Tema 6 Clculo deductivo en lgica de primer

Tema 6. Cálculo deductivo en lógica de primer orden a. Conceptos básicos

En un tribunal inglés, un hombre llamado Home, que acusaba a un vecino de asesinato, fue procesado por calumnias. Sus palabras exactas fueron: "Sir Thomas Holt tomó un hacha y golpeó a su cocinero en la cabeza, de modo que una parte de la cabeza cayó sobre un hombro, y la otra parte sobre el otro hombro". Home fue absuelto, a indicación del tribunal; los doctos jueces declararon que sus palabras no constituían una acusación de asesinato, ya que no afirmaban que el cocinero hubiese muerto: esto era una simple inferencia. (Ambrose Bierce, Diccionario del diablo)

La deducción de primer orden • Las nociones básicas de deducción en L 1 son idénticas a las de L 0: la idea es progresar desde ciertas premisas (o, a veces, ninguna) hasta cierta conclusión aplicando determinadas reglas de inferencia. • La diferencia es que, al tener fórmulas más complejas, con nuevos símbolos, necesitaremos nuevas reglas que los involucren: esto se aplica especialmente a los cuantificadores y la identidad.

La deducción de primer orden • Es decir, el cálculo de predicados hereda todas las reglas de inferencia que empleábamos en el proposicional, y añade unas cuantas más. • Al igual que teníamos reglas de introducción y eliminación para cada conectiva, necesitaremos reglas de introducción y eliminación de los dos tipos de cuantificador. • La eliminación del cuantificador consiste en una ejemplificación. • La introducción del cuantificador es la inversa: consiste en “generalizar” desde un ejemplar

Ejemplificación (o particularización) • Una idea crucial en la deducción de primer orden es la de ejemplificación. • Ejemplificar es presentar un caso particular de una expresión cuantificada: Universal: 1. Todo el mundo es culpable 1’. Gutiérrez es culpable Existencial: 2. Alguno es culpable 2’. Gutiérrez es culpable • Nótese la diferencia: Si 1 es verdad, 1’ también lo es, pero si 2 es verdad, 2’ no tiene por qué serlo.

Ejemplificación • En términos formales, ejemplificar un cuantificador consiste en eliminar dicho cuantificador, sustituyendo todas las ocurrencias de la variable que liga, por una determinada constante individual: x. Px => Pa x(Px Qx) => Pa Qa x¬(Px Qx) => ¬(Pa Qa) OJO! xy(Px Qy) => y(Pa Qy) x¬Px => ¬Pa x. Rxx => Raa OJO! xy. Rxy => y. Ray

Ejemplificación • Un universal es como una conyunción gigante (tal vez infinita). Si afirmo: Todo número par es divisible por 2 es equivalente a afirmar: 2 es divisible por 2 y 4 es divisible por 2 y 6 es divisible por 2 y. . . y 234738 es divisible por 2 y. . . • Un existencial es como una disyunción gigante: Algún número par es primo equivale a: 2 es primo o 4 es primo o 6 es primo o. . . o 76 es primo o

Ejemplificación • Esto muestra por qué la ejemplificación de un enunciado universal se sigue siempre de dicho enunciado, mientras que la ejemplificación de un enunciado existencial no se sigue de él, es decir, no es su consecuencia lógica: De ( ) se siguen tanto como De ( ) no podemos decir que se sigue ni tampoco que se sigue ni , lo único que sabemos es que si aquella disyunción es verdadera, debe darse al menos uno de los tres, pero no sabemos cuál. Por tanto: debemos tener mucho cuidado al ejemplificar un existencial

Introducir un cuantificador • Introducir un cuantificador es la operación inversa de la ejemplificación: desde un enunciado particular obtenemos uno más general, bien porque lo extendemos a la totalidad (universal), a una parte indeterminada de ella (existencial): 1. Gutiérrez es panameño 1’ Todo el mundo es panameño 2. Gutiérrez es panameño 2’ Alguien es panameño Ahora es 2’ la que se sigue de 2, mientras que 1’ no se sigue de 1.

