Teori Peluang dan Aturan Penjumlahan PROBABILITAS DAN STATISTIK

Teori Peluang dan Aturan Penjumlahan PROBABILITAS DAN STATISTIK POLITEKNIK UNIVERSITAS ANDALAS

TEORI PELUANG Peluang suatu kejadian Aturan penjumlahan Peluang bersyarat Aturan perkalian Aturan Bayes

PELUANG SUATU KEJADIAN Definisi : • Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A • 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(ø) = 0, • P(T) = 1

PELUANG SUATU KEJADIAN Contoh : • Dua mata uang dilantumkan satu kali. Berapakah peluangnya bahwa paling sedikit muncul muka sekali ?

PELUANG SUATU KEJADIAN • Jawab : Ruang sampel : T = {MM, MB, BM, BB} Setiap titik sampel mempunyai kemungkinan muncul yang sama, maka masing-masing diberi ¼. Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul, maka : A = {MM, MB, BM} dan

PELUANG SUATU KEJADIAN Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah :

PELUANG SUATU KEJADIAN Contoh : Sekantung permen berisi 6 rasa jeruk, 4 rasa kopi, dan 3 rasa coklat. Bila seseorang mengambil satu permen secara acak, tentukan peluang untuk mendapat a. Satu rasa jeruk, atau b. Satu rasa kopi atau coklat

PELUANG SUATU KEJADIAN Jawab : J kejadian yang terpilih adalah rasa jeruk K kejadian yang terpilih adalah rasa kopi C kejadian yang terpilih adalah rasa coklat Total =13, semuanya memiliki peluang yang sama a. 6 dari 13 permen dengan rasa jeruk, maka : b. 7 dari 13 permen dengan rasa kopi atau coklat , maka

ATURAN PENJUMLAHAN • Teorema : Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Gambar : Aturan penjumlahan peluang

ATURAN PENJUMLAHAN • Akibat 1 : Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A U B) = P(A) + P(B) karena bila A dan B terpisah maka A ∩ B = ø sehingga P(A ∩ B) = P(ø) = 0

ATURAN PENJUMLAHAN • Akibat 2 : Bila A 1, A 2, A 3, …, An saling terpisah, maka P(A 1 UA 2 U…UAn)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(An) • Akibat 3 : Bila A 1, A 2, …, An merupakan suatu sekatan ruang sampel T, maka P(A 1 UA 2 U…UAn)=P(A 1) + P(A 2)+…+P(An) = P(T) = 1

ATURAN PENJUMLAHAN • Teorema : Untuk tiga kejadian A, B dan C P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) Contoh : Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnya lulus kedua mata kuliah ¼ , Berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah ?

ATURAN PENJUMLAHAN • Jawab : Bila M menyatakan kejadian “lulus matematika” dan B “lulus biologi” maka menurut teorema 10 P(M U B)= P(M) + P(B) – P(M∩B) = =

ATURAN PENJUMLAHAN • Teorema : Bila A dan A’ kejadian yang berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1 Bukti : Karena A U A’ = T dan himpunan A dan A’ terpisah, maka 1 = P(T) = P(A U A’) = P(A) + P(A’)

ATURAN PENJUMLAHAN • Contoh : Bila peluang seorang montir mobil akan memperbaiki 3, 4, 5, 6, 7 atau 8 lebih mobil pada setiap hari kerja, masing-masing 0, 12; 0, 19; 0, 28; 0, 24; 0, 10; dan 0, 07 Berapakah peluang bahwa dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya ?

ATURAN PENJUMLAHAN • Jawab : Misalkan E kejadian bahwa paling sedikit 5 mobil yang diperbaiki. P(E) = 1 – P(E’) E’ kejadian bahwa kurang dari 5 mobil yang diperbaiki. P(E’)=0, 12 + 0, 19 = 0, 31, maka : P(E)=1 -0, 31=0, 69