Teoretiske kontinuerte fordelinger Normalfordeling Normalfordeling Forskellige normalfordelinger Normalfordelingens

Teoretiske kontinuerte fordelinger

Normalfordeling

Normalfordeling

Forskellige normalfordelinger

Normalfordelingens egenskaber • Det interessante ved en normalfordeling er at når man kender – Gennemsnit – Spredning • Så er hele fordelingen bestemt • Gennemsnit og spredning er fordelingens parametre • Normalfordelingen er symmetrisk (har en skævhed på 0), og har en fladhed (kurtosis) på 0 (? )

Statistik og normalfordeling • Mange statistiske metoder forudsætter at variablene er normalfordelte • Hvis de ikke er det, kan man – Bruge ’robuste’ metoder ikke er så følsomme – Transformere fordelingen så den bliver normalfordelt (og transformere tilbagefter) – Ved hypoteseprøvning bruge ’ikke-parametriske’ tests – Ignorere problemet (meget almindeligt)

Standardnormalfordelingen • En normalfordeling med gennemsnit 0 og spredning 1, kaldes en standardnormalfordeling • X-aksen til en standardnormalfordeling har derfor 0 i midten; man ser typisk 1, 2 og 3 på hver siden af midten (selvom fordelingen teoretisk strækker sig fra – til + uendeligt) • X-aksen betegnes med ofte med z

Standardnormalfordeling

Standardnormalfordeling

Standardnormalfordeling

Percentiler i standardnormalfordelingen • Standardnormalfordelingen er minutiøst gennemregnet, så man ved hvor mange % der afskæres forskellige steder i fordelingen

Percentiler for standardnormalfordelingen

Standardisering • Man kan omdanne enhver anden normalfordeling til en standardnormalfordeling ved at trække gennemsnittet af alle værdierne fra hver enkelt værdi, og derefter dividerer dem med spredningen i fordelingen • Man kalder denne beregning for at man standardiserer en variabel

Standardisering af variabel

Omsætte scores til z-scores

WAIS-scores

t-fordeling

t-fordelingen • En t-fordeling (Student’s t) ligner en normalfordeling, men er lidt forskellig alt efter hvor mange personer der indgår i fordelingen • Hvis der er ret få personer, stiger sandsynligheden for at en for stor del har ekstremt høje eller lave scores. Derfor er tfordelingen mere flad: mere spredt ud og lavere i midten jo færre personer der er i fordelingen • Man taler om fordelingens frihedsgrader (df). I tfordelingen er df = n-2

Anvendelse af t-fordelingen • Undersøgelse af om der er signifikant forskel mellem gennemsnittene i to grupper • Generelt: undersøgelse af gennemsnitsforskelle

t-fordeling

Ki-i-anden fordeling

Anvendelse af ki-i-anden fordelingen • Ki-i-anden anvendes i mange sammenhænge: – Undersøgelse af frekvenserne i en tabel viser systematiske forskelle – Undersøgelse af om en fordeling har en bestemt form (f. eks. om den er normalfordelt) – Undersøglse af om en bestemt statistisk model passer godt med observerede data – Sammenligning af to statistiske modeller for at se hvilken der bedst passer med observerede data

Ki-i-anden fordelingen • Der findes forskellige versioner af fordelingen afhængigt af antal frihedsgrader (df) • Df = n - 1 • Man anvender typisk ensidig afgrænsning (alle 5% i øverste ende af fordelingen)

Forskellige ki-i-andenfordelinger

Ensidig afgrænsning i chi-square

5%-afgrænsninger i chi-square

F-fordeling

F-fordelinger

F-fordeling (der ligner t-fordeling)

Andre kontinuerte fordelingstyper

Gammafordelinger

La. Place fordelinger

Diskrete fordelinger

Diskrete fordelinger • Diskrete fordelinger har ikke noget at gøre med at være ’diskret’, men betyder at fordelingen ikke er kontinuert • Fordelingen er derfor opbygget på tal med ’huller’ imellem • Man kan derfor ikke have værdier som 1, 13 og 1, 21, men for eksempel kun de hele tal 1, 2, 3 osv.

