TEORA DE CONJUNTOS Prof Ofelia Nazario Bao CONCEPTO

TEORÍA DE CONJUNTOS Prof. Ofelia Nazario Bao

CONCEPTO DE CONJUNTO Es la agrupación o colección de objetos llamados elementos. Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos van separados por comas y encerrados entre llaves { }. Ejemplo: A= { 1, 2, 3, 4 } Para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto será utilizado el símbolo (pertenece a). Prof. Ofelia Nazario Bao

EJEMPLO: Se lee “ 2 pertenece a A” Se lee “ 3 pertenece a A” Se lee “ 8 no pertenece a A” Prof. Ofelia Nazario Bao

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Un conjunto queda determinado por “Extensión”, cuando se nombran uno a una sus elementos. Un conjunto queda determinado por “Comprensión”, cuando sus elementos se definen por medio de una propiedad la cual deben satisfacer. Prof. Ofelia Nazario Bao

EJEMPLOS 1) A=Conjunto de los números: 1, 4. A={0, 4} por extensión A={x/ x (x-4)=0} por compresión 2) B= Conjunto de las letras: a, m, o, r. B={a, m, o, r} por extensión B={x : x es una letra de la palabra “roma”} por comprensión Prof. Ofelia Nazario Bao

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Un conjunto es finito si su número de elementos se puede contar; en caso contrario se dice que es infinito. EJEMPLOS: 1) CONJUNTOS FINITOS A={x : x es un mes del año} B= Conjunto de alumnos de la FIA 2) CONJUNTOS INFINITOS C= Conjunto de los números pares D={x / -4 < x < 4} Prof. Ofelia Nazario Bao

CONJUNTOS NUMÉRICOS Los conjuntos numéricos mas importantes que se estudian en matemáticas son: N = Conjunto de los números Naturales. = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………} Z = Conjunto de los números Enteros = {……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …. . } Z+ = Conjunto de los Enteros Positivos ={1, 2, 3, 4, ……. . } Z- = Conjunto de los Enteros Negativos ={-1, -2, -3, -4, …. . } Prof. Ofelia Nazario Bao

Q = Conjunto de los números Racionales = { a/b : a Z, b 0 } Q´= Conjunto de los números Irracionales. = {x : x tiene representación infinita no periódica}. R = Conjunto de los números Reales = Conjunto formado por los elementos de Q y Q´. C = Conjunto de los números Complejos. ={a+bi : a R y b R ; i= -1} Prof. Ofelia Nazario Bao

CONJUNTOS ESPECIALES UNITARIO: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. VACÍO: Es aquel que no tiene elementos. Se denota por la letra griega ( ). UNIVERSAL: Es el conjunto que tiene todos los elementos de un determinado problema. Se denota por la letra U. Prof. Ofelia Nazario Bao

EJEMPLOS 1) CONJUNTOS UNITARIOS A 1={x N: 0<x<2}={1} A 2={x : x es la capital del Perú} 2) CONJUNTOS VACÍOS B 1={x N: 2 x+3=0}= B 2={x R: x 2=-1} 3) CONJUNTO UNIVERSAL U={x Z: -1 x 4} es el universo de C 1={x Z: x 2 -1=0} C 2={x : x 3 U} Prof. Ofelia Nazario Bao

EJERCICIOS DE APLICACION 2. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos: a) A={1, 4, 7, 10, 13 } b) B={2, 4, 8, 14, 22 } c) C={1/2, -1/4, 1/8, -1/16, 1/32 } Prof. Ofelia Nazario Bao

Prof. Ofelia Nazario Bao

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Prof. Ofelia Nazario Bao

INCLUSIÓN Un conjunto A esta incluido o contenido en otro B, si todo elemento de A es elemento de B. Indicamos esto escribiendo A B o B A. Formalmente: A B x: x A x B Negando la definicion anterior tenemos: A B x: x A x B EJEMPLOS 1. El conjunto A={x R: x 2=1} es un subconjunto de B={x Z: -1 x 2}. 2. El conjunto N es subconjunto de Z. 3. El conjunto A={1, 2} es subconjunto de B={2, 1}. Prof. Ofelia Nazario Bao

IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos elementos. Esto es: A=B ( x: x A x B) Tambien: A=B (A B B A) NOTA: Si A B, se dice que A es subconjunto propio de B. EJEMPLO Son iguales, los conjuntos: A={x N : x 2+2 x-3=0} y B={3}. Prof. Ofelia Nazario Bao

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN 1) 2) 3) 4) A: A A (reflexiva) (A B B A) A=B (antisimétrica) (A B B C) A C (transitiva) A: A PROPIEDADES DE LA IGUALDAD 1) A: A=A (reflexiva) 2) A=B B=A (simétrica) 3) (A=B B=C) A=C (transitiva) Prof. Ofelia Nazario Bao

CONJUNTOS DISJUNTOS Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Simbólicamente: (A y B son disjuntos) (no x: x A x B) EJEMPLOS Los siguientes conjuntos son disjuntos: 1. A={x R: x 3 -x=0} y B={-2, 2, 4}. 2. El conjunto de los números racionales (Q) y los irracionales (Q’). Prof. Ofelia Nazario Bao

CONJUNTOS EQUIVALENTES Dos conjuntos no vacíos A y B se dice que son equivalentes o coordinables si se pueden formar parejas de tal manera que cada pareja este formada por un elemento de cada conjunto empleando todos los elementos de ambos conjuntos una sola vez. Si A y B son equivalentes se escribirá: A B. EJEMPLOS: Son equivalentes los conjuntos: 1. A={x N: -1<x-1< 2} y B={4, 7} 2. Los naturales impares y los naturales pares. NOTAS: i) A = B implica que A B ii) A B no implica que A=B Prof. Ofelia Nazario Bao

CONJUNTOS COMPARABLES Se dice que dos conjuntos A y B son comparables si A B B A. Simbólicamente: (A y B son comparables) ( A B B A ) EJEMPLOS Son comparables: 1. Los conjuntos A={ 1, 2} y B={x Z: (x-1)(x 2 -4)=0}. 2. Los conjuntos numéricos N y Z. Prof. Ofelia Nazario Bao

CONJUNTO POTENCIA Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o conjunto de partes de A, al conjunto de todos los subconjuntos de A. Se denota por P(A). Simbólicamente: P (A): = {X / X A } Es decir: X P(A) X A EJEMPLO: Hallar P(A) para A={-1, 0, 1} Prof. Ofelia Nazario Bao

PROPIEDADES DEL CONJUNTO POTENCIA 1) P ( )={ } 2) A B P (A) P(B) 3) A=B P (A)=P (B) 4) Si n es el número de elementos de A, entonces P(A) tiene 2 n elementos. Prof. Ofelia Nazario Bao

EJERCICIOS DE APLICACION 1. Dados los conjuntos A={2, 3 5, 6, 8} B={0, 1, 2, 4, 5, 7, 9}; si m es el número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y n el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A, hallar m+n. 2. Dado A = {a, b, {a, b}, {a, b}}} Si a b, ¿ cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) p: {a, b} A b) q: {a, b}} P (A) c) r: {{a, b} P (A) Prof. Ofelia Nazario Bao

3. Dados los conjuntos: A = {x Z : ~(x -3 x>3) } B = {y Z+ : y es par y<10 } C = {z Z : ~(-2>z z>28) } D = {x Z : x C } Determinar el valor de verdad de: a) p: B A b) q: C B c) r: B y C son comparables d) s: C y D son equivalentes Prof. Ofelia Nazario Bao

4. Si A = { , { }, {a, }, a} Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) p: A P (A) b) q: P ( ) A P (A) c) r: n (P (A))=16 { }= d) s: X P (A) / a X e) t: { , { }} P (A) 5. Dados los conjuntos A={a 2+b 2 -5, -3, -4 a } y B={ b-2 c-8, a 2+4}. Si {a, b, c } {x Z: x 2 1 } y A=B , hallar el conjunto potencia de C= { a+c, b 2+c } Prof. Ofelia Nazario Bao

6. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique sus respuestas. a) b) Si A={x Z / 3 x 2=x} P (A)= c) d) P (P ( ))={ } P ( )= Prof. Ofelia Nazario Bao

7. Dado el conjunto A = {0, 2, {0, 2}, {0, }}}. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p: {0, 2} A b) q: {0, 2}} P (A) c) r: {{0, 2} P (A) d) s: p (A) y { 2, {0, 2}} } son comparables Prof. Ofelia Nazario Bao

