Tema 4 POLINOMIOS Tema 4 Polinomios 1 Tema

Tema 4 POLINOMIOS Tema 4 Polinomios 1

Tema 4 POLINOMIOS 2 El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones. Lenguaje ordinario El triple de un número Lenguaje algebraico 3 x El cuadrado de la suma de dos números (a + b)2 Dos números naturales consecutivos n, n + 1 Hoy tengo 15 años. ¿Cuántos años tendré cuando pasen x años? Hoy tengo 15 años. ¿Cuántos años tenía hace y años? Un número par Área del triángulo de base b y altura h 15 + x 15 – y 2 n b·h 2

Tema 4 POLINOMIOS 3 Variables en Álgebra Una variable es una letra que se utiliza para representar uno o más números. Los números son los valores de la variable. Una expresión variable o expresión algebraica es una colección de números, de variables y de operaciones. Aquí están algunos ejemplos. EXPRESIÓN 8 y 8 • y 8(y) 16 b 16 : b SIGNIFICADO 8 veces y 16 dividido por b OPERACIÓN Multiplicación División 4+s 4 más s Suma 9–x 9 menos x Resta

Tema 4 POLINOMIOS 4 En las operaciones algebraícas letras representan números. Las propiedades de las operaciones con números siguen siendo válidas Suma Producto (a + b) + c = a + (b + c) (a · b)· c = a ·(b · c) Conmutativa a+b=b+a a·b=b·a Distributiva a·(b + c) = a·b + a·c (a + b)·c = a·c + b·c Asociativa El producto de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y por exponente la suma de los exponentes. ap · aq = ap+q El producto de potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo. ap · bp = (a·b)p La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes. (ap)q = ap·q

Tema 4 POLINOMIOS • Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. • Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. • Si a y b son las medidas de los lados de un rectángulo, 2 a + 2 b es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo. • Su valor numérico para a = 3 y b = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones: 2. 3 + 2. 2 = 10 b a 5

Tema 4 POLINOMIOS 6 Valor numérico de una expresión algebraica Sustituir cada una de las variable en una expresión por un número se llama evaluar la expresión. El número que resulta es el valor numérico de la expresión. EJEMPLO Valor numérico de una expresión algebraica Evalúa la expresión cuando y = 2. a. 8 y b. 10 c. y + 3 y d. 14 – y SOLUCIÓN a. 8 y = 8(2) = 16 Sustituye 2 por y. Simplifica. c. y + 3 = 2 + 3 =5 b. Sustituye 2 por y. Simplifica. d. 14 – y = 14 – 2 = 12 =5 Sustituye 2 por y. Simplifica.

Tema 4 POLINOMIOS EJEMPLO Evaluar una expresión geométrica El perímetro de un triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados: a + b + c. Calcula el perímetro del triángulo de la figura. SOLUCIÓN Perímetro = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40 Escribe la expresión. Sustituye los valores. Simplifica. El triángulo tiene un perímetro de 40 7

Tema 4 POLINOMIOS 8 l l Área del cuadrado: A = l 2 EJEMPLO l Volumen del Cubo: V = l 3 Calcular el volumen El acuario tiene forma de cubo. Cada arista mide 2, 5 dm. Calcula el volumen del acuario. SOLUCIÓN V=l 3 Escribe la fórmula del volumen. = 2, 53 Sustituye 2. 5 por l. = 15. 625 El volumen del acuario es 15, 625 dm 3.

Tema 4 POLINOMIOS Monomios • Un monomio es una expesión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y potenciación de exponente natural. • El grado de un monomio respecto a una letra es su exponente. • El grado de un monomio es la suma de sus exponentes. Grado respecto de la letra x Grado respecto de la letra y 8 x 2 y 5 El grado de este monomio es 2 + 5 = 7 Llamamos coeficiente de un monomio a su parte numérica y parte literal al resto del monomio Grado – 5 x 3 Coeficiente Parte literal 9

Tema 4 POLINOMIOS Monomios: suma y diferencia • Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. • La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante. 12 x 2 y – 3 x 2 y + 6 x 2 y = (12 – 3 + 6)x 2 y = 15 x 2 y 5 x 2 + 7 xz = 5 x 2 + 7 xz No son semejantes. No se pueden agrupar 12 x 2 y – 3 x 2 y + 6 x 2 y + 5 x 2 + 7 xz = 15 x 2 y + 5 x 2 + 7 xz 10

Tema 4 POLINOMIOS 11 Interpretación de la suma de monomios Semejantes x 5 x + 5 No semejantes x 5 x 5+3 3 5 x 3 x = x 5 y + y 2 8 x = y x 5 x + y 2

Tema 4 POLINOMIOS 12 Producto y cociente de monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene: – como coeficiente, el producto de los coeficientes. – como parte literal, las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la suma de los exponentes con que figura en los factores. x 3 · x 5 = x 3 +5 = x 8 5 x 2 · 7 x 4 = 5 · x 2 · 7 · x 4 =35 x 6 – 2 xy 2 · 5 x 2 y 3 · 3 xt = (– 2 · 5 · 3) (x · x 2 · x) (y 2 · y 3) t =– 30 x 4 y 5 t El cociente de dos monomios existe siempre que el grado del monomio dividendo sea mayor o igual que el del monomio divisor. El resultado es otro monomio con coeficiente el cociente de los coeficientes y grado la diferencia de los grados. 2 x 3 : x 3 = 2 x 3– 3 = 2. 5 x 4 : 2 x = 5 x 4– 1 = 5 x 3. 2 2