Introducir un cuantificador • Podemos verlo de nuevo en términos de conyunciones y disyunciones: De se sigue ( ) y por tanto también se sigue ( . . . ), que viene a equivaler a un . De no se sigue ( . . . ), que viene a equivaler a un . Por tanto: en este caso hay que tener cuidado con la introducción del universal

Resumen • Tendremos 4 casos: 1. 2. 3. 4. ELIMINACIÓN DEL UNIVERSAL INTRODUCCIÓN DEL EXISTENCIAL INTRODUCCIÓN DEL UNIVERSAL ELIMINACIÓN DEL EXISTENCIAL Los casos problemáticos son 3 y 4, de manera que comenzaremos por los menos problemáticos. Lo haremos primero de manera informal y luego formal.

1. Eliminación del universal • Consideremos esta deducción: A. Todo mayordomo es un criminal B. Adams es mayordomo Por tanto: C. Adams es un criminal ¿cómo llegamos de A a C? • Un modo informal de verlo es: (A) nos dice que si uno es mayordomo, es un criminal, así que si Adams es mayordomo, Adams es criminal (B) nos da el antecedente del condicional anterior Por tanto, (C) resulta de aplicar un modus ponens sobre ese condicional.

1. Eliminación del universal • Lo que hemos hecho es ejemplificar (A), eliminando el universal, para aplicar aquello que afirma (A) a un individuo cualquiera (dentro del dominio sobre el que hablamos) • En términos formales: 1. x(Mx Cx) Premisa 2. Ma Premisa 3. Ma Ca Eliminación del Universal 1 4. Ca MP 2, 3

1. Eliminación del universal • Consideremos otro ejemplo: A. Todo mayordomo odia a los cocineros B. Bert es mayordomo C. Carl es cocinero Por tanto, D. Bert odia a Carl • En este razonamiento seguimos la misma pauta que en el anterior, pero teniendo en cuenta que, como estamos relacionando dos grupos, necesitamos particularizar en un individuo para cada grupo. Lo que (A) dice es: si uno es mayordomo y otro es cocinero, el primero odia al segundo.

1. Eliminación del universal • Veámoslo de manera formal: 1. xy((Mx Cy) Oxy) Premisa 2. Mb Premisa 3. Cc Premisa 4. y((Mb Cy) Oby) EU 1 5. (Mb Cc) Obc EU 4 6. Mb Cc IC 2, 3 7. Obc MP 5, 6

1. Eliminación del universal • • Todo cuantificador lleva una variable. Al eliminar el cuantificador universal, miramos la fórmula que cae bajo su alcance y sustituimos las ocurrencias de la variable por una constante individual cualquiera. Sólo es factible eliminar el universal cuando el cuantificador es el “símbolo dominante” de la fórmula, i. e. , cuando el cuantificador no se aplica sólo a una parte de la fórmula. x(Px Qx) => x(Px y. Qy) => x. Px x. Qx => => y(Pb Qy) => Pa Qa Pa y. Qy Pa x. Qx INCORRECTO Pa Qa INCORRECTO Pb Qa Pb Qb

2. Introducción del existencial • Consideremos esta deducción: A. Adams es mayordomo Por tanto, B. Alguien es mayordomo • Es decir, si decimos de un individuo particular que tiene cierta propiedad P, podemos decir que hay al menos un individuo que tiene dicha propiedad: 1. Ma Premisa 2. x. Mx Introducción del Existencial 1

2. Introducción del existencial • Para introducir el existencial en una fórmula, hay que sustituir cada ocurrencia de la misma constante en dicha fórmula por una misma variable, y colocar la fórmula bajo el alcance del existencial, con la variable en cuestión: A. Bert envenena a Claire Por tanto, B. Alguien envenena a alguien Podemos hacerlo en otro orden: 1. Ebc Premisa 1 Ebc Premisa 2. x. Exc IE 1 2’ x. Ebx IE 1 3. xy. Exy IE 2 3’ yx. Eyx IE 2 3 y 3’ expresan lo mismo

