Tema 9 LA PROPORCIN Y ESTRUCTURAS MODULARES 3

Tema 9 LA PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS MODULARES 3º de ESO CURSO 2011 -2012 Por Rafael Q.

• Este icono significa que se trata de un ejercicio para realizar en una lámina

LA PROPORCIÓN El tamaño de los objetos Para empezar… LA PROPORCIÓN VIENE DADA POR LA RELACIÓN ENTRE LAS DIMENSIONES DE LOS OBJETOS.

LA PROPORCIÓN La razón entre dos cantidades • Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente entre ellas. La razón se puede expresar de distintas maneras. Por ejemplo, la razón entre dos segmentos de 5 y 10 centímetros se puede expresar así: - Mediante dos puntos: 5 : 10 - Mediante la preposición a: 5 a 10 - Mediante una fracción: 5/10 - Mediante una fracción equivalente: 1/2 - Con el resultado del cociente: 0, 5 - En forma de porcentaje: 50% Todas estas formas explican que en el segmento de mayor tamaño [10 cm] está contenido dos veces el segmento pequeño [5 cm].

LA PROPORCIÓN • En el caso de que dos figuras tengan la misma forma se dice que la razón entre sus medidas es siempre la misma: es constante a f b' a' b c e d c' f’ e' d' • Así, en el ejemplo, la razón entre los lados a y a' es la misma que entrelos lados b y b'. e y e', etc. Podemos establecer, pues la siguiente expresión: a/a' = b/b’ = c/c'= d/d' = e/e' = f/f’ = constante. • La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción.

LA PROPORCIÓN Proporcionalidad entre segmentos TEOREMA DE TALES a/b = c/x v u s Q N c M f M b O s t a O a/b = b/x a O O P N N X N b b b r O c s X Q d a M b r O e a M c P CUARTA PROPORCIONAL a/b = c/d = e/f r O a A B C a/x = b/x 4 a b P X 3 2 A 1´ 2´ 3´ 4´ B P a b P TERCERA PROPORCIONAL A DIVISIÓN EN PARTES IGUALES M O b MEDIA PROPORCIONAL B P B

LA PROPORCIÓN Teorema de Tales TEOREMA DE TALES • El teorema de Tales afirma que los segmentos (a, b, c, d, e, f) determinados por un haz de rectas paralelas equidistantes entre sí (t, u, v), sobre otras dos rectas que se cortan (s, r). Son proporcionales. v u s f t d b r O a c e a/b = c/d = e/f • SE EXPRESA GRÁFICAMENTE ASÍ

LA PROPORCIÓN Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales • Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es la división de un segmento en partes iguales. 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento 3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado 4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, . . . de la recta s.

LA PROPORCIÓN Teorema de la altura • • • El teorema de la altura de Euclides afirma que en un triángulo rectángulo se verifica la siguiente relación de proporcionalidad: a/x = x/b, o bien a * b = x 2 C Se dice, que la altura (x) es la media proporcional de los dos segmentos [a, b) en que se divide de la hipotenusa. Empleando este teorema, por tanto, podemos determinar gráficamente la media proporcional de dos segmentos. Dados segmentos de longitudes a y b, la media proporcional de ambos (x), es el segmento que cumple la relación a/x = x/b, o a * b = x 2 X A P a O b MEDIA PROPORCIONAL B

LA PROPORCIÓN Teorema de la altura: determinación de la media proporcional Teorema de la altura: TRAZADO A C a b En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en queda dividida la hipotenusa a x = x b B D 1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro la suma de ambos AD F x A E a B-C D b r 2. Por el punto B =C se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media proporcional buscada

LA PROPORCIÓN Sección áurea en la expresión plástica. Proporción áurea A B C D A O E B (a+b)/a=a/ b D A C M B E CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO Educación Plástica y Visual 3º ESO

LA PROPORCIÓN Sección Áurea Definición: Dados un segmento b = AC C A b a a x Se denomina Sección Aurea de dicho segmento a la división que le produce un punto B de forma que: x A B C = x b La proporción entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b

Sección Áurea: Trazado Dado un segmento, hallar su división áurea 1. Por B se traza la perpendicular a r 2. Se halla el punto medio C de AB y con centro en B y radio BC se traza un arco 3. Se unen A y D, y con centro en D y radio DB se traza un arco 4. Con centro en A y radio AE se traza otro arco. AF es la división áurea

