Teora de Conjuntos Dr Rogelio Dvila Prez Depto

Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez Depto. de Tecnologías de la Información ITESM, Campus Guadalajara e-mail: rogelio. davila@itesm. mx

Teoría de conjuntos o Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones. Un conjunto se define enumerando a todos sus elementos o indicando las condiciones que deben satisfacer para pertenecer al mismo. Ejemplo: Planetas={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón} A = {x| x es un múltiplo de 3 y x es menor a 17} o Una operación importante es saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado. 9 A -- 9 es un elemento del conjunto A la_luna Planetas -- la_luna no pertenece al conjunto de los Planetas.

Teoría de conjuntos o o Def. Sea A un conjunto cualquiera, designamos |A| a la cardinalidad del conjunto A, y representa al total de elementos dentro del conjunto. Es el conjunto vacío, | |=0.

Teoría de conjuntos Algunos conjuntos importantes: Los números naturales Los números enteros Los números racionales { todos aquellos números que no se pueden expresar como la división de dos enteros ej. raiz de 2, , etc} Los números irracionales Los números reales

Teoría de conjuntos n n Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A. B A x B, (x A) Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B A, si y solo si, B A pero B A. B A A B

Teoría de conjuntos n n Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B A, y A B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B A. B=A B A A B Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotado Ac, es el conjunto: Ac= {x| x U x A}

Teoría de conjuntos Propiedades del complemento: 1. (Ac)c = A 2. Ac A = U 3. A Ac =

Teoría de conjuntos Operaciones con Conjuntos n n n Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A - B = {x | x A x B}

Propiedades de conjuntos Leyes asociativas 1. a) b) Leyes conmutativas 2. a) b) 3. 4. A (B C) = (A B) C A B=B A Leyes distributivas a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) Leyes de Identidad: a) b) A =A A U=A

Propiedades de conjuntos 4. Leyes de idempotencia A Ac= U b) A A=A 5. Leyes de acotación a) A U=U a) A = 6. Leyes de absorción a) A (A B) = A b) A (A B) = A 7. Leyes de involución a) (Ac)c = A b)

Propiedades de conjuntos 8. Leyes 0/1 a) c = U b) Uc = 9. Leyes de De Morgan a) b) (A B)c = Ac Bc

Ejercicios 1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B C) = (A – B) (A – C) b). A (B C) = (A B) (A C)

Preliminares Operaciones con Conjuntos n n Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A x B = {(x, y) | x A y B} Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2 A o P(A), es el conjunto: P(A) = {X | X A} Ejemplos: Dados los conjuntos A={a, b} y B={1, 2, 3}: A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)} P(A) = { , {a}, {b}, {a, b}}

Inducción Matemática Definición Sea el conjunto C = {x N| P(x)}. Si se satisface: • • P(1) es verdadero. Si se cumple que para un k arbitrario (k N): De suponer P(k), logramos demostrar P(k+1) Entonces Ejemplo: C = N (C es el conjunto de los Naturales)

Inducción Matemática Ejercicios 1. Demuestre que: 8+13+18+23+…+(3+5 n) = 2. 5 n 2+5. 5 n 2. Demuestre que para todo n que pertenece a los naturales, xn-1 es divisible entre x-1. 3. Si n es un número natural y 1+x > 0, entonces: (1+x) n 1 + nx 4. Considere el triangulo siguiente: 1 3 + 5 7 + 9 + 11 13 + 15 + 17 + 19 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = = = 1 8 27 64 125 Encuentre una expresión para la suma del renglón i-ésimo y demuestre que es correcta.

Generalización de Conjuntos Sea M un conjunto de índices cualquiera: , para algún