2. Introducción del existencial • Al introducir cuantificador existencial, sustituimos por una variable cada aparición de la misma constante. Para constante diferente, introducimos un nuevo existencial, con una nueva variable: Pa Qa => x. Px Qx INCORRECTO Pa x. Qx => y(Py x. Qx) Pa x. Qx => y. Py x. Qx INCORRECTO Pa Qb => x(Px Qb) Pa Qb => x(Pa Qx) Pa Qb => x(Px Qx) INCORRECTO x(Px Qb) => y x(Px Qy) x(Px Qb) => x x(Px Qx) INCORRECTO

3. Introducción del universal • Consideremos esta deducción: A. Las amas de llaves son psicópatas B. Los psicópatas juegan bien al mus Llamemos Ann al ama de llaves: Por (A) sabemos que Si Ann es ama de llaves, Ann es psicópata. Concluimos que nuestra Ann es psicópata. Por (B) sabemos que si Ann es psicópata, juega bien al mus. Concluimos que Ann juega bien al mus. Por tanto, Si Ann es ama de llaves, Ann juega bien al mus. Pero lo que vale para Ann, vale para cualquier otro nombre que le hubiésemos dado. Por tanto: C. Las amas de llaves juegan bien al mus

3. Introducción del universal • 1. 2. 8. 9. En términos formales: x (Ax Px) premisa x (Px Jx) premisa 3. Aa hipótesis 4. Aa Pa EU 1 5. Pa Ja EU 2 6. Pa MP 3, 4 7. Ja MP 5, 6 Aa Ja ICd 3 -7 x (Ax Jx) IU 8 Nótese que esta deducción funciona igual sea cual sea la constante individual por la que sustituimos la x. Si en vez de a, usamos b o c nuestra conclusión no varía. Es decir, la conclusión se cumple para todo individuo del dominio.

3. Introducción del universal • Consideremos esta otra deducción: A. Antonoff es un estrangulador búlgaro Por tanto, B. Todo el mundo es un estrangulador búlgaro ? ? ? (B) es a todas luces una conclusión absurda. Sin embargo, puede ocurrir que lleguemos a ella si aplicamos mal la Introducción del Universal: 1. Ea Ba Premisa 2. x(Ex Bx) Introd. del Universal 1 ? ? ?

3. Introducción del universal • El problema es que hemos generalizado desde un caso particular. Esto nos muestra una restricción en la aplicación de la Introducción del Universal: NO DEBEMOS INTRODUCIR EL UNIVERSAL SOBRE CONSTANTES QUE APARECEN EN LAS PREMISAS • De otro modo podríamos llegar a conclusiones que no se siguen de las premisas

3. Introducción del universal • Veamos otro ejemplo: A. Los búlgaros son inquietantes Llamemos B. Antonoff a un búlgaro. Por (A) sabemos que si Antonoff es búlgaro, es inquietante. Así que Antonoff es inquietante. Y lo que vale para Antonoff, vale para cualquier otro individuo, por ejemplo, Bertoff. Así que: • Si Antonoff es búlgaro, Bertoff es inquietante? ? ? • De nuevo hemos llegado a una conclusión absurda: que Bertoff sea o no inquietante no parece tener que ver con el que Antonoff sea búlgaro

3. Introducción del universal Veamos cómo llegar formalmente a ese absurdo: El problema reside 1. x(Bx Ix) premisa únicamente en el paso 2. Ba hipótesis 5, donde hemos 3. Ba Ia EU 1 universalizado sobre un 4. Ia MP 2, 3 individuo que habíamos 5. x. Ix IU ? ? ? introducido en un supuesto (línea 2), y 6. Ib EU 5 dicho supuesto aún no 7. Ba Ib ICd 2 -7 se ha cerrado.

3. Introducción del universal • Esto nos muestra una segunda restricción en la aplicación de la Introducción del Universal: NO DEBEMOS INTRODUCIR EL UNIVERSAL SOBRE CONSTANTES QUE APARECEN EN SUPUESTOS QUE AÚN NO HAYAMOS CERRADO • Recuérdese que un supuesto sólo se puede cerrar por una Reducción al Absurdo o una Introducción del Condicional.

