TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVN EVROPSKM SOCILNM FONDEM A

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Poznámky ve formátu PDF Mgr. Martina Fainová STEREOMETRIE metrické vlastnosti

Odchylka dvou přímek Odchylka přímek a, b je úhel přímek a´, b´, které procházejí libovolným bodem M a jsou rovnoběžné s původními přímkami. Poznámka: 1) Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0. 2) Odchylku mimoběžek převedeme na odchylku dvou různoběžek.

Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku 45 přímek a) AB, EG 90 b) AH, CF 60 ? c) AH, BE 0 d) AD, GF 35 16´ e) AC, AG Př. 2: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostr. ∆-ky. Určete odchylku přímek AB, CV. 60 Př. 3: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=6 cm, |BC|=3 cm, |AE|=8 cm. Určete odchylku přímek EG, BD. 53 8´

Odchylka přímky a roviny je rovna úhlu, který svírá přímka se svým pravoúhlým průmětem do této roviny. Odchylka dvou rovin je rovna odchylce jejich průsečnic s třetí rovinou, která je k oběma rovinám kolmá.

Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku 35 16´ ? roviny ABC a přímky BH. Př. 2: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=4, 5 cm, |BC|=3 cm, |AE|=3, 8 cm, bod S je střed horní podsta? vy. Určete odchylku přímky BS a rovin ABF. 18 46´ Př. 3: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku 70 31´ ? rovin ACF a ACH. Př. 4: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, |AB|=5 cm, ? |AV|=7 cm. Početně i graficky určete odchylku roviny 67 31´ boční stěny a roviny podstavy.

Kolmost přímek a rovin Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°. Platí: p q a q r p r nebo jsou mimoběžné Vymodelujte Přímka k je kolmá k rovině právě tehdy, jeli kolmá ke všem přímkám této roviny. Průsečík kolmice s rovinou je pata kolmice.

Kolmost přímek a rovin Kritérium kolmosti: Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je kolmá k rovině. Platí: p a q p p a p p q q Věta 1: Daným bodem lze vést k rovině jedinou kolmici. Věta 2: Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu.

Kolmost rovin Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Rovina je kolmá ke dvěma různoběžným rovinám právě tehdy, je-li kolmá k jejich průsečnici.

Cvičení Př. 1: Body K, L, M, N jsou po řadě středy hran EH, CD, AE, CG krychle ABCDEFGH. Ověřte kolmost : a) ↔ HM, ↔EF ? b) ↔AL, ↔BK c) ↔FH, ACG Př. 2: Vrcholem E krychle ABCDEFGH veďte přímku EC ? kolmou k rovině AFH. Př. 3: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. ? Najděte rovinu kolmou k rovinám ADV a BCV. rovina S 1 S 2 V; S 1 - střed AD, S 2 - střed BC

Vzdálenost bodu Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB. Vzdálenost bodu A od přímky p je rovna vzdálenosti bodů AP, kde P je pata kolmice vedené bodem A k přímce p. Vzdálenost bodu A od roviny je rovna vzdálenosti bodu A a jeho pravoúhlého průmětu A´ do roviny .

Cvičení Příklad 1: Je dán pravid. čtyřboký hranol ABCDA´B´C´D´, |AB|= 4 cm, |AA´|= 5, 5 cm. Vypočtěte vzdá lenost bodu B od přímky 4 cm a) AD d) AD 6, 18 cm 2, 82 cm b) AC e) AC 3, 45 cm c) C´D´ 6, 8 cm Příklad 2: Je dána krychle ABCDEFGH s a = 5 cm, S je střed podstavy. Určete vzdálenost a) bodu S od roviny BCG 2, 5 cm 2, 89 cm b) bodu E od roviny AFH

Vzdálenosti přímek a rovin Vzdálenost dvou přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky. Vzdálenost dvou mimoběžných přímek je velikost úsečky PQ; P, Q jsou průsečíky mimoběžek s přímkou k oběma kolmou. Vzdálenost dvou rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny.

Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH o délce hrany a. Určete vzdálenost a) přímek AB a GH ? b) rovin ABC a FGH a a c) přímky EG od roviny ABC Př. 2: Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany 6 cm, bod M je bodem hrany EH. Určete vzdálenost mimoběžek ? a) AB a FG v = |BF| = 6 cm b) AC a FM v = |PQ| = 6 cm, Q je průsečík FM a EG