TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVN EVROPSKM SOCILNM FONDEM A

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR 1. ročník S O U GONIOMETRICKÉ FUNKCE Poznámky pro žáky se SPU PDF Milan Hanuš, hanusm@sos-souhtyn. cz

Goniometrie [řec. góniá – úhel, metrein – měřit] je nauka o úhlech a jejich vzájemných vztazích. Goniometrické funkce jsou funkce sinus úhlu, kosinus úhlu, tangens úhlu, kotangens úhlu, méně užívané sekans úhlu a kosekans úhlu. Goniometrické funkce pro úhel mezi 0° a 90° se definují jako podíl příslušných stran pravoúhlého trojúhelníka, pro větší úhly pak pomocí jednotkové kružnice – kružnice o středu v počátku a jednotkovém poloměru. Df = (-∞; +∞) pro sinus úhlu a kosinus úhlu, Df = R – 90°(2 k - 1); k N pro tangens úhlu a kotangens úhlu Hf = (-1; +1) pro sinus úhlu a kosinus úhlu, Hf = (-∞; +∞) pro tangens úhlu a kotangens úhlu

Goniometrické funkce úhlů do 90° C γ b a β α c A α+ β = γ B = 90°; a, b jsou odvěsny; c je přepona pravoúhlého trojúhelníka ABC sinα = a/c cos α = b/c sin β = b/c cos β = a/c tg α = a/b tg β = b/a cotgα = tgβ cotgα = 1/tgα Vlastnosti goniometrických funkcí Mezi goniometrickými funkcemi úhlů platí vztahy: sin 2α + cos 2α = 1; cosα = sin(90° – α); tgα = sinα /cosα

Výpočet hodnot goniometrických funkcí Určete pomocí kalkulačky hodnotu goniometrické funkce pro úhel 42° 23´ 45´´. sin 42° 23´ 45´´ = Před zahájením výpočtu je třeba: a) nastavení komunikace s kalkulátorem ve stupních – Deg 1)=jednoduché stupně (celýkalk. : kruh 42+23: 60+45: 3600= je dělen na 360 dílkůsin – stupňů); - Rad = radiány (celý kruh je Ad výsledek dělen na 2π dílků – radiánů) a - Grad = dělostřelecké dílce (pravý úhel je dělen na 100 dílků – děl. dílců). Ad 2) vědecké kalk. : sin 42 DMS 23 DMS 45 DMS = výsledek b) poznání kalkulačky (nejlépe z manuálu). Kalkulačky lze rozdělit na dva typy: 1) jednoduché – nejdříve zadat úhel, pak tl. sin a na displeji se zjeví výsledek. Postup zadání obvykle nezobrazují. 2) vědecké – nejdříve zvolit funkci, pak zadat velikost úhlu a tlačítko =. (Zadáváme, jak je zapsáno. ) Při zjišťování hodnot ostatních funkcí kosinus, tangens a kotangens postupujeme obdobně. Kalkulačka