3. Introducción del universal • Si no podemos introducir el universal sobre constantes procedentes de premisas o de supuestos no cancelados: ¿de dónde proceden las constantes sobre las que lo introducimos? • De universales anteriores que hemos particularizado por la regla de Eliminación del Universal. • La idea general es: las conclusiones universales se obtienen desde enunciados universales

3. Introducción del universal Veamos otro ejemplo de una deducción bien hecha: A. Los mayordomos son lacónicos B. Ningún lacónico es de fiar Por tanto: C. Ningún mayordomo es de fiar 1. x(Mx Lx) prem. 2. x(Lx ¬Fx) prem. 3. Ma hip. 4. Ma La EU 1 5. La MP 3, 4. . . 6. La ¬Fa 7. ¬Fa 8. Ma ¬Fa 9. x(Mx ¬Fx) EU 2 MP 5, 6 ICd 3 -7 IU 8

4. Eliminación del existencial Consideremos esta deducción: A. Hay un matemático psicópata B. Los psicópatas son buenos bailarines Por tanto: C. Hay un matemático que es buen bailarín Un modo de razonar es el siguiente: Por (A) sabemos de la existencia de un cierto individuo que es matemático y psicópata. Llamémosle Archie. Por (B) sabemos que si Archie es psicópata, es buen bailarín. Así que Archie es un matemático buen bailarín. Es decir, concluimos la existencia de un cierto individuo con estas dos propiedades.

4. Eliminación del existencial Formalmente: 1. x(Mx Px) 2. x(Px Bx) 3. Ma Pa 4. Pa Ba 5. Pa 6. Ba 7. Ma 8. Ma Ba 9. x(Mx Bx) 10. x(Mx Bx) (EE 1) EU 2 EC 3 MP 4, 5 EC 3 IC 6, 7 IE 8 EE 1, 3 -9

4. Eliminación del existencial • La idea general de la eliminación del es: Ejemplificamos el en un individuo: esto es muy similar a introducir un supuesto o a los casos en que damos un nombre arbitrario a alguien que desconocemos: “llamemos Smith al asesino. . . ” ii) Derivamos usando nuestras reglas de inferencia. iii) Llegamos a cierta conclusión: podemos ahora sacarla fuera del supuesto (fuera de la barra), i) siempre y cuando no dependa de la elección de individuo que hagamos en el paso (i)

4. Eliminación del existencial • I. II. Hay 4 casos generales en los que la elección de individuo para ejemplificar es incorrecta: Aparece en las premisas Aparece en la conclusión a la que hemos llegado tras ejemplificar el III. Aparece en el enunciado cuyo eliminamos IV. Aparece en un supuesto, o una eliminación de que hemos iniciado, y que no hemos cancelado

4. Eliminación del existencial I. Aparece en las premisas: A. Alguien odia a Adams Supongamos que B. es Adams quien odia a Adams Por tanto, C. Alguien se odia a sí mismo 1. x. Oxa premisa 2. Oaa (EE 1) ? ? ? 3. x. Oxx. IE 2 4. x. Oxx EE 1, 2 -3

4. Eliminación del existencial II. Aparece en la conclusión a la que hemos llegado tras ejemplificar el A. Alguien es un asesino Supongamos que B. Adams es un asesino Por tanto, C. Adams es un asesino 1. x. Ax premisa 2. Aa (EE 1) 3. Aa rep 2 4. Aa EE 1, 2 -3 ? ? ? Y podríamos continuar: 5. x. Ax ¡Todos somos asesinos!

4. Eliminación del existencial III. Aparece en el enunciado cuyo eliminamos A. Alguien envenena a alguien Supongamos que B. Adams es el envenenador Supongamos que C. Adams es el envenenado Por tanto, D. Alguien se envenena a sí mismo 1. xy. Exy premisa 2. y. Eay (EE 1) 3. Eaa (EE 2) ? ? ? 4. x. Exx IE 3 5. x. Exx EE 2, 3 -4 6. x. Exx EE 1, 2 -5

4. Eliminación del existencial IV. Aparece en un supuesto no cancelado: a) una eliminación de que hemos iniciado, y que no hemos cancelado A. Alguien es presidente de EEUU B. Alguien es presidente de Rusia Sea C. Adams es presidente de EEUU Sea D. Adams es presidente de Rusia Entonces, E. Adams es presid. de EEUU y Rusia Por tanto, F. Alguien es presid. de EEUU y Rusia

