalah Permutasi v Permutasi berulang v Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, IA, ID. Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara. Hal. : PELUANG Adaptif

Masalah Permutasi v Secara umum: Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut: P Hal. : (berulang) =nr dengan r PELUANG n Adaptif

Masalah Kombinasi No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat hadir 1 O= {A, B, C, D} Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga AB = c 1 AC = c 2 AD = c 3 BC = c 4 BD = c 5 CD = c 6 2 O= {A, B, C, D} Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga ABC = c 1 ABD = c 2 ACD = c 3 BCD = c 4 Hal. : PELUANG Adaptif

Masalah Kombinasi Macam Kombinasi c 1 = AB c 2 = AC c 3 = AD c 4 = BC c 5 = BD c 6 = CD = 6 Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan AB AC AD BC BD CD Total = dan dan dan BA CA DA CB DB DC = 12 = 6 × 2 Banyaknya Permutasi 2! 2! 2! 6 × 2! Perhatikan bahwa 12 = 6 x 2! = x 2! Hal. : PELUANG Adaptif

Masalah Kombinasi Macam Kombinasi c 1 = ABC c 2 = ABD c 3 = ACD c 4 = BCD Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan (Bayangkan hasilnya dari diagram pohon ybs) ABC, ACB, BAC, ABD, ADB, BAD, ACD, ADC, CAD, ABD, ADB, BAD, = 4 BCA, CAB, dan CBA BDA, DAB, dan DBA CDA, DAC, dan DCA BDA, DAB, dan DBA 4 × 3! Dari : 24 = 4 × 3! (1) = × 2! = (2) = × 3! = Hal. : × 3! 3! 3! = 4 × 6 = 24 Perhatikan bahwa = Banyaknya Permutasi PELUANG Maka Secara Umum : 2! = 3! r! = n! (n – r)! r! Adaptif

Masalah Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau. Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau. Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama. Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah 4 C 2. 3 C 1. 2 C 1 cara. Hal. : PELUANG Adaptif

Masalah Kombinasi v Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q 1, q 2, q 3, …, qn Unsur q 1 ada sebanyak n 1, unsur q 2 ada sebanyak n 2, unsur q 3 ada sebanyak n 3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n 1 + n 2 + n 3 + …+ ne = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k 1 unsur q 1, k 2 unsur q 2, k 3 unsur q 3, …, ke unsur qe dengan k 1 + k 2 + k 3 + … + ke = k. Banyak cara pengambilan adalah: n 1 C k 1 Hal. : . n 2 C k 2. n 3 C k 3 …. . ne C ke PELUANG Adaptif

Peluang Kejadian v Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga. P(A)= Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan : 1. Cara mendatar 2. Membuat tabel 3. Membuat diagram pohon Hal. : PELUANG Adaptif

Peluang Kejadian Eksperimen (Percobaan Acak) v Ada Obyek Eksperimen v Ada Cara Eksperimen v Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel) Hasil-hasil Yang Mungkin Obyek Eksp. s 1 s 2 s 3 S Cara Eksp. s 4 s 1 s 3 Hal. : S s 2 s 4 s 5 S = Ruang Sampel = { s 1 , s 2 , s 3 , . . . , s 5 } = Himpunan semua hasil yang mungkin dalam eksperimen itu s 1 , s 2 , s 3 , . . . , s 5 masing-masing disebut titik sampel s 5 PELUANG Adaptif

Peluang Kejadian s 1 s 2 s 3 A sm sn S S = Ruang Sampel = Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu = {s 1 , s 2 , s 3 , . . . , sm , . . . , sn} A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S = {s 1 , s 2 , s 3 , . . . , sm} Prinsip Penjumlahan P(A) = P({s 1}) + P({s 2}) + P({s 3}) +. . . + P({sm}) = jumlah peluang masing-masing titik sampel yang ada di dalamnya Hal. : PELUANG Adaptif

Peluang Kejadian Peluang Berdasar Pengambilan Sampel v Pengambilan Sekaligus → Kombinasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan tak diperhatikan (tak punya makna) v Pengambilan Satu Demi Satu 1. Tanpa Pengembalian → Permutasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna) 2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi Hal. : PELUANG Adaptif