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Entre dos figuras se puede establecer una serie de relaciones proporcionales • A’ A F F’ E’ E D D’ B C • • B’ C’ La igualdad es una de estas relaciones, cuya proporción es 1 : 1. Decimos que dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden todos sus lados y ángulos. Para construir una figura igual a otra se pueden seguir diferentes procedimientos: traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos y reproducción de coordenadas.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Educación Plástica y Visual Ahora veremos las siguientes construcciones… TRASLACIÓN COORDENADAS A’ A F 3º ESO TRIANGULACIÓN A C F’ D E’ E D B B D’ B’ D D’ B E B’ A C C’ E’ A’ C’ C GIRO COPIA DE ÁNGULOS A’ C D A’ D’ B’ B B’ C’ D’ O’ A C’ O Centro de giro

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Igualdad por Traslación • Trasladar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido recto a una misma distancia. Dada la figura ABCDEF se traza una paralela por cada uno de sus vértices. Sobre la recta que contiene al vértice A, se fija a una distancia el punto A’. Se transporta esa misma distancia sobre cada una de las paralelas, de modo queden fijados los vértices de la nueva figura igual, A’B'C’D’E'F'. A’ A F F’ E’ E D D’ B Los lados correspondientes permanecen paralelos e iguales a los de la figura inicial, C B’ C’

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Igualdad por Giro • Girar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido circular y con la misma amplitud. Como centro de giro se elige un punto cualquiera, O. • A partir de O, se traza un arco por cada uno de los vértices. • Sobre el arco que contiene al punto A, se fija una cierta amplitud de ángulo y se determina el vértice A’. • Con esa misma amplitud se transportan el resto de los vértices. • Con este procedimiento, la figura rota alrededor del centro de giro, permaneciendo constante la distancia de cada uno de sus vértices al mismo. En este caso, OA= OA’. OB= OB', y el ángulo AOA' = ángulo BOB' = ángulo COC’

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Igualdad por Triangulación • Triangular una figura consiste en descomponer su superficie en triángulos y trazar copias de los mismos. Esto es posible porque el triángulo es el polígono más simple y se puede copiar de manera sencilla. • Dada una figura ABCDE, se trazan diagonales desde un vértice, por ejemplo el A, de modo que esta quede dividida en triángulos con un vértice común. • Para construir la figura igual a la primera, se traza el lado AB', paralelo a AB. • A continuación, se trasladan con el compás las medidas del lado BC y AC, en cuya intersección estará el punto C'. De esta manera se obtiene el triángulo A’B'C', igual al ABC. • Se trasladan las medidas del lado CD y AD, reproduciendo sucesivamente todos los triángulos de la figura inicial y completando la figura AB'C‘D'E'.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Igualdad por Transporte de ángulos • Este procedimiento consiste en transportar cada ángulo de la figura dada para construir una figura igual. Dado el polígono ABCDE 1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB 2. Con centro en B’ se traza un ángulo igual al B. (con el compás) 3. Se transporta el segmento B’C’ = BC. (con el compás) 4. Se repite la operación con todos los vértices

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Igualdad por coordenadas • Los ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares A que permiten asignar a cada punto del plano dos coordenadas. Este procedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la figura inicial sobre otros ejes • Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes de coordenadas y se trazan perpendiculares a los mismos desde todos los vértices de la figura. • De este modo, se averiguan las coordenadas de cada uno de ellos. • Para dibujar la figura igual a la dada, se trasladan los ejes y se reproducen las mismas coordenadas, estos puntos serán los nuevos vértices de la figura AB'C‘D'