4. Eliminación del existencial IV. Aparece en una eliminación de que hemos iniciado, y que no hemos cancelado 1. x. Px premisa 2. x. Rx premisa 3. Pa (EE 1) 4. Ra (EE 2) ? ? ? 5. Pa Ra IC 3, 4 6. x(Px Rx) IE 5 7. x(Px Rx) EE 2, 4 -6 8. x(Px Rx) EE 1, 3 -7

4. Eliminación del existencial IV. Aparece en un supuesto no cancelado: b) otro supuesto sin cancelar: A. Alguien es presidente de EEUU B. Todo búlgaro es europeo Supongamos que C. Adams es búlgaro Supongamos que D. Adams es presid. de EEUU Por B y C sabemos, E. Adams es europeo Por tanto, obtenemos F. Adams es presid. de EEUU y europeo Por tanto, G. Si Adams es búlgaro, alguien es presid. de EEUU y europeo

4. Eliminación del existencial IV. Aparece en otro supuesto no cancelado: 1. x. Px premisa 2. x(Bx Ex) premisa 3. Ba hipótesis 4. Pa (EE 1) ? ? ? 5. Ba Ea EU 2 6. Ea MP 3, 5 7. Pa Ea IC 4, 6 6. x(Px Ex) IE 5 7. x(Px Ex) EE 1, 4 -6 8. Ba x(Ex Rx) ICd 3 -7

Elección de individuo • La idea fundamental, tanto en la Introducción del Universal, como en la Eliminación del Existencial es QUE LA DEDUCCIÓN NO DEPENDA DE LA ELECCIÓN PARTICULAR DE INDIVIDUO QUE HEMOS EFECTUADO. • El problema no es que generalicemos desde ejemplares individuales, sino que lo hagamos desde propiedades circunstanciales de tales ejemplares.

Reglas de la identidad • • Introducción de la Identidad (reflexividad) En cualquier momento de una deducción podemos añadir como premisa que un individuo es igual a sí mismo: A. Quien sea Jack el Destripador, es cruel Por tanto, B. Jack el Destripador es cruel 1. x(x = a Cx) 2. a = a Ca 3. a = a 4. Ca premisa EU 1 II MP 2, 3

Reglas de la identidad • • Sustitución de la Identidad Si dos individuos resultan ser el mismo, las propiedades de uno se extienden al otro A. Jack el Destripador es malvado B. Jack el Destripador es el médico del rey Por tanto, C. El médico del rey es malvado 1. Ma 2. a = b 3. Mb premisa SI 1, 2

Reglas de inferencia primitivas Eliminación del universal EU x ______ [x, c] para cualquier constante individual c Introducción del existencial IE (c) _____ x [c, x] siempre que x no ocurra en la fórmula (c)

Reglas de inferencia primitivas Introducción del universal IU (c) _____ siempre que c no esté en las premisas o en un x [c, x] supuesto no cancelado Eliminación del existencial EE x [x, c] . . . ____ siempre que c no esté en , ni en las premisas, ni en un supuesto no cancelado

Reglas de inferencia primitivas Introducción de la identidad II _____ t=t para cualquier término individual Sustitución de la identidad SI c 1 = c 2 = c 1 (c 1) _______ [c 1, c 2] para cualquier ocurrencia de c 1

Reglas de inferencia derivadas • • • Tenemos ya las 6 reglas de inferencia primitivas para el cálculo deductivo de primer orden. Es decir, podemos realizar cualquier deducción con estas reglas, más todas las reglas heredadas del cálculo proposicional. Pero, como ocurría en aquel cálculo, hay una serie de reglas derivadas, que podemos obtener aplicando una secuencia de reglas primitivas y que nos permiten abreviar dicha secuencia. Veremos un ejemplo de demostración de cada regla derivada.