Peluang Kejadian 1. Pengambilan Sekaligus Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil yang mungkin? Banyaknya Eksp. Frek. Munculnya s 1 = Cara Ekp. Hasil-hasil yang mungkin Obyek Eksp 1: ambil acak 1 2 3 1 2 … s 1 1 3 … s 2 2 3 … s 3 2 bola sekaligus S s 2 s 1 A A S 300 kali 3. 000 kali 15. 000 kali 30. 000 kali 92 1. 012 4. 989 10. 012 Fr (s 1) ≈ s 2 s 3 105 991 5. 007 9. 984 93 997 5. 004 10. 004 Fr (s 2) ≈ Fr (s 3) ≈ banyak kali S = {s 1, s 2 , s 3 } = Ruang sampel hasil eksperimen n(S) = = 3. s 3 A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil P({s 1}) = P({s 2}) = P({s 3}) = Maka S berdistribusi seragam Hal. : = {s 1, s 3 } , n(A) = 2. P(A) PELUANG = Adaptif

Peluang Kejadian 2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang mungkin? Hasil-hasil yang mungkin Cara Ekp. Obyek Eksp 1 Eksp 2 : ambil acak 1 2 3 2 2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian 3 3 cara s 2 s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 S A 2 … 1 A 2 … s 1 3 … s 2 1 … s 3 3 … 2 1 … 3 1 … s 5 2 … 3 2 … s 6 3 … s 4 S 2 cara S = {s 1, s 2 , s 3 , . . . , s 6 } = Ruang sampel hasil eksperimen n(S) = = 3 × 2 = 6. A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s 1, s 3, s 4 , s 6 } P({s 1}) = P({s 2}) = … = P({s 6}) = P(A) = = = . Maka S berdistribusi seragam. Hal. : PELUANG Adaptif

Peluang Kejadian 3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian Ambil acak 2 bola 1 -1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin? 1 2 3 Eksp 2: ambil acak 2 bola 1 -1 dengan pengemb. I 1 … 1 1 … s 1 1 2 … s 2 3 … 1 3 … s 3 3 cara s 1 s 2 s 5 s 4 s 8 s 7 S s 9 s 6 A A S 2 3 s 3 Hasil-hasil yang mungkin II 1 … 3 1 … s 7 2 … 3 2 … s 8 3 … 3 3 … s 9 3 cara S = {s 1, s 2 , s 3, . . . , s 9} = Ruang sampel hasil eksperimen. n(S) = 3 × 3 = 9 A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. P({s 1}) = P({s 2}) = … = P({s 9}) = = {s 2, s 4, s 6 , s 8 } Maka S berdistribusi seragam. P(A) = Hal. : PELUANG = . Adaptif

Peluang Kejadian Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan. Fr(A) = P(A). n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan Contoh: Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0, 01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio? Jawab: P(kenapolio) = 0, 01, n= 8000 Fr(A) = P(kena polio). n = 0, 01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio Hal. : PELUANG Adaptif

Kejadian Majemuk 1. Komplemen Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis S dengan A’ simbol A’ (atau Ac ) disebut A komplemen dari A. Jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n elemen maka A’ mempunyai n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang Hal. : tidak terjadinya A. PELUANG Adaptif

Kejadian Majemuk 2. Dua Kejadian Saling Lepas S S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A={kejadian mendapatkan bilangan prima} B. 6 A. 2. 5 . . 8 . 1 . 9. 10 7. 3. 11 . 12 B={kejadian mendapatkan sedikitnya. 4 bilangan 5} Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sehingga Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh Hal. : PELUANG Adaptif

Kejadian Majemuk dan Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing) Maka = P(Ø) = 0 Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka Hal. : PELUANG Adaptif

Kejadian Majemuk Contoh Soal : 1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali, Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6} Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3 2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 berapa peluang mendapatkan kartu As atau King? Hal. : PELUANG set kartu bridge, Adaptif

Dua Kejadian Saling Bebas Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dua kejadian A dan B yang saling bebas adalah: P (A B) = P (A). P(B) Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka : n(A) = 1, sehingga P(A) = Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) = Peluang A dan B: P( A Hal. : B) = P(A). P(B) = PELUANG Adaptif

Rangkuman 1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A) 2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka 3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka Hal. : PELUANG Adaptif

SEKIAN TERIMA KASIH SAMPAI JUMPA LAGI Hal. : PELUANG Adaptif