Teorema de Pitgoras Establece que en todo tringulo

Teorema de Pitágoras � Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. � La hipotenusa es el lado de mayor longitud en el triangulo rectángulo. � Los catetos son los dos lados menores del triangulo, los cuales forman un Angulo recto.

c²=a²+b² Hipotenusa c=� a²+b² Cateto a=� c²-b² b=� c²-a²

Ejercicios c=? b=3 a=2 c=�(2)²+(3)² c=� 4+9 c=� 13 c=3. 6

Trigonometria � La trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. � Es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría.

NOMBRE ABREVIACION DEFINICION seno sen cat. op. /hip. coseno cos cat. adv. /hip. tangente tan cat. op. /cat. adv. cotangente cot cat. adv. / cat. op. secante sec hip. /cat. adv. cosecante csc hip. / cat. op.

Ejercicios g h f sen= h/g cos=f/g tan=h/f cot=f/h sec=g/f csc=g/h

c=3 b= 2 a=1 sen= 2/3 cos=1/3 tan=2 cot=1/2 sec=3 csc=3/2

b=4 c=5 a= 3 sen= 4/5 cos=3/5 tan=4/3 cot=3/4 sec=5/3 csc=5/4

Funciones Trigonométricas Función 45º 30º 60º Seno � 2/2 1/2 � 3/2 Coseno � 2/2 � 3/2 1/2 Tangente 1 � 3/3 � 3 Cotangente 1 � 3/3 Secante � 2 2� 3/3 2 Cosecante � 2 2 2� 3/3

Propiedad Reflexiva � Se dice que una relación es un conjunto es reflexiva cuando cada elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo. 1 1 2 2 3 3

Propiedad Simétrica � Una relación es simétrica cuando cada ves que a esta relacionada con b, entonces lo esa con a. 1 2 3 5

Propiedad Transitiva � Una relación es transitiva si cada vez que esta relacionado con b esta relacionado con c. a. Rb^b. Rc a. Rc 25 13 17 36

Función � Una relación f de A en B denota por f=a B es una función si y solo si a cada elemento x que pertenece al conjunto Ale corresponde un único elemento y que pertenece al conjunto B atreves de f. 7 2 4 6 1 5 3

Ejercicios mesa silla vaso L 1 L 2 L 3

Intervalos � Es un conjunto de números que se encuentran entre dos extremos. -� + � a b

Intervalo abierto � No incluye los extremos, se lo representa ( ). -� + � -4 -4 < x < 9 9

Intervalo cerrado � Incluye los extremos, se lo representa ��. -� + � 5 5 �x � 10 10

Dominio y Rango de una función restringida f(x)=2 x+1 x y (x, y) -4 -7 (-4, -7) 2 5 (2, 5) -3 -5 (-3, -5) Dominio: -4 ≤ x ≤ -3 Rango: -7≤ x ≤ 5

f(x)=x+2 x y (x, y) -1 1 (-1, 1) 3 5 (3, 5) Dominio: -1 ≤ x ≤ 3 Rango: 1 ≤ x ≤ 5

Rectas Paralelas y Perpendiculares Paralelas: L 1 // L 2 Dos rectas son paralelas si y solo si son pendientes son iguales. L 1 // L 2 = m 1 = m 2

Perpendiculares: L 1 �L 2 Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a 1.

Ecuación de la forma y=mx+b y=m x + b intersección con el eje y pendiente y=2 x-1 x y (x, y) 1 1 (1, 1) 2 3 (2, ) m=1 -3 1 -2 m=2

Ecuación de la recta Punto-Pendiente y - y 1 = m (x - x 1)

Ejercicios Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto P (-2, 4) y tiene de pendiente 3 P= (-2, 4) m=3 y- y 1= m(x-x 1) y-4= 3(x+2) y-4= 3 x+6 -3 x+6 -4 -6=0 Y=3 x+10 forma y= mx + b -3 x+y-10=0 forma general

Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto (2/7, -3) y tiene de pendiente (1/2) P ( 2/7, -3) m=1/2 Y-Y 1=m (x-x 1) y+3= 1/2 (x-2/7) y+3= 1/2 x – 2/14 y=1/2 x – 2/14 - 3 y=1/2 x – 22/7 forma y=mx + b 4 y= 7 x-44 -7 X+14 Y+44=0 forma general

Ecuación de la recta Punto-Pendiente y-y 1 = m(x-x 1) m = y 2 -y 1 x 2 -x 1 y-y 1 =y 2 -y 1 (x-x 1) -x 1 Pendiente x 2

Ejercicios Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (3, 2) y Q (-4, 1) P (3, 2) Y-2 = (x-3) Q (-4, 1) y-2 =-1/7 (x-3) y-2 = x/7 - 3/7 7 y-14=x-3 R: -x+7 y-11= 0 -x+7 y-14+3 = 0

Determinar la ecuación de la recta que pasa por P (-1, 7) y Q (3, 5) P (-1, 7) Y-7 = (x+1) Q (3, 5) y-7 = -2/4 (x+1) y- 7 = -x/2 - 1/2 2 y- 14 = -x-1 x+2 y-14+1= 0 R: x+2 y-13=0

