Tento projekt je spolufinancovn Evropskm socilnm fondem a

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

UMOŘOVÁNÍ DLUHU Uplatnění geometrické posloupnosti v praxi

Nejjednodušší případ, kterým se budeme zabývat v hodinách matematiky n Splácení dluhu a z něho plynoucích úroků pravidelnými, stále stejně velkými částkami, po dobu několika úrokovacích období.

Důležité pojmy: dluh n roční splátka n úroková míra n úročitel n

Dluh, ozn. D n finanční hodnota, kterou musíme splatit (umořit) za n úrokovacích obdobích Roční splátka, ozn. s n pravidelně placená částka, vždy koncem úrokovacího období Úroková míra, ozn. p n výše odměny vyjádřená v procentech Úročitel, ozn. r

Na úvod jednoduchý příklad: Za jak dlouho umoříme (splatíme) dluh 5 000, - Kč při úročení 10 % p. a. ročními anuitami (splátkami) 1 150, - Kč placenými koncem roku? Zápis: D = 5 000, - Kč p = 10 % p. a. r = 1, 1 s = 1 150, - Kč n=?

Řešení: n Jelikož se jedná o umoření a) malého dluhu (pouze 5 000, – Kč), b) příklad odpovídá té nejjednodušší matematické situaci (splátky byly placeny jednou ročně vždy na konci úrokovacího období), c) neznáme žádný obecně platný vztah pro střádání, provedeme výpočet pomocí hodnot skutečných splátek, které zapíšeme do tabulky.

rok dluh anuita (na začátku roku) Kč úrok (10%) Kč skutečná splátka Kč Kč dluh (na konci roku) Kč 1. 5 000, – (1 150, – – 500, –) = 650, – 4 350, – 2. 4 350, – (1 150, – – 435, –) = 715, – 3 635, – 3. 3 635, – (1 150, – = 786, – 2 849, – 4. 2 849, – (1 150, – – 364, –) – 285, –) = 865, – 1 984, – 5. 1 984, – (1 150, – = 952, – 1 032, – 6. 1 032, – (1 150, – – 198, –) – 103, –) = 1 047, – – 15, – Za daných podmínek umoříme dluh za necelých 6 let.

ODVOZENÍ VZORCE (umořování dluhu)

Pro názornost – řešený příklad: n = 6, s = 1 150, r = 1, 1 skutečná splátka za 1. rok 650, – Kč skutečná splátka za 2. rok 715, – Kč skutečná splátka za 3. rok 786, – Kč skutečná splátka za 4. rok 865, – Kč skutečná splátka za 5. rok 952, – Kč skutečná splátka za 6. rok 1 047, – Kč dluh je součtem jednotlivých skutečných splátek

Dluh = součet všech skutečných splátek součet n členů GP: a 1 = q = r (každý následující sčítanec – člen GP je r krát větší)

VZORCE Ze základního vzorce, který vyjadřuje velikost dluhu, jenž můžeme za n let umořit, odvodíme obecné vztahy pro výpočet velikostí veličin: Ø roční splátka, s Ø počet let, po které dluh splácíme, n

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Příklad 1: Jaký dluh umořím za 7 let pravidelnými ročními splátkami 15 000, - Kč při 25 % p. a. ? Řešení: n n = 7 let n s = 15 000, - Kč n p = 25 % p. a. r = 1, 25 n. D=?

Příklad 2: Kolik musí činit každoroční splátky, abychom zaplatili dluh 90 000, - Kč za 10 let při 21 % p. a. ? Řešení: n D= 90 000, - Kč n n = 10 let n p = 21 % p. a. r = 1, 21 ns=?

Příklad 3: Za jak dlouho umořím dluh 50 000, - Kč při 15 % p. a. pravidelnými ročními splátkami 9 000, - Kč? Řešení: n D= 50 000, - Kč n p = 15 % p. a. r = 1, 15 n s = 9 000, - Kč nn=?

Příklad 4: Za jak dlouho umořím dluh 200 000, - Kč při 17 % p. a. pravidelnými ročními anuitami 30 000, - Kč? Řešení: n D = 200 000, - Kč n p = 17 % p. a. r = 1, 17 n s = 30 000, - Kč nn=? n Musí být s 17 % z 200 000, - Kč, n tzn. s 34 000, - Kč Za daných podmínek dluh nelze splatit.

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ

1. Jaký dluh umořím za 20 let pravidelnými ročními splátkami 60 000, - Kč při a) 17 % p. a. , b) 12 % p. a. , c) 7 % p. a. ? [a) 337 666, - Kč, b) 448 167, - Kč, c) 635 641, - Kč] 2. Kolik musí činit každoroční splátky, abychom při 11 % p. a. zaplatili dluh 180 000, - Kč za a) 5 let, b) 7 let, c) 9 let? [a) 48 703, - Kč, b) 38 199, - Kč, c) 32 508, - Kč ]

3. Za jak dlouho umořím dluh 500 000, - Kč při 8 % p. a. pravidelnými ročními splátkami a) 50 000, - Kč, b) 70 000, - Kč, c) 100 000, - Kč? [a) 20 let a 11 měsíců, b) 11 let, c) 6 let a 8 měsíců] 4. Za jak dlouho umořím dluh 100 000, - Kč pravidelnými ročními splátkami 15 000, - Kč při a) 17 % p. a. , b) 12 % p. a. , c) 8 % p. a. ? [a) dluh nelze splatit, b) 14 let a 2 měsíce, c) 9 let a 11 měsíců]