Teora general de superficies Superficies tcnicas Incidencia y

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico Julián Conesa Pastor ü Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Definición ü Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio Clasificación de las superficies ü Analítica: Explícitamente o Implícitamente Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico Julián Conesa Pastor Z = F (x, y) F(x, y, z) = 0

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Definición ü Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio Clasificación de las superficies ü Analítica: Explícitamente o Implícitamente Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico Julián Conesa Pastor Z = F (x, y) ü Geométrica: F(x, y, z) = 0 Lugar geométrico engendrado cuando se desplaza una línea recta o curva siguiendo una determinada ley de movimiento

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Definición ü Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio Clasificación de las superficies ü Analítica: Explícitamente o Implícitamente Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Z = F (x, y) ü Geométrica: Lugar geométrico engendrado cuando se desplaza una línea recta o curva siguiendo una determinada ley de movimiento Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico Julián Conesa Pastor F(x, y, z) = 0 Plano geométrico

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Definición ü Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio Clasificación de las superficies ü Analítica: Explícitamente o Implícitamente Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Z = F (x, y) ü Geométrica: Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente F(x, y, z) = 0 Lugar geométrico engendrado cuando se desplaza una línea recta o curva siguiendo una determinada ley de movimiento directriz Representación de superficies en el sistema diédrico Julián Conesa Pastor Plano geométrico generatriz

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición ü Regladas: su elemento generador es una línea recta Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables 1. 2. 3. Puntos singulares de una superficie Pueda desarrollarse Dos generatrices infinitamente próximas entre sí, se cortan en un punto Cualquier plano tangente en un punto “P” de una superficie, será plano tangente también en cualquier punto de la generatriz que pase por el punto “P” Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Alabeadas ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas: limitadas por caras planas ü Radiadas: generadas obligando a que su generatriz esté continuamente apoyada sobre la directriz y a pasar por un punto fijo llamado vértice ü Alabeadas ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Regulares ü Irregulares ü Radiadas Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Alabeadas ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Regulares ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal La directriz es un polígono Puntos singulares de una superficie ü Directriz cónica La directriz es una cónica de segundo orden Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Directriz orden superior La directriz es una cónica de orden superior a dos ü Alabeadas ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Tres directrices rectas ü Una directriz recta y dos directrices cónicas ü Una directriz cónica y dos directrices rectas ü Directriz helicoidal y cono o plano director ü Curvas: su elemento generador es una línea curva Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Tres directrices rectas ü Una directriz recta y dos directrices cónicas ü Una directriz cónica y dos directrices rectas ü Directriz helicoidal y cono o plano director ü Curvas: su elemento generador es una línea curva ü Cuádricas elípticas Julián Conesa Pastor ü Revolución

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Tres directrices rectas ü Una directriz recta y dos directrices cónicas ü Una directriz cónica y dos directrices rectas ü Directriz helicoidal y cono o plano director ü Curvas: su elemento generador es una línea curva ü Cuádricas elípticas: Julián Conesa Pastor ü Revolución deformación de una elipse apoyando sus vértices en dos cónicas en planos perpendiculares que se cortan según una recta que es trayectoria del centro de la elipse generatriz

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Tres directrices rectas ü Una directriz recta y dos directrices cónicas ü Una directriz cónica y dos directrices rectas ü Directriz helicoidal y cono o plano director ü Curvas: su elemento generador es una línea curva ü Cuádricas elípticas Julián Conesa Pastor ü Revolución ü Elipsoide elíptico ü Paraboloide elíptico ü Hiperboloide elíptico

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Tres directrices rectas ü Una directriz recta y dos directrices cónicas ü Una directriz cónica y dos directrices rectas ü Directriz helicoidal y cono o plano director ü Curvas: su elemento generador es una línea curva ü Cuádricas elípticas Julián Conesa Pastor ü Revolución ü Elipsoide elíptico ü Paraboloide elíptico ü Hiperboloide elíptico

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Tres directrices rectas ü Una directriz recta y dos directrices cónicas ü Una directriz cónica y dos directrices rectas ü Directriz helicoidal y cono o plano director ü Curvas: su elemento generador es una línea curva ü Cuádricas elípticas Julián Conesa Pastor ü Revolución ü Elipsoide elíptico ü Paraboloide elíptico ü Hiperboloide elíptico