Ecuación Simétrica dela recta

Ejercicios Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 3 y+2 y-6= 0 3 y+2 y-6=0 3 x/6 + 2 y/6 = 6/6 (÷ 6) x/2 + y/3 = 1 a= 2 P (2, 0) B=3 P (0, 3)

Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 2 x+3 y-5= 0 2 x+3 y-5 = 0 2 x+3 y = 5 (÷ 5) 2 x/5 +3 y/5 = 1 a= 5/2 B= 5/3 P (5/2, 0) P (0, 5/3)

Función Creciente x 1, x 2 € Dr x 1 < x 2 f (x 1) < f (x 2) x 1 < x 2 Una función se llama creciente para todo x 1, x 2 elementos del dominio de la función se cumple que : x 1<x 2 f (x 1) < f (x 2)

Función Decreciente x 1, x 2 € Dr x 1 > x 2 f (x 1) > f (x 2) x 1 > x 2 Una función se llama decreciente si para todo x 1, x 2 elementos del dominio de la función se cumple que: x 1 < x 2 f (x 1) > f(x 2)

Distancia entre dos punos Dp 1 p 2= � (x 2 -x 1)² +(y 2 -y 1)²

Ejercicio Determinar la distancia entre dos puntos A(-3, 5) B(2, -2) A=(x 1, y 1) B(x 2, y 2) Dab= � (-3 -2)² +(-5 -2)² Dab= � (-5)² +(-7)² Dab= � 25+49 Dab= � 74

SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos variables ejemplo: X+3 y=8 2 x+y=9 Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores de las variables que hacen que se cumpla la igualdad Los métodos de resolución de un sistema son: 1. método grafico 2. método de adición 3. método de sustitución 4. método de igualación

Método Grafico Consiste en graficar en un plano cartesiano las dos ecuaciones lineales las posibilidades de solución son las siguientes � � � Solución única Infinitas soluciones Sin soluciones

Solución Única � Esta posibilidad se da cuando las dos rectas se intersecan y la solución esta dada por el punto de intersección de las dos rectas

Infinitas Soluciones � Esta posibilidad se da cuando la una recta coincide con la otra

Sin Soluciones � Esta posibilidad se da cuando las dos rectas son paralelas

Método de Sustitución Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución se debe seguir el siguiente procedimiento: 1 er Paso: Es conveniente que se despeje una variable con coeficiente 1 2 do Paso: Sustituimos la otra ecuación el valor de la variable despejada en la primera obteniendo una ecuación de primer grado con una variable

3 er Paso: Resolvemos la ecuación obteniendo en el paso anterior siendo este valor. 4 to Paso: Sustituimos el valor obteniendo en el paso anterior en cualquier ecuación del sistema ( de preferencia en la que se encuentra despejada) y luego hallamos el valor de la otra variable

Ejercicio 7/3 x-2 y=4/3 5/4 x+3/2 y=-7 (7 x-6 y)/3=4/3 7 x-6 y=4 -6 y=-7 x+4 6 y=7 x-4 y=(7 x-4)/6 (5 x+6 y)/4=-7 5 x+6 y=-28 6 y=-5 x-28 y=(-5 x-28)/6

x y (x; y) 4 4 (4; 4) -2 -3 (-2; -3) x y (x; y) 4 -8 (4; -8) 10 11 (10; 11)

Método de Adición Este método también con el método de eliminación o reducción, es el mas sencillo de todos los métodos si se aplica adecuadamente. Se fundamenta en eliminar una de las variables at raves de a adición de las ecuaciones. En la aplicación de este método podemos considerar el siguiente proceso: 1. 2. 3. 4. Obtener coeficientes numéricos opuestos en una delas variables de las 2 ecuaciones del sistema. Adicionar las 2 ecuaciones y eliminar dicha variable. Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor de la variable. Sustituir de la variable conocida en cualquiera e las ecuaciones del sistema y hallar e valor de otra variable.

Ejercicio 2 x+y=5 2 x+3 y=8 -2 x-y=-5 2 x+3/2=5 2 x+3 y=8 2 x=5 -3/2 0+2 y=3 y=3/2 2 x=7/2 x=7/4

Método de Igualación Un sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de igualación siguiendo este proceso: 1. 2. 3. 4. Despejar la misma variable en las 2 ecuaciones. Igualar los resultados obtenidos. Resolver la nueva ecuación y encontrar el valor de la una variable. Sustituir el valor obtenido con el paso anterior en cualquier ecuación del sistema.