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS Prof. Ofelia Nazario Bao

DIAGRAMAS DE VENN-EULER Son representaciones de los conjuntos a través de figuras geométricas cerradas (círculos, elipses, etc. ), en cuyo interior se ubican a los elementos mediante puntos. El conjunto universal suele representarse por un rectángulo. A. 4 . 1. 2. 3 Prof. Ofelia Nazario Bao B C. a . b. c . m A U B

DIAGRAMA DE VENN-EULER DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS. C 1. El conjunto de los números complejos C es el conjunto universal. R Q Z 2. N Z Q R C. 3. El conjunto Q’ es disjunto respecto de los conjuntos N, Z y Q. Prof. Ofelia Nazario Bao N Q´

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Prof. Ofelia Nazario Bao

UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. Simbólicamente se indica por A B= {x / x A x B } Es decir: x A B (x A x B ) SIMBÓLICAMENTE A Prof. Ofelia Nazario Bao B A A B=parte sombreada B A B

EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 5, 6, 7} y C={5, 6, 7}, tenemos: A B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B C ={2, 4, 5, 6, 7}, A C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} GRÁFICAMENTE A B A. 1. 3 B C B . 2. 4 Prof. Ofelia Nazario Bao . 5. 6. 7 B . 2 C. 5. 4. 6. 7 A C A. 2 . 1. 3 . 4 C. 5. 6. 7

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que comunes de A y B. En símbolos se tiene: A B= {x / x A x B } Es decir: x A B (x A x B ) GRÁFICAMENTE A B= parte sombreada A A B Prof. Ofelia Nazario Bao B

EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 5, 6, 7} y C={5, 6, 7}, tenemos: A B={2, 4, }, B C={5, 6, 7}, A C={ } GRÁFICAMENTE A B B C A. 1. 3 B. 2. 4 Prof. Ofelia Nazario Bao . 5. 6. 7 B . 2 C. 5. 4. 6. 7 A C A. 2 . 1. 3 . 4 C. 5. 6. 7

DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. En simbolos se tiene: A-B= {x / x A x B } Es decir: x A-B (x A x B) GRÁFICAMENTE A B A-B= parte sombreada A A B Prof. Ofelia Nazario Bao B

EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 5, 6, 7} y C={5, 6, 7}, tenemos: A-B={1, 3}, B-C={2, 4}, A-C={1, 2, 3, 4} GRÁFICAMENTE A-B B- C A B . 1. 3 . 2. 4 Prof. Ofelia Nazario Bao . 5. 6. 7 B . 2 C. 5. 4. 6. 7 A- C A. 2 . 1. 3 . 4 C. 5. 6. 7

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS El complemento de A respecto de B es el conjunto formado por los elementos de B y que no son de A. En símbolos: CB(A)= B-A= {x / x B x A } Es decir: x CB (A) x B x A GRÁFICAMENTE: A B CB(A) = parte sombreada A A B Prof. Ofelia Nazario Bao B

EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 5, 6, 7} y C={5, 6, 7}, tenemos: CB(A)=B-A={5, 6, 7}, CC(B)=C-B= { }, CC(A)=C-A={5, 6, 7} GRÁFICAMENTE CB(A) CC(B) A. 1. 3 B. 2. 4 Prof. Ofelia Nazario Bao . 5. 6. 7 B . 2 C. 5. 4. 6. 7 CC(A) A. 2 . 1. 3 . 4 C. 5. 6. 7

NOTA Si B=U=conjunto universal, entonces el complemento de A respecto de U , se denota por: C(A)=A’ =AC , y se define como el conjunto de elementos que no pertenecen a A; esto es: A’=U-A={x/x U x A} EJEMPLO Si U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} es el universo de A={2, 4, 6} entonces: A’=U-A={1, 3, 5, 7} Prof. Ofelia Nazario Bao U A’. 1. 3 A. 2. 4. 6 . 5. 7

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión de los conjuntos (A-B) y (B-A). Simbólicamente: A B = (A-B) (B-A) = (A B)-(A B) GRÁFICAMENTE A B A B= parte sombreada A A B Prof. Ofelia Nazario Bao B

EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 5, 6, 7} y C={5, 6, 7}, tenemos: A B={1, 3, 5, 6, 7}, B C={2, 4}, A C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} GRÁFICAMENTE A B A. 1. 3 Prof. Ofelia Nazario Bao B C. 2. 5. 4. 6. 7 B B . 2 C. 5. 4. 6. 7 A C A. 2 . 1. 3 . 4 C. 5. 6. 7

EJERCICIOS DE APLICACION 1. Sea U={x Z: -2 x x 3} el universo de este ejercicio y los conjuntos A={x Z: ~[ x -4 x 3 ]} B={x N: ~[-1 x 5 x=3 ]} C={x Z: x 2+3 x+2=0} { x N: 12/x N} Determinar por extensión los conjuntos: a) (A-B)’ C b) C (A B) Prof. Ofelia Nazario Bao

2. Sean A={ 2 x 2, 12 y-2 x} y B={9 y-1, x 3} Si x, y N, y A B es un conjunto unitario, hallar A B. 3. Sea {x, y, z} Z-{-1, 1 }. Si A={x+y+z: -x=x 2 -2 x 2+y 2=13 y-2 z=5} Hallar: P( A {-x: x A} ) 4. Sean A={a, , { }} Y B={{ }, {{ }}}. Determinar el valor de verdad de: a) P (A B)={{{ }}, } b) A B={a, , {{ }}} c) {{a}, {{ }}} P(A B) d) {{{a}, { }} P(A) Prof. Ofelia Nazario Bao

ALGEBRA DE CONJUNTOS Prof. Ofelia Nazario Bao

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS A U , B U , C U se cumple: 1 Prof. Ofelia Nazario Bao IDEMPOTENCIA: A A=A

2. CONMUTATIVIDAD: A B=B A 3. ASOCIATIVIDAD: A B C=(A B) C=A (B C) Prof. Ofelia Nazario Bao

4. DISTRIBUTIVIDAD: A (B C)=(A B) (A C) 5. LEYES DE MORGAN: (A B)’ = A’ B’ Prof. Ofelia Nazario Bao

6. LEYES DE ABSORCIÓN: A (A B)=A A (A’ B)=A B 7. LEYES DE IDENTIDAD: A =A A = A U=U A U=A Prof. Ofelia Nazario Bao

8. LEYES DEL COMPLEMENTO: A A’=U A A’= U’= ’=U (A’)’ = A 9. LEYES DE LA DIFERENCIA: A-B=A B’ A-A= A- =A -A= Prof. Ofelia Nazario Bao

10. LEYES DE LA INCLUSIÓN: A A B A A-B A 11. OTRAS: A B B’ A’ A B A C B C A B=B A B=A Prof. Ofelia Nazario Bao

EJERCICIOS DE APLICACION 1. Demostrar las siguientes igualdades para conjuntos: a) (A-C) A-(B C) = A-C b) (A-B’) (B’-A) –B B- (A B)’ = A’ 2. Simplificar los siguientes conjuntos: a) (A B) C’ ’ (B C) rpta: B C b) C (B-A’) B-(C A)’ rpta: B C Prof. Ofelia Nazario Bao

3. Si A B, simplificar el siguiente conjunto: A (B A) C B’ A’ B’ rpta: 4. Si A B y C A= , simplificar la expresión: A (B-C) B (C–A) {(A-B) C rpta: B C Prof. Ofelia Nazario Bao

5. Si C B=C y (B C) A= , simplificar el siguiente conjunto aplicando álgebra de conjuntos: (A B)’ (A-C) B’ ’ ’- (C’-B’)-A’ ’ rpta: 6. Si A B, simplificar el siguiente conjunto: (A’-B)’–(B-A’) (A’ B’) (A-B’ ) rpta: U Prof. Ofelia Nazario Bao

7. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: A: (A A’ ) A=A q: A, B: (A B)’= A’ B’ r: A, B, C: A (B C)=(A C) (B C) s: A, B: (A B)-(B A)=(A-B) (B-A) t: A, B, C: A B A (B C)=(A B) C 8. Usando el siguiente diagrama de Venn-Euler, simplificar: {[(E-A’) (E-D)] [(D B) (C-E)]} E B C A Prof. Ofelia Nazario Bao D

