Tema Probabilidad SUCESOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS Cuando realizamos

Tema : Probabilidad

SUCESOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS Cuando realizamos un experimento, diremos que es: • Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo. • Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

Sucesos • Suceso es cada posibles resultados de un experimento aleatorio • El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (E) • Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral. Pueden ser simples o compuestos • Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (ó AC), es el formado por los elementos que no están en A • Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). • Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B E espacio muestral A A’ E espacio muestral UNIÓN A B E espacio muestral INTERS. A B

PROPIEDADES DE LOS SUCESOS COMPLEMENTARIOS: Los sucesos aleatorios se pueden representar mediante un diagrama, llamado diagrama de Venn. Ejemplo A = "salir nº par"

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio “lanzar un dado” el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6} Algunos eventos: • Sacar un número impar: A={1, 3, 5} • Sacar un número primo: B={1, 2, 3, 5} • Sacar un número que no sea impar: AC={2, 4, 6} • Sacar un número primo no impar: B ∩ AC={2}

Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado” el espacio muestral es {{1, C}, {1, X}, {2, C}, {2, X}, {3, C}, {3, X}, {4, C}, {4, X}, {5, C}, {5, X}, {6, C}, {6, X}} Algunos eventos: • Sacar cruz y un número par: A={{2, X}, {4, X}, {6, X}} • Sacar cara B={{1, C}, {2, C}, {3, C}, {4, C}, {5, C}, {6, C}} • Sacar un número par D={{2, C}, {2, X}, {4, C}, {4, X}, {6, C}, {6, X}} • Sacar cara o un número par B U C= {{2, C}, {2, X}, {4, C}, {4, X}, {6, C}, {6, X}, {1, C}, {3, C}, {5, C}} • Sacar cara y un número par B ∩ C= {{2, C}, {4, C}, {6, C}}

Nociones de Probabilidad • Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimación de la probabilidad) • Teórica - “A Priori” – Pr (Ai) = n / N • n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado • N = número total de resultados posibles • Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori” – Pr (Ai) = n/N • n = número de veces que ocurrio “Ai” • N = número total de observaciones • Subjetiva – La “Opinión de un Experto”

CONCEPCIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD Ø Experimento que está sujeto al azar Ø n posibles resultados equiprobables y mutuamente excluyentes Ø n. A es la cantidad de sucesos que presentan la característica A entonces la probabilidad de que suceda A es: • Ejemplos: P(A) = n. A/n – Con una baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual que 3? 12/40=3/10 – Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar? 3/6=1/2 ¿Qué hacemos si los sucesos no son equiprobables? ¿Cómo contamos los posibles resultados de un experimento?

EN RESUMEN: Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables) Noción intuitiva: P(A) = Resultados favorables al evento A Resultados posibles Noción frecuentista: Sea P(A) = N: N° total de veces que se realiza un experimento NA: N° total de veces que ocurre A

Probabilidad Axiomática 3 Axioma 1: 3 Axioma 2: P(A) 0 P(E) = 1 E espacio muestral A Suponiendo que A 1, A 2, . . . son eventos mutuamente excluyentes (si A ∩Bj=Ø) i 3 Axioma 3: P( Ai) = P(Ai)

Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. P( ) = 0 P(A) 1 P(AC) = 1 - P(A) Si A B P(A) P(B) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Def: Diferencia de sucesos(A-B): Elementos de A que no pertenecen a B A – B = A Bc Prop. : Si A B P(B-A) = P(B) - P(A B)

Experimento Aleatorio I II 1 1 3 2 2 3 ü Se toma al azar una esfera de la urna I ü Se transfiere a la urna II, se mezclan bien. ü Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II. ü ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?

Espacio Muestral 1 Traspasar Roja # 1 II 1 1 2 2 3 3 4 5 6 1 I Traspasar Verde # 1 II 7 8 3 2 3 1 2 9 10 2 Traspasar Verde # 2 II 11 12 2 3 3 2 Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas han sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrir

Probabilidad Condicional • Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B: W Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que ha ocurrido el evento B A B Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B

Casos Probabilidad Condicional Si A B = P(A | B) = A B A A B P( ) P(A B ) = =0 P(B) P(A B ) P(A) Si A B = A P(A | B) = = = P(A) P(B) P(A B ) Si A B = B = P(A | B) = 1 P(B) B A B Si A B P(A | B) = P(B) P(A B ) P(B) –No confundáis probabilidad condicionada con intersección.