Eliminación del universal generalizada x 1. . . xn (x 1. . . xn) _________ [x 1. . . xn , c 1. . . cn] la constante puede ser la misma 1. xyz((Rxy Ryz) Rxz) premisa 2. yz((Ray Ryz) Raz) EU 1 [x, a] 3. z((Rab Rbz) Raz) EU 2 [y, b] 4. (Rab Rbb) Rab EU 3 [z, b] 1. xyz((Rxy Ryz) Rxz) premisa 2. (Rab Rbb) Rab EUG 1 [x, a; y/z, b]

Introducción del existencial generalizada (c 1. . . cn) _________ x 1. . . xn (x 1. . . xn) una variable distinta para cada constante distinta 1. (Pa Pb) Rab premisa 2. x((Px Pb) Rxb) IE 1[a, x] 3. yx((Px Py) Rxy) IE 2 [b, y] 1. (Pa Pb) Rab premisa 2. yx((Px Py) Rxy) IEG 1[a, x; b, y]

Equivalencias entre cuantificadores • Al hablar de formalización del lenguaje natural veíamos algunas equivalentes: Nadie es perfecto: x¬Px para cualquier x, x no es P es lo mismo que: ¬ x. Px no hay un x tal que x sea P • • Estas equivalencias no son sino instancias de la equivalencia general entre y : x expresa lo mismo que ¬ x¬ Las 4 reglas derivadas siguientes se limitan a recoger esta equivalencia.

Definición del universal por el existencial x ______ ¬ x¬ ______ x 1. x Px premisa 2. x¬Px hipótesis 3. ¬Pa (EE 2) 4. Pa EU 1 5. Pa ¬Pa IC 3, 4 6. Pa ¬Pa EE 2, 3 -5 7. ¬ x¬Px RA 2 -6 Nótese que la EE en la línea 6 aparentemente viola una restricción de la regla, dado que la constante a aparece en la primera línea de dicha EE. Pero nótese que, al obtenerse una contradicción, podría obtenerse desde ella otra contradicción cualquiera (o cualquier otra fórmula).

Definición del universal por el existencial x ______ ¬ x¬ ______ x 1. ¬ x¬Px 2. ¬Pa 3. x¬Px 4. x¬Px ¬ x¬Px 5. Pa 6. x. Px premisa hipótesis IE 2 IC 1, 3 RA 2 -4 IU 5 Nótese que la línea 2 abre una hipótesis, no una eliminación del existencial. Dicha hipótesis se cierra con una de las reglas apropiadas, en este caso la Reducción al Absurdo

Definición del existencial por el universal x ______ ¬ x¬ ______ x 1. x. Px 2. x¬Px 3. Pa 4. ¬Pa 5. Pa ¬Pa 6. Pa ¬Pa 6. ¬ x¬Px premisa hipótesis (EE 1) EU 2 IC 3, 4 EE 1, 3 -5 RA 2 -6 Nótese que el juego entre la RA y la Eliminación del Existencial es justamente el inverso a la demostración de DUE: ahora abrimos la EE dentro de la hipótesis introducida con vistas a la Reducción al Absurdo.

Definición del existencial por el universal x ______ ¬ x¬ ______ x 1. ¬ x¬Px premisa 2. ¬ x. Px hipótesis 3. Pa hipótesis 4. x. Px IE 3 5. x. Px ¬ x. Px IC 2, 4 6. ¬Pa RA 3 -5 7. x¬Px IU 6 8. x¬Px ¬ x¬Px IC 1, 7 9. x. Px RA 2 -8

Negación del existencial al universal ¬ x ______ x¬ ______ ¬ x Negación del universal al existencial ¬ x ______ x¬ ______ ¬ x En estas demostraciones se aplican estrategias similares a las 4 anteriores. Quedan como ejercicio.

Simetría de la identidad t 1 = t 2 ____ t 2 = t 1 1. a = b 2. a = a 3. b = a premisa II SI 1, 2 c 1 = c 2 (c 1) Nótese que la regla de sustitución de la identidad no supone que sustituyamos todas las ocurrencias de la constante. En este caso nos limitamos a sustituir la a marcada en rojo.

Transitividad de la identidad t 1 = t 2 = t 3 ____ t 1 = t 3 1. a = b 2. b = c 3. a = c premisa SI c 2 = c 1 (c 1) 1, 2 La transitividad no es más que un caso especial de la sustitución de la identidad. Recuérdese que el igualador no es sino un predicado binario “especial”