TEOREMA DE PICK BASADO EN APROXIMAR LA SUPERFICIE

TEOREMA DE PICK BASADO EN APROXIMAR LA SUPERFICIE A UNA POLIGONAL Y CONTAR PUNTOS GEOMÉTRICOS MÉTODO DEL AGRIMENSOR PROBABILÍSTICOS BASADO EN LA TRIANGULACIÓN Y PRODUCTO VECTORIALES. MÉTODO DE MONTECARLO BASADO EN LA GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS PARA ESTIMAR PROBABILIDADES Ø BASADO EN LA SIGUIENTE DEDUCCIÓN: ü OBTENCIÓN DEL ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA ü CONCLUSIONES Y ERRORES COMETIDOS

INTRODUCCIÓN UNA DE LAS REFERENCIAS MÁS ANTIGUAS DEL VALOR DE BIBLIA. SE ENCUENTRA EN LA LOS TRABAJOS DE ARQUÍMEDES DE SIRACUSA, MARCAN UN ANTES Y UN DESPUÉS EN EL CÁLCULO DE , DESARROLLANDO LOS INICIOS DEL CÁLCULO INTEGRAL INSCRIBE Y CIRCUNSCRIBE SENDOS HEXÁGONOS EN UNA CIRCUNFERENCIA CON 96 LADOS: 3, 14084507 < < 3, 14285714. EL HOLANDÉS WILLEFORD SNELL (1580 -1626) LLEGÓ A CALCULAR 35 CIFRAS DECIMALES EXACTAS UTILIZANDO POLÍGONOS DE 2³º LADOS.

LA INVENCIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL POR LEIBNIZ Y NEWTON CAMBIA EL ENFOQUE A LA HORA DE INTENTAR CALCULAR EL NÚMERO § LEIBNIZ DESCUBRIÓ LA SIGUIENTE FÓRMULA § EULER ENCONTRÓ SERIES QUE PERMITEN CALCULAR EL VALOR DE

CON EL USO DE LOS ORDENADORES, EN LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XX SE HA PODIDO CALCULAR EL VALOR DE CON UNA EXACTITUD INIMAGINABLE HASTA EL MOMENTO Y UTILIZANDO PARA ELLO TÉCNICAS ANTERIORMENTE IMPOSIBLES DE EMPLEAR EJEMPLO: TÉCNICAS PROBABILÍSTICAS (MÉTODO DE MONTECARLO) HOY EN DÍA, EL CÁLCULO DE UN VALOR ACEPTABLEMENTE BUENO DE ESTÁ AL ALCANCE DE UN PAR DE ALUMNAS DE 4º DE ESO

TEOREMA DE PICK EL TEOREMA DE PICK FUE DESCUBIERTO POR GEORGE PICK NACIDO EN VENECIA EN 1859. I= PUNTOS INTERIORES QUE COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA CUADRÍCULA B= PUNTOS DEL BORDE QUE COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA CUADRICULA PARA VER LA UTILIDAD DE ESTE MÉTODO LO HEMOS APLICADO PARA CALCULAR AL ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE LA POBLACIÓN DE ZALAMEA DE LA SERENA HEMOS APROXIMADO LA SUPERFICIE DE ZALAMEA DE LA SERENA POR UNA POLIGONAL CUYOS VÉRTICES COINCIDAN CON LOS DE LA CUADRÍCULA. COMO CADA UNIDAD DE SUPERFICIE ES UN CUADRADO DE 100 METROS DE LADO, OBTENEMOS EL SIGUIENTE VALOR APROXIMADO DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA

MÉTODO DEL AGRIMENSOR • SUPERPONEMOS SOBRE ESTE POLÍGONO UN SISTEMA DE EJES COORDENADOS • COMENZANDO POR UN VÉRTICE CUALQUIERA NUMERAMOS DE FORMA CONSECUTIVA, EN SENTIDO HORARIO O ANTIHORARIO : Y APLICANDO LA FÓRMULA:

NUMERAMOS LOS PUNTOS EN EL EJE DE COORDENADAS QUE HEMOS ELEGIDO Y UTILIZANDO UNA HOJA DE CÁLCULO EXCEL HALLAMOS EL ÁREA. Aproximación Agrimensor PUNTOS 1 2 3 4 5 6 X 6 7 8 9 9 9 Y 0 0 2 2 3 4 52 53 1 5 6 6 1 1 0 Productos(+) 0 14 16 27 36 36 Productos(-) 0 0 18 18 27 40 5 0 Total (+) 2339 6 6 Total (-) 2138 Área 100, 5 1ª COLUMNA: PUNTOS NUMERADOS 2ª Y 3ª COLUMNAS: COORDENADAS X e Y APLICANDO LA FÓRMULA OBTENEMOS 100, 5 UNIDADES CUADRADAS, IGUAL RESULTADO QUE EMPLEANDO LA FÓRMULA DE PICK.