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Manifestaciones artísticas de la igualdad Algunas composiciones artísticas están basadas en la repetición de figuras iguales, siendo también un recurso muy utilizado en la ornamentación, el diseño gráfico y la arquitectura. • • Observa la sucesión de figuras iguales en esta composición pictórica, La finalidad de este recurso estructural es producir un efecto de homogeneidad visual.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Educación Plástica y Visual La igualdad en la expresión plástica. Figuras iguales 3º ESO ANDY WARHOL Papel de empapelar con vacas, 1965. Friso de la portada de la iglesia de San Pedro, Ojeda (Palencia), siglo XII.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza • Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos figuras, estas deben tener la misma forma; Si estas figuras tienen una orientación en el espacio contrapuesta, son simétricas y, si tienen distinto tamaño, son semejantes.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Simetría • La simetría es una relación entre dos figuras, en la que cada punto de la primera se corresponde con otro de la segunda, de modo que ambos equidistan de un eje, de un centro o de un plano de simetría.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Simetría axial • La simetría axial o respecto a un eje establece que dos puntos simétricos A y A' están situados en una misma recta perpendicular a otra, llamada eje de simetría, y son contrapuestos y equidistantes a este. • Dada la figura ABCDE, se trazan desde los vértices líneas perpendiculares al eje de simetría. • Sobre las perpendiculares trazadas se transportan medidas, de modo que las distancias de los vértices A. B, C, D y E al eje sean iguales a las distancias del eje a los vértices A', B', C', D' y E', respectivamente. • Uniendo los vértices obtenidos se construye la figura.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Simetría Central • La simetría central o respecto a un punto dispone que, dos puntos simétricos A y A' que están situados sobre una línea recta que pasa por un punto, llamado centro de simetría, equidistan de él y están contrapuestos. • Dada la figura ABCDE, se trazan rectas desde cada vértice al centro de simetría O y se prolongan. • Sobre estas rectas se transportan medidas, de modo que las distancias de los vértices A, B, C, D y E al punto O sean iguales a las distancias del punto O a los vértices A', B', C', D' y E', respectivamente. • Uniendo los vértices obtenidos se construye la figura

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Semejanza La semejanza es una relación entre figuras en la que los ángulos correspondientes de las mismas son iguales, y sus lados correspondientes, proporcionales. Se pueden obtener figuras semejantes utilizando los siguientes procedimientos.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Semejanza por Radiación • Se elige un punto O exterior a la figura y desde él se trazan rectas que pasen por los vértices de esta. • Sobre la prolongación de una recta, la que pasa por el punto A. se marca el punto A. Por A se traza un segmento AB' paralelo al lado AB. • Repitiendo la misma operación con todos lados se obtendrá la figura semejante. • Observa que se establece la proporción: AB/AB' = BC/B'C‘ = CD/C‘D‘= …

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Semejanza por radiación: (Desde un vértice) • • Dada una figura ABCDE, se elige el vértice A. y desde él se trazan rectas que pasen por los demás vértices Se sitúa un punto B' en la prolongación del lado AB, Por el punto B' se traza una paralela al lado BC, hasta cortar a la prolongación de AC en C’ A partir de él, se repite la misma operación hasta completar la figura semejante. Comprueba que se establece la proporción entre los lados: AB/A’B‘= BC/B’C‘=CD/C’D’=DE/D’E’=…

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Aplicaciones en la expresión plástica • Como ocurre con la igualdad, la simetría y la semejanza se pueden utilizar como recursos para realizar obras artísticas y estructuras arquitectónicas, ornamentales y de diseño Esta fotografía se basa en un juego de formas circulares semejantes que producen una ligera sensación de movimiento. Este anuncio publicitario de papel presenta una estructura simétrica que simplifica el recorrido visual del observador.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS Educación Plástica y Visual Simetría y semejanza en la expresión plástica. Simetría y semejanza F. ESQUINAS Laberinto, 1997. F. ESQUINAS Sin título, 1998. 3º ESO

ESCALAS Escalas • Una escala es la relación que existe entre dos figuras, una de ellas es la del dibujo y la otra, la figura real. • Se expresa mediante un cociente o razón entre las medidas del dibujo y las de la realidad: Medida del DIBUJO Escala = Medida de la REALIDAD

ESCALAS Educación Plástica y Visual 3º ESO Cuando el dibujo mide lo mismo que el objeto real, se dice que está representado a escala natural; si es más pequeño que el objeto real, se dice que está a escala de reducción, y si es mayor, a escala de ampliación. ESCALA NATURAL ESCALA DE REDUCCIÓN ESCALA DE AMPLIACIÓN ESCALA DE REDUCCIÓN

ESCALAS Escalas Gráficas • La escala gráfica es una especie de regla graduada que se construye para poder trabajar fácilmente en una escala determinada sin tener que realizar ninguna operación matemática previa. Se denominan también escalas volantes. Observa cómo se emplea una escala gráfica para poder medir la planta trazada a escala 1/75