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Tres directrices rectas ü Una directriz recta y dos directrices cónicas ü Una directriz cónica y dos directrices rectas ü Directriz helicoidal y cono o plano director ü Curvas: su elemento generador es una línea curva ü Cuádricas elípticas Julián Conesa Pastor ü Revolución ü Elipsoide elíptico ü Paraboloide elíptico ü Hiperboloide elíptico

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies En función de su elemento generador Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie ü Regladas: su elemento generador es una línea recta ü Desarrollables ü Poliédricas ü Irregulares ü Radiadas ü Directriz poligonal ü Vértice propio Puntos singulares de una superficie ü Vértice impropio ü Directriz cónica Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico ü Regulares ü Vértice propio ü Vértice impropio ü Directriz orden superior ü Vértice propio ü Alabeadas ü Vértice impropio ü Tres directrices rectas ü Una directriz recta y dos directrices cónicas ü Una directriz cónica y dos directrices rectas ü Directriz helicoidal y cono o plano director ü Curvas: su elemento generador es una línea curva ü Cuádricas elípticas Julián Conesa Pastor ü Revolución: superficie obtenida al hacer girar alrededor de una línea recta denominada eje de revolución, una generatriz cualquiera

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Recta tangente a una superficie Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Se denomina recta tangente a una superficie en un punto “P” de ella, a la recta tangente en el punto P, a cualquier línea recta o curva que pase por el punto “P” Plano tangente a una superficie Se denomina plano tangente a una superficie en un punto “P” de ella, al lugar geométrico engendrado por las infinitas rectas tangentes la superficie en el punto “P” Representación de superficies en el sistema diédrico Recta normal a una superficie Se denomina recta normal a una superficie en un punto “P” de ella, a la recta que pasando por el punto “P” es perpendicular al plano tangente a la superficie en dicho punto Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Propiedades de las relaciones de tangencias Definición Clasificación de las superficies 1. Todo plano secante a una superficie que contenga a una recta tangente en un punto P, corta a la superficie según una línea tangente a dicha recta en el punto P 2. Todo plano secante que pase por un punto P de la superficie, corta a esta y al plano tangente a la superficie en el punto P, según una curva y su tangente respectivamente Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico Julián Conesa Pastor

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Puntos singulares de una superficie Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Se definen como puntos singulares, aquellos puntos de una superficie en los que el lugar geométrico engendrado por las infinitas tangentes trazadas en el punto, no forma un plano Tipos de singularidades Punto doble planar Punto doble cónico Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico Julián Conesa Pastor Punto doble uniplanar

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Cono y cilindro circunscrito a una superficie Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Se definen como tal, los lugares geométricos engendrados por las infinitas tangentes trazadas a una superficie desde un punto cualquiera Contorno aparente Se define como el lugar geométricos engendrado por los infinitos puntos de contacto entre la superficie y el cono o cilindro circunscrito Contorno aparente V Representación de superficies en el sistema diédrico Cono circunscrito (Vértice propio) Julián Conesa Pastor Contorno aparente Cilindro circunscrito (Vértice impropio)

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Base de los sistemas de proyección Definición Concepto de proyección-sección Clasificación de las superficies V Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie B n C sm A’ Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente m A p r. A s ss sn D’ m’ B’ r. B n’ D C’ s’ r. D r. C Representación de superficies en el sistema diédrico Julián Conesa Pastor Proyección central Proyección paralela ortogonal Proyección paralela oblicua

Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies Base de los sistemas de proyección Definición Clasificación de las superficies Recta tangente, plano tangente y normal a una superficie Visible en proyección horizontal y no visible en proyección horizontal Visible en proyecciones horizontal y vertical Puntos singulares de una superficie Cono y cilindro circunscrito a una superficie. Contorno aparente Representación de superficies en el sistema diédrico No visible en proyecciones vertical y horizontal Julián Conesa Pastor Visible en proyección vertical y no visible en proyección horizontal