MÉTODO DE MONTE CARLO q PERMITE RESOLVER PROBLEMAS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS MEDIANTE LA SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS AL LANZAR UN DARDO ALEATORIO SOBRE EL CUADRADO, LA PROBABILIDAD DE QUE ÉSTE CAIGA DENTRO DEL CÍRCULO DEBE SER PROPORCIONAL AL ÁREA DEL CÍRCULO

ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE LA POBLACIÓN DE ZALAMEA DE LA SERENA AL LANZAR 100 PUNTOS AL LANZAR 200 PUNTOS AL LANZAR 400 PUNTOS ü CUANTOS MÁS PUNTOS ALEATORIOS SON GENERADOS, MENOR ES EL ERROR COMETIDO

FÓRMULA DE PICK HALLAREMOS EL ÁREA DE UN CUARTO DE CÍRCULO DE RADIO UNIDAD SOBRE EL QUE SE HA SUPERPUESTO UNA CUADRÍCULA DIVIDIENDO SU RADIO 2, 4, 10, 12 Y 50 PARTES IGUALES RADIO EN 2 PARTES COMO EL RADIO, LO HEMOS DIVIDIDO EN DOS PARTES DE 0, 5 CADA UNA, CADA UNIDAD CUADRADA TENDRÁ UN VALOR DE 0, 25

RADIO EN 10 PARTES RADIO EN 4 PARTES RADIO EN 50 PARTES RADIO EN 12 PARTES Nº de DIVISIONES ÁREA APROXIMADA DE PI 2 2 3, 5 11, 41 % 4 4 3, 125 5, 28 % 10 10 3, 1 1, 27 % 12 12 3, 11111 0, 920 % 50 50 3, 1456 0, 1783 % ERROR RELATIVO (%)

MÉTODO DEL AGRIMENSOR CUADRANTE DE RADIO UNIDAD EN EJES COORDENADOS SE HA DISEÑADO PARA ELLO UNA HOJA DE CÁLCULO, TENIENDO EN CUENTA LOS DATOS ANTERIORES

APROXIMACIONES SUCESIVAS: SE HAN REALIZADO LOS CÁLCULOS ESCOGIENDO LOS PUNTOS FORMANDO ENTRE ELLOS ÁNGULOS DE 15º, 10º, 5º, 2º, 1º, 0’ 5º, 0’ 2º, 0’ 1º, 0’ 05º, 0’ 02º Y 0’ 01º. A CONTINUACIÓN SE EXPONEN LOS RESULTADOS OBTENIDOS: RESULTADOS Grados ÁREA APROXIMADA DE PI Error (%) 30 3 4, 50703414486279000000 15 3, 10582854 1, 13840705346305000000 10 3, 1256672 0, 50692299547011100000 5 3, 13760674 0, 12687560462499900000 2 3, 1409547 0, 02030659079825370000 1 3, 14139063 0, 00643052867966673000 0'5 3, 14155677 0, 00114236767505909000 0'2 3. 14127221 0, 00020307816682978600 0'1 3, 14159106 0, 00005076955734163970 0'05 3. 14159225 0, 00001269237149603210 0'02 3, 14159259 0, 00000203056505923640 0'01 3. 14159264 0, 00000050696390561254

MÉTODO DE MONTECARLO LANZAMOS UNA SERIE DE PUNTOS ALEATORIOS SOBRE UN CUADRADO DE LADO 2 EN EL QUE SE HA INSCRITO UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO LA UNIDAD CENTRADA EN EL ORIGEN DE COORDENADAS. PARA APLICAR EL MÉTODO DE MONTECARLO, CALCULAR EL VALOR DE Y EL ERROR COMETIDO, SE HA UTILIZADO UNA HOJA DE CÁLCULO COMO LA SIGUIENTE:

• • • COLUMNA A: LOS PUNTOS LANZADOS ALEATORIAMENTE; COLUMNAS B Y C: LAS COORDENADAS X E Y DE DICHOS PUNTOS, OBTENIDOS CON LA FÓRMULA MATEMÁTICA =ALEATORIO() QUE NOS APORTA LA HOJA DE CÁLCULO. COLUMNA D: APLICAMOS UNA FÓRMULA (PRUEBA_LÓGICA) COMO SE APRECIA EN LA IMAGEN QUE NOS DETERMINA SI LA DISTANCIA DEL PUNTO LANZADO AL ORIGEN ES MENOR QUE 1 Y POR TANTO, SI EL PUNTO ESTÁ DENTRO DEL CÍRCULO COLUMNA E: SUMA EL TOTAL DE PUNTOS QUE ESTÁN DENTRO DEL CÍRCULO COLUMNA F: SE CALCULA EL VALOR DE . COMO YA SE HA VISTO CON ANTERIORIDAD CUANDO FUE EXPUESTO EL MÉTODO DE MONTECARLO

SE HAN REALIZADO CÁLCULOS LANZANDO MÁS DE 200 000 PUNTOS LA SIGUIENTE TABLA RESUME LOS RESULTADOS OBTENIDOS: Nº PUNTOS APROXIMACIÓN ERROR % 20000 3, 1374 0, 133456309 40000 3, 1409 0, 022047849 60000 3, 135 0, 209850681 80000 3, 13615 0, 173245044 100000 3, 13552 0, 193298567 120000 3, 134333333 0, 23107134 140000 3, 137571429 0, 127999568 160000 3, 138425 0, 100829545 180000 3, 137622222 0, 126382756 200000 3, 13942 0, 069157712

CONCLUSIONES q MÉTODO DE PICK: FACILIDAD DE APLICACIÓN Y RESULTADO BASTANTE ACEPTABLE TANTO EN EL CÁLCULO DE ÁREA IRREGULARES COMO EL CÁLCULO DE PI, EN EL QUE SE HA LLEGADO A UN VALOR DE 3, 1456 CON UN ERROR RELATIVO DE 0, 1783 %. q MÉTODO DEL AGRIMENSOR: NECESITA DE CÁLCULO ALGO MÁS ELABORADOS, OBTENIENDO EN EL CÁLCULO DE ÁREAS IRREGULARES EL MISMO RESULTADO QUE EL MÉTODO DE PICK Y DANDONOS UN RESULTADO DE PI DE 3, 14159264 CON UN ERROR RELATIVO MUY BAJO, 0’ 00000050696390561254 %