Typer af diskrete fordelinger • De vigtigste diskrete fordelinger til brug for psykologiske data er: – Binomialfordeling – Poissonfordeling – Negativ binomialfordeling

Binomialfordeling 1 • Man har en række ensartede situationer (forsøg), og hvert forsøg kan ende med et af to muligheder, hvor ofte det ene er interessant (kaldet positiv udfald) – Klassisk eksempel: Man kaster med en mønt og der er to mulige udfald: plat og krone. Man har væddet på plat • I hvert forsøg er den samme sandsynlighed for et bestemt resultat (plat) (med en OK mønt = ½) • Hvis man spørger hvad sandsynligheden er for at bestemt antal plat i et bestemt antal forsøg, bruger man en binomialfordeling – Eksempel: Man kaster mønten 4 gange, hvad er sandsynlighederne for 0, 1, 2, 3 og 4 gange plat?

Binomialfordeling 2 • Formlen for antal positive udfald (x) i antal forsøg (n), hvert med sandsynlighed for positivt udfald p er: (xn)*px*(1 - px ) (xn) betyder antal måder x udfald kan forekomme ud af n tilfælde Der er altså to parametre i en binomialfordeling som hjælp til at beskrive variablen, antal positive udfald (x) n og p Gennemsnit i binomialfordelingen er n*p Standardafvigelsen i binomialfordelingen er n*p*(1 - p)

Eksempel på binomialfordeling

Forskellige binomialfordelinger

Binomial- versus normalfordeling

Binomial- og normalfordeling • Når antal forsøg (n) er tilstrækkeligt stort i binomialfordelingen, kommer den til at ligne normalfordelingen • Det betyder at man i mange tilfælde kan bruge de statistiske metoder forudsætter normalfordeling, selvom fordelingen er diskret, og ikke kontinuert, som normalfordelingen

Normal tilnærmelse til binomial (q = 1 – p)

Poissonfordeling • Denne teoretiske fordeling kan udledes af binomialfordelingen, og den er særligt egnet til at beskrive sjældne begivenheder – Eksempelvis har den danske statistiker Georg Rasch brugt den til at beskrive forekomst af trafikulykker på forskellige typer af veje • Da begivenhederne er sjældne, er fordelingerne skæve så de lave værdier (trafikulykker) viser størst forekomst • Der er kun én parameter i en Poissonfordeling, nemlig gennemsnittet (m på næste billede)

Poissonfordelinger

Poisson- og normalfordeling • Man kan af foregående billede se at når gennemsnittet (m) bliver højere, bliver Poissonfordelingen mere og mere symmetrisk • Af det næste billede kan man se at når gennemsnittet bliver højere, kommer Poissonfordelingen også til at ligne normalfordelingen mere og mere

Poisson- og normalfordeling

Typer af Poissonfordelinger 1 • Da der kun er én parameter, gennemsnittet, i en Poissonfordeling, er hele fordelingens form bestemt når man har et bestemt gennemsnit • For at kunne beskrive situationer med særligt mange udfald med værdien 0, har man zeroinflated Poisson distribution – Eksempelvis antal angstanfald i normalbefolkningen. De er sjældne, som i Poisson-fordelingen, men særligt mange har slet ingen angstanfald

Poissonfordeling med særligt mange 0

Typer af Poissonfordelinger 2 • Med kun én parameter er spredningen i en Poissonfordeling fastlagt. Den er nemlig også m • I nogle tilfælde viser det sig at Poissonfordelingen sådan set burde være egnet til at beskrive nogle data, men der er bare for store variationer i resultaterne – standardafvigelsen er altså for stor • I stedet kan man så bruge den såkaldt negative binomialfordeling

Poisson vs negativ binomialfordeling

Copyright © Jan Ivanouw