CARDINAL DE UN CONJUNTO Prof. Ofelia Nazario Bao

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Sea A un conjunto finito. Se dice que n es el número de elementos o número cardinal de A si y solo si A es equivalente al conjunto de enteros positivos {1, 2, 3, . . , n}. Y se denota por: card(A)=n o n(A)=n. EJEMPLOS Si A={a, b, c} y B={o, e, {o}, {e, {o}}} entonces: n(A)=3 y n(B)=4. Tambien: n[P(A)]=23=8 y n[P(B)]=24=16 Prof. Ofelia Nazario Bao

PROPIEDADES 1. Si A y B son conjuntos disjuntos, esto es A B= entonces: A n(A B)= n(A)+n(B) B n 1 n 2 2. Si A y B son conjuntos cualesquiera entonces: n(A-B)=n(A)-n(A B) A B n 1 Prof. Ofelia Nazario Bao n 2 n 3

3. Si A y B son conjuntos tales que A B , entonces: n(A B)=n(A)+n(B)-n(A B) A B n 1 n 2 n 3 4. Si A, By. C son conjuntos tales que A B C , entonces n(A B C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)n(A C)-n(B C)+n(A B C) A B n 1 n 4 n 5 n 7 n 3 Prof. Ofelia Nazario Bao n 2 n 6 C -

EJERCICIOS DE APLICACION 1. Si A es un conjunto que tiene 8 m elementos, B un conjunto con 5 m elementos y se sabe que los dos tienen 2 m-1 elementos en común, hallar la suma del numero de elementos que tienen cada uno de los siguientes conjuntos: a) (A B) (A-B) b) (A B) (A-B) Rpta: 6 m+1 2. Si n[P(A)]=128, n[P(B)]=16 y n[P(A B]=8, hallar n[P(A B)]. Rpta: 256 Prof. Ofelia Nazario Bao

3. Si n(A)=8 y n(B)=8; n(C)= 5 y n(D)=5. Hallar el producto del máximo número de elementos de A C y del máximo número de elementos de B C. Rpta: 65 4. Si n(U)=360, n(A)=120, n(B)=150, n(C)=100, n(A C)=20, n(A B)=30, n(B C)=25, n(A B C)=10, hallar n(E F), sabiendo que E={x U: x A x B} y F={x U: x A x B}. Rpta: 280 Prof. Ofelia Nazario Bao

5. Un club consta de 78 personas. De ellas 50 juegan fútbol, 32 basket y 23 voley. Además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Hallar la diferencia entre el total de personas que practican exactamente un deporte y el total de personas que practican exactamente dos deportes. Rpta: 12 Prof. Ofelia Nazario Bao

6. En una encuesta realizada sobre un determinado numero de profesionales se observa que: El 52% son físicos, el 72% matemáticos, el 37% químicos, el 32% físico-matemático, el 12% físico-químico, el 22% matemáticos-químicos y el 2% físico-matemáticos-químicos. Hallar: a) El porcentaje de encuestados que siguen una solo carrera. Rpta: 35% b) El porcentaje de encuestados que tienen otras carreras. Rpta: 3% Prof. Ofelia Nazario Bao

7. De un grupo de turistas 9 conocen Cuzco o Piura, pero no Arequipa; de estos 9; 8 conocen Cuzco y 4 Piura. Además 25 han visitado Arequipa o Piura, de los cuales 7 conocen Cuzco pero no Piura, y 2 han visitado Piura y Arequipa pero no Cuzco. Si 4 turistas conocen las 3 ciudades ¿ A cuantos turistas se hizo referencia ? Rpta: 30 Prof. Ofelia Nazario Bao

8. En una batalla intervinieron 300 hombres, de los cuales: 54 fueron heridos en la cabeza 48 ‘’ ‘’ ‘’ el brazo 58 ‘’ ‘’ ‘’ la pierna 8 ‘’ ‘’ ‘’ la cabeza y brazo 20 ‘’ ‘’ ‘’ la pierna y brazo 12 ‘’ ‘’ ‘’ la cabeza y pierna Si el 42% de los que intervinieron en la batalla fueron heridos, averiguar cuántosn fueron heridos en los tres lugares. Rpta: 6 Prof. Ofelia Nazario Bao