ESCALAS Escalas Gráficas y Escalas Volantes ESCALÍMETRO Escala de ampliación 7: 4 2, 6 cm Escala de reducción 5: 8 5 cm 7 cm m 4 c 1 cm 1, 4 cm 0, 5 cm ESCALA VOLANTE Y CONTRAESCALA 8 cm

9 La proporción 10 Actividades de consolidación. Actividades REALIZA EL GIRO DE UNA FIGURA. DIBUJA UN OBJETO SIMÉTRICO. CONSTRUYE LA FIGURA SIMÉTRICA. REALIZA UNA AMPLIACIÓN A ESCALA 3: 1. Educación Plástica y Visual 3º ESO

9 La proporción Educación Plástica y Visual 11 En el Arte. Estética y proporción en la figura humana 3º ESO LEONARDO DA VINCI Las proporciones del hombre, hacia 1490. Figuras de la Isla de Pascua. LE CORBUSIER Posiciones del cuerpo humano en el espacio, 1945. LISIPO Apoxiomeno, 300 a. C.

Tema 9: parte 2/2 LA PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS MODULARES 3º de ESO CURSO 2011 -2012 Por Rafael Q.

Redes modulares • Las redes modulares son estructuras, generalmente geométricas, que permiten relacionar figuras iguales o semejantes, llamadas módulos, en una misma superficie. La red modular debe compactar el plano, es decir, cubrirlo por completo sin dejar superficies vacías EJEMPLOS: Las formadas por Triángulos y Cuadrados o derivados de estos. sí NO

Redes modulares simples • Las redes modulares simples están formadas por la repetición de una sola figura. • Además de las redes triangulares y cuadradas básicas, existen otras con distintas peculiaridades: rectangulares, quebradas, romboides, etc.

Redes modulares simples Red triangular (a=b= 60º) Quebrada Romboide Red cuadrada (a=b=90º) Deformada Irregular Red rectangular (a>b=90º) Enladrillada Escalonada

Redes modulares compuestas Las redes modulares compuestas se forman por la yuxtaposición de varias figuras geométricas regulares o por la superposición de dos o más redes simples. REDES MODULARES COMPLEJAS POR: Yuxtaposición de polígonos regulares REDES MODULARES COMPLEJAS POR: Superposición de redes simples

Redes modulares El módulo es la figura básica que se repite en las estructuras modulares. La combinación proporcionada de varios módulos sobre una red o trama da lugar a la composición modular. Cuando se combinan varios módulos básicos para formar una figura más compleja aparece un supermódulo

Redes modulares Movimientos del módulo Un módulo se puede colocar y combinar en distintas posiciones. Entre los movimientos más usuales destacan el giro y el desplazamiento, y aplicando el giro se puede llegar a situar los módulos en contraposición, es decir formando una simetría GIRO CON SIMETRÍA

Redes modulares Movimientos del módulo DESPLAZAMIENTO DE LAS CASILLAS DESPLAZAMIENTO VARIANDO EL ESPACIO ENTRE CASILLAS

Redes modulares La circunferencia en la composición modular La circunferencia es una figura que no puede compactar el espacio, al igual que el pentágono, por lo que no hay redes modulares circulares. Sin embargo, inscribiéndola en cuadrados, se utiliza como estructura para diseñar módulos, dejando los espacios libres como formas de apoyo

Redes modulares Efectos tridimensionales Como en cualquier expresión visual, en la composición modular se pueden crear sensaciones de espacio tridimensional utilizando diferentes recursos gráficos:

ACTIVIDADES ACTIVIDAD 1 ejemplos • • VISITA EL SIGUIENTE ENLACE ; Con la herramienta que encontrarás, puedes fácilmente crear una composición modular creando un supermódulo a partir de una red modular triangular. Realiza varias pruebas y envíame tu mejor diseño a la dirección de siempre

ACTIVIDADES ACTIVIDAD 2 • • VISITA EL SIGUIENTE ENLACE ; Con la herramienta que encontrarás, puedes fácilmente crear una composición modular creando un supermódulo a partir de una red modular cuadrada. Realiza varias pruebas y envíame tu mejor diseño a la dirección de siempre

ACTIVIDADES ACTIVIDAD 3 • Realiza la Actividad Nº 18 del libro de texto (unidad 9, página 168)

Bibliografía: • Educación Plástica y Visual II. Editorial SM ISBN: 9788467540017 • http: //www. educacionplastica. net • Banco de imágenes google