TEMA 7 Nmeros complejos Angel Prieto Benito Apuntes

TEMA 7 Números complejos @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

TEMA 7. 3 * 1º BCT FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

FORMA TRIGONOMÉTRICA • FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO • A partir de un número complejo en forma binómica, se calcula su módulo y su argumento para expresarle en forma polar y trigonométrica. z = a + b. i r b α a @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3

FORMA POLAR • FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO • A partir de un número complejo en forma binómica, se calcula su módulo y su argumento para expresarle en forma polar y trigonométrica. z = a + b. i r b α a @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4

Ejercicio_1 • Escribir en las 3 formas posibles el siguiente número complejo: • z=4+4√ 3 i • Calculamos el argumento: • α=arctg 4√ 3/4 = 60º • Calculamos el módulo: • |z|=√ [(4)2+(4√ 3)2] = √ 64 = 8 • En forma trigonométrica: • z=8. (cos 60º + i. sen 60º) • En forma polar: • z=860º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5

Ejercicio_2 • Escribir en las 3 formas posibles el siguiente número complejo: • z=i • Calculamos el argumento: • α=arctg 1/0 = 90º • Calculamos el módulo: • |z|=√ [(0)2+(1)2] = √ 1 = 1 • En forma trigonométrica: • z=(cos 90º + i. sen 90º) • En forma polar: • z=190º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

Ejercicio_3 • • Escribir en las 3 formas posibles el siguiente número complejo: z=6225º • • En forma trigonométrica: z=6(cos 225º + i. sen 225º) • • Calculamos a: a=6. cos 225º = 6. 0, 707 = 4, 242 • • Calculamos b: b=6. sen 225º = 6. 0, 707 = 4, 242 • • • En forma binómica: z=(a+bi) z=4, 242 + 4, 242. i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7

Ejercicio_4 • • Escribir en las 3 formas posibles el siguiente número complejo: z=3(cos 60º - i. sen 60º) • • Calculamos a: a=3. cos 60º = 3. 0, 5 = 1, 5 Calculamos b: b= - 3. sen 60º = - 3. 0, 863 = - 2, 5981 • • En forma binómica: z=1, 5 – 2, 5981. i • • Calculamos el ángulo o argumento, que no es de 60º: α=arctg -2, 5981/1, 5 = - 60º = 300º • • En forma polar: z=3300º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

TEMA 7. 4 * 1º BCT OPERACIONES EN FORMA POLAR @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

PRODUCTOS EN FORMA POLAR • PRODUCTO DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR • El producto de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos. • Demostración: @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

PRODUCTOS EN FORMA POLAR • EJEMPLO 1 • 330º. 245º = (3. 2)30º+45º = 675º • • En forma trigonométrica: En forma binómica: • EJEMPLO 2 • 4240º. 5120º = (4. 5)240º+120º = 20360º = 200º • • En forma trigonométrica: En forma binómica: @ Angel Prieto Benito z=6. (cos 75º + i. sen 75º) z=1, 5529 + 0, 1011. i z=20. (cos 0º + i. sen 0º) z=20. 1 + 20. 0. i = 20 + 0 i = 20 Apuntes 1º Bachillerato CT 11

COCIENTE EN FORMA POLAR • COCIENTE DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR • El cociente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la resta de los argumentos. • Demostración: @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 12

COCIENTES EN FORMA POLAR • EJEMPLO 1 • 830º : 260º • 830º. 260º = (8: 2)30º - 60º = 4 -30º = 4330º • • En forma trigonométrica: En forma binómica: • EJEMPLO 2 • 230º : 3300º = (2: 3)30º - 300º = (2/3)-270º = (2/3)90º • • En forma trigonométrica: En forma binómica: @ Angel Prieto Benito z=4. (cos 330º + i. sen 330º) z=3, 464 – 2. i z=(2/3). (cos 90º + i. sen 90º) z=(2/3). 0 + (2/3). 1. i = 0 + (2/3)i = (2/3)i Apuntes 1º Bachillerato CT 13