Výpočet velikosti úhlu z hodnot goniometrických funkcí Určete velikost úhlu α, jestliže platí, že sinα = 0, 3 α (0°; 90°) Ad 1) jednoduché kalk. : 0, 3 Shift (2 nd. F, F) sin výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad 2) vědecké kalk. : Shift sin 0, 3 = výsledek Shift DMS (převod na stupně, minuty a vteřiny) se zaměřuje na rozvojovou pomoc méně vyspělým regionům EU Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Počítáme velikost úhlu Goniometrické funkce k řešení pravoúhlého trojúhelníka využijeme tehdy, když: Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je |a| = 6 m; |c| = 12 m. Vypočtěte velikost obou 1. počítáme velikost pravoúhlého funkcí. trojúhelníka ze zadaných stran ostrých úhlůostrého pomocíúhlu goniometrických C 2. je zadána velikost ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníka 6 m Věta Ssu β α 12 m A B β Známepřeponuaaprotilehlou přilehlou odvěsnu α==? ? ; Známe odvěsnuaaprotopoužijemecosβ. k výpočtu úhlu α funkci sinus úhlu α. Ad 1) jednoduchá kalk. : 6 : 12 = Shift cos výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad 1) jednoduchá kalk. : 6 : 12 = Shift sin výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad 2) vědecká kalk. : Shift cos (6 : 12) = výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny Shift Ad 2)DMS) vědecká kalk. : Shift sin (6 : 12) = výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny Shift DMS) Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Počítáme velikost úhlu Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku KLM je |LM| = 5 m a |MK| = 7 m. Určete oba ostré úhly M 7 m Věta sus 5 m K L Velikost úhlu KLM= MKL= ? ? Platí: tg∠MKL = |ML| / |MK| = 5/7 Jsou dány obě odvěsny a proto použijeme goniometrickou funkci tangens úhlu. Ad 1) jednoduchá kalk. : 5 : 7 = Shift tan výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Platí: tg∠KLM = |MK| / |ML| = 7/5 Ad 1) jednoduchá kalk. : 7 : 5 = Shift tan výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad. Ad 2) 2) vědecká kalk. : Shift tantan( 5( : 77): 5)= výsledek (převod nana stupně, minuty a vteřiny) vědecká kalk. : Shift = výsledek (převod stupně, minuty a vteřiny) Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Výpočet délky strany Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je |a| = 5 m a |∠ABC| = 30° 25´. Vypočtěte pomocí goniometrických funkcí zbývající dvě strany. C Věta usu 5 m 30° 25´ |AC| = ? |AB| = ? B A Protože známe ostrý úhel, přilehlou odvěsnu a počítáme protilehlou odvěsnu, tak Protože známe ostrý úhel, přilehlou odvěsnu a počítáme přeponu, tak použijeme goniometrickou funkci tangens úhlu goniometrickou funkci kosinus úhlu. Platí: cos tg 30° 25´= =|AC| 5/ |AB| / 5 |* |AB|* 5 * tg 30° 25´ cos 30° 25´= = |AC| 5 |: cos 30° 25´ |AB| = 5/ cos 30° 25´ Na Najednoduchékalk. : 5 30: (30+25: 60=cos)= + 25 : 60 = tan * 5 výsledek = výsledek Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení Počítáme velikost strany pravoúhlého trojúhelníka Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je |c| = 8 m a |∠ABC| = 30° 25´ 16´´. Vypočtěte pomocí goniometrických funkcí zbývající dvě strany. C b a 30° 25´ 16´´ ab==? ? A 8 m B Když známe velikostdélku přepony a ostrého úhlu protilehlého v pravoúhlém trojúhelníku, použijeme k výKdyž známe přepony a velikost úhlu pravoúhlého trojúhelníka, počtu přilehlé odvěsny goniometrickou funkci kosinusfunkci úhlu. sinus úhlu. využijeme k výpočtu délky protilehlé odvěsny Platí: cos 30° 25´ 16´´ = a / 8 |* 8 Platí: sin 30° 25´ 16´´ = b / 8 |* 8 8 * cos 30° 25´ 16´´ = a 8 * sin 30° 25´ 16´´ = b Na jednodušší kalkulačce: 30 30 ++ 25: 60 ++ 16: 3600 == sin cos* *88==výsledek Na Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Nájezdová plošina na vůz vysoký 1, 1 m je 4 m dlouhá. Kolik m bude přesahovat, když maximální úhel nájezdu musí být menší než 20°? x 4 m 1, 1 m Postup: α Nejdříve nalezneme pravoúhlý trojúhelník ABC K výpočtu délky nájezdu k okraji vozu y použijeme goniometrickou funkci sin 20° Platí: sin 20° = 1, 1 / y |* y y * sin 20° = 1, 1 B 1, 1 m C y 20° A |: sin 20° y = 1, 1 : sin 20° y = 3, 3 x ≤ 4 – y; x (0; 0, 7) Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Pravidelná sedlová střecha musí mít sklon nejméně 33°. Jak dlouhé potřebujeme krokve nad domem s rozponem 6 m, je-li jejich přesah 0, 8 m? L v 6 m x 33° 3 m Nejdříve nalezneme pravoúhlý trojúhelník ABC K výpočtu délky krokve nad půdou x použijeme goniometrickou funkci cos 33° Platí: cos 33° = 3 / x x * cos 33° = 3 |* x |: cos 33° x = 3, 6 m Jak vysoká bude Vámi navržená sedlová střecha? Kalkulačka

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Konec Podpora politiky zaměstnanosti a vzdělávání