Intuir la probabilidad condicionada A A B B P(A) = 0, 25 P(B) = 1/16 P(A∩B) = 1/16 P(A) = 0, 25 P(B) = 1/16 P(A∩B) = 1/64 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1/4

• Los problema de probabilidad pueden resolverse a partir de las propiedades de los axiomas, pero además son útiles las siguientes expresiones: – P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) – P(A∩B∩C)= P(A) P(B|A) P(C|A∩B)

• Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente. Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente: P(A)=0, 9 P(B)=0, 8 P(C)=0, 7 P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) = 0, 9 + 0, 8 x 0, 7 - 0, 9 x 0, 8 x 0, 7 = 0, 956 n. Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A y 10 de tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar ¿cuál es la probabilidad de los tres sean de tipo A? Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A. P(A 1∩A 2∩A 3)= P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1∩A 2) = (20/30)(19/29)(18/28)=0, 28079

Independencia de sucesos • Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro. – A es independiente de B P(A|B) = P(A) P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Partición disjunta del espacio muestral Es una colección de sucesos A 1 A 2 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 … tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. ¿Recordáis cómo formar intervalos en tablas de frecuencias? A 1 A 3 A 4 Suceso seguro A 2 A 3 A 4

Divide y vencerás A 2 A 1 Todo suceso B, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta B = (B∩A 1) U (B∩A 2 ) U ( B∩A 3 ) U ( B∩A 4 ) B A 1 A 3 A 4 Descomponemos el problema B en subproblemas más simples. Suceso seguro B A 2 B A 3 B A 4 B

Teorema de la probabilidad total A 2 A 1 Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. P(B|A 1) B A 3 P(A 1) A 4 Suceso seguro P(A 2) P(A 3) P(A 4) A 1 P(B|A 2) A 2 A 3 A 4 P(B|A 3) B B B P(B|A 4) P(B) = P(B∩A 1) + P(B∩A 2) + P(B∩A 3) + P( B∩A 4) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)+ P(A 3) P(B|A 3) + P(A 4) P(B|A 4) B

Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta Fuman Mujer Hombre 0, 1 Fuma • ¿Qué porcentaje de fumadores hay? – P(F) = P(M∩F) + P(H∩F) 0, 7 = P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H) =0, 7 x 0, 1 + 0, 3 x 0, 2 Mujer 0, 9 No fuma Estudiante = 0, 13 =13% 0, 2 0, 3 Fuma Hombre 0, 8 • Los caminos a través de nodos representan intersecciones. • Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. No fuma

Teorema de Bayes A 2 A 1 …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. B A 3 Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces… A 4 donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B) = P(B∩A 1) + P(B∩A 2 ) + P( B∩A 3 ) + ( B∩A 4 ) = = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)+ P(A 3) P(B|A 3) + P(A 4) P(B|A 4)

Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. Fuman Mujer Hombre • Se elije a un individuo al azar y es… fumador ¿Probabilidad de que sea un hombre? 0, 7 0, 1 Mujer Fuma 0, 9 No fuma Estudiante 0, 2 0, 3 Fuma Hombre 0, 8 No fuma

Ejemplo III 1) Sean A, B sucesos de un mismo modelo de probabilidad ( , , P) tales que: P(B)=0, 4 P(A B)=0, 7 P(A/B)=0, 75 Determinar: P(AC) ; P(A-B) ; P(AC BC) ; P(A/BC)

Solución P(AC) = 1 - P(A) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = P(A/B) P(B) = 0, 75 * 0, 4 = 0, 3 P(A) = 0, 7 - 0, 4 + 0, 3 = 0, 6 P(AC) = 0, 4 P(A-B) = P(A BC) = P(A) - P(A B) = 0, 6 - 0, 3 = 0, 3 P(AC BC) = P(AC) + P(BC) - P(AC BC) = P(BC) - P(A BC) = 0, 6 - 0, 3 = 0, 3 Luego P(AC BC) = 0, 4 + 0, 6 - 0, 3 = 0, 7 P(A/BC) = P(A BC) = 0, 3 = 0, 5 P(BC) 0, 4

Ejemplo IV Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p 1 = 0, 25 ; p 2 = 0, 50 ; p 3 = 0, 25. Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10. 000 horas es 0, 1; 0, 2 y 0, 4 respectivamente para los 3 fabricantes: i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10. 000 horas. ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de 10. 000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3 er fabricante?

Solución i) P(C) = = 0, 1*0, 25 + 0, 2*0, 5 + 0, 4*0, 25 = 0, 225. ii) P(F 3/C) = P(C/F 3) P(C) = 0, 4 * 0, 25 = 0, 444. 0, 225