Ejercicio 2 x-y=20 2 x+y=48 y=2 x-20 y =48 -2 x 2 x-20=48 -2 x 2 x+2 x=48+20 4 x=68 x=17 Sustituir: y=2 x-20 y=2(17)-20 y=34 -20 y=14 R: x=17 y=14

Inecuación lineal Una inecuación lineal con 2 variables se puede expresar de las siguiente formas: 1) Ax + By + C > 0 Ejemplo: 3 x + 2 y - 1 > 0 2) Ax + By + C < 0 Ejemplo: x+y<0 3) Ax + By + C ≥ 0 Ejemplo: -2 x + 4 y - 5 ≥ 0 4) Ax + By + C ≤ 0 Ejemplo: 3/2 x + 1/4 y ≤ 0 La solución de una inecuación con 2 variables corresponde al conjunto de pares ordenados que permiten que se cumpla la desigualdad. Por lo tanto la solución se observara en el gráfico como una región que se encuentra sombreada sobre o bajo una recta.

Ejemplo Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación lineal 3 x + y ≤ 2 1 er. Paso: Cambiar los signos de orden con un igual. 3 x + y = 2 2 do. Paso: Despejar "y" 3 x + y = 2 - 3 x

3 er. Paso: Tabla de valores x y (x; y) 0 2 (0; 2) 1 -1 (1; -1) -1 5 (-1; 5) 4 to. Paso: Graficar

5 to. Paso: Determinar zona solución Sobre la recta (3; 5) 3 x + y ≤ 2 3(3) + 5 ≤ 2 9+5≤ 2 14 ≤ 2 � Bajo la recta ( -3; 1 ) FALSO 3 x + y ≤ 2 3(-3) + 1 ≤ 2 (-9) + 1 ≤ 2 (-8 ) ≤ 2 VERDADERO Observación: Si la inecuación tiene los símbolos > o < la recta se grafica con líneas entrecortadas esto quiere decir que las partes que pertenecen a la recta no son parte de la solución. Si la inecuación tiene los símbolos > o < la recta se grafica con línea continua esto quiere decir que los puntos que pertenecen a la recta son parte de la solución.

Ecuaciones Cuadráticas Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar como : ax² + bx + c = 0 En donde a, b y c son números reales y a ≠ o. Ejemplo: 1) 3 x² + 2 x - 7 = 0 a b c 2) x² - 9 = 0 a= 1 b= 0 c= -9

� Factor Común Diferencia de cuadrados Trinomios : Cuadrados perfectos Forma x² + bx + c Forma ax² + bx + c Ejemplo: x² - 3 x = x ( x -3 ) y² - 16 = (y + 4) (y - 4 ) x²- 4 x + 4 = (x - 2)² x² + 5 x + 6 = ( x + 3)(x+ 2) 3 x² + 13 x + 12 = ( 3 x + 4 ) ( x + 3) 3 X X 4 = 4 X 3 = 9 X

Método de Factorización � Este método consiste en descomponer en factores a la ecuación cuadrática y luego aplicar el teorema a*b = 0 ; entonces b= 0 o a=0, es decir para encontrar cada una de la raíces, cada uno de los factores se iguala a 0 y se despeja la variable.

Ejemplo Resolver la siguiente ecuación cuadrática por el Método de Factorización. x² + 3 x -10 = 0 Factorizar (x + 5) (x -2) = 0 Teorema del factor 0 x+5=0 x= -5 x-2=0 x=2

x=-5 (-5)² + 3(-5)- 10 = 0 25 -25 = 0 0=0 4 x² - 9 = 0 (2 x + 3) (2 x - 3) 2 x = -3/2 x=2 2² + 3(2)- 10 = 0 4 + 6 - 10 = 0 10 – 10 = 0 0=0 2 x - 3 = 0 2 x = 3 x= 3/2

Método de Completación al cuadrado Una ecuación cuadrática se puede resolver utilizando el método de completación del cuadrado que consiste en transformar a dicha ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. Para ella se debe sumar a los dos miembros de la ecuación. La expresión de ( b/2)², con el coeficiente numérico de la variable al cuadrado igual a 1.

Método por formula Para resolver una ecuación cuadrática por este método se aplica la siguiente formula: x=-b ±�b² - 4 ac 2ª En donde: a= coeficiente numérico de b= coeficiente numérico de c= termino independiente � 1. 2. 3. Para resolver por medio de la formula se puede seguir el siguiente proceso: Expresar la ecuación en la forma Identificar los coeficientes a, b y c de la ecuación. Reemplazar los valores en la formula y determinar las raíces e la ecuación.

Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática Discriminante D > 0 (positivo) La ecuación tiene 2 raíces R y diferentes D=0 La ecuación tiene 1 solución en los R D < 0 (negativo) La ecuación no tiene solución en los R

Ejercicios 3 x²+11 x+6=0 a=3 b=11 c=6 D > 0 La ecuación va a tener 2 soluciones 2 x²+3 x+4=0 a=2 b=3 c=4 D < 0 La ecuación no va a tener soluciones

Propiedad de las raíces de una ecuación cuadrática ax²+bx+c=0 Raíces x 1; x 2 Propiedades Suma x 1+x 2=-b/a Producto x 1*x 2=c/a

Ejercicio Dadas las raíces determinar la ecuación cuadrática x 1=-1 x 2=7 Suma: x 1+x 2=-b/a -1+7=6 Producto: x 1 * x 2= c/a (-1)(7)=-7 Ecuación: x²+6 x-7=0