Tema 4 POLINOMIOS 13 1. Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios. Los monomios que lo forman se llaman términos del polinomio. Los polinomios en los que sólo aparece una letra o variable los designaremos con letras mayúsculas indicando entre paréntesis la variable. Por ejemplo P(x) = 5 x 7 – 4 x 3 + 5 es un polinomio en la variable x. Decimos que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. P(x) = 2 x 3 + 3 x 3 – 3 x 2 + 5 x 2 – 1 se puede reducir sumando sus monomios semejantes P(x) = 5 x 3 + 2 x 2 – 1

Tema 4 POLINOMIOS Los polinomios se escriben generalmente con los términos puestos en orden descendente, del grado más grande al grado más pequeño. El grado de cada término de un polinomio es el exponente de la variable. El grado se un polinomio es el mayor grado de sus términos. El término independiente de un polinomio es el monomio de grado cero (es decir, el número que va sin letra). Grado: 3 Término independiente: 7 2 x 3 + 5 x 2 – 4 x + 7 14

Tema 4 POLINOMIOS Un polinomio de grado n es completo si contiene todos los monomios de grado inferior a n. Es ordenado si los monomios están escritos de mayor a menor grado, o al revés; P(x) = x 5 + x no es completo, sí ordenado. P(x) = 5 x 3 – 2 x 2 + 6 x – 8 es completo y ordenado. El polinomio opuesto de P(x), representado por –P(x), se obtiene cambiando de signo todos los coeficientes de P(x) = 5 x 3 – 2 x 2 + 6 x – 8 Polinomio opuesto: –P(x) = – 5 x 3 + 2 x 2 – 6 x + 8 15

Tema 4 EJEMPLO POLINOMIOS Identificar coeficientes de polinomios Identifica los coeficientes de – 4 x 2 + x 3 + 3. SOLUCIÓN. Primero escribe el polinomio en forma ordenada. Escribe cada grado, aunque debas utilizar un coeficiente cero. – 4 x 2 + x 3 + 3 = (1)x 3 + (– 4)x 2 + (0)x + 3 Los coeficientes son 1, – 4, 0, y 3. 16

Tema 4 POLINOMIOS 17 Un polinomio con solamente un término se llama monomio. Un polinomio con dos términos se llama binomio. Un polinomio con tres términos se llama trinomio. EJEMPLO POLINOMIO Clasificar polinomios GRADO CLASIFICADO POR Nº DE TÉRMINOS a) 6 0 constante monomio b) – 2 x 1 lineal monomio c) 3 x + 1 1 lineal binomio d) –x 2 + 2 x – 5 2 cuadrático trinomio e) 3 cúbico binomio 4 cuártico polinomio 4 x 3 – 8 x f) 2 x 4 – 7 x 3 – 5 x + 1

Tema 4 POLINOMIOS Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio P(x) para un valor de la variable x = a se obtiene sustituyendo x por a y operando. El valor numérico del polinomio P(x) = 2 x 3 – 3 x 2 + 1 para x = 2 se obtiene sustituyendo x por 2 y operando. Se expresa P(2) y su valor es: P(x) = 2 x 3 – 3 x 2 + 1 P(2) = 2· 23 – 3· 22 + 1 = 16 – 12 + 1 = 5 18

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Tema 4 POLINOMIOS 20 2. Suma y resta de polinomios Para sumar o para restar dos polinomios, sumar o restar los términos semejantes. Puedes utilizar un formato vertical o un formato horizontal. EJEMPLO Sumar polinomios Hallar la suma. Escribir la respuesta en forma ordenada. a. (5 x 3 – x + 2 x 2 + 7) + (3 x 2 + 7 – 4 x) + (4 x 2 – 8 – x 3) b. (2 x 2 + x – 5) + (x + x 2 + 6) SOLUCIÓN. a. Formato vertical: Escribir cada expresión en forma ordenada. Alinear los términos semejantes. 5 x 3 + 2 x 2 – x + 7 3 x 2 – 4 x + 7 –x 3 + 4 x 2 – 8 4 x 3 + 9 x 2 – 5 x + 6 b. Formato horizontal: Sumar los términos semejantes. (2 x 2 + x – 5) + (x + x 2 + 6) = (2 x 2 + x 2) + (x + x) + (– 5 + 6) = 3 x 2 + 2 x + 1

Tema 4 POLINOMIOS EJEMPLO 21 Restar polinomios Halla las restas: a. (– 2 x 3 + 5 x 2 – x + 8) – (– 2 x 3 + 3 x – 4) b. (x 2 – 8) – (7 x + 4 x 2) c. (3 x 2 – 5 x + 3) – (2 x 2 – x – 4) SOLUCIÓN. a. Utilizar un formato vertical. Para restar, sumas el opuesto. Esto significa que puedes multiplicar cada término en el polinomio restado por – 1 y sumar. – 2 x 3 + 5 x 2 – x + 8 (– 2 x 3 + 5 x 2 – x + 8) – (– 2 x 3 + 3 x – 4) Suma el opuesto + 2 x 3 – 3 x + 4 5 x 2 – 4 x + 12

Tema 4 POLINOMIOS EJEMPLO 22 Restar polinomios Halla las restas: a. (– 2 x 3 + 5 x 2 – x + 8) – (– 2 x 3 + 3 x – 4) b. (x 2 – 8) – (7 x + 4 x 2) c. (3 x 2 – 5 x + 3) – (2 x 2 – x – 4) SOLUCIÓN. b. (x 2 – 8) – (7 x + 4 x 2) x 2 Suma el opuesto – 8 + – 4 x 2 – 7 x – 3 x 2 – 7 x – 8 c. Utilizar un formato horizontal. (3 x 2 – 5 x + 3) – (2 x 2 – x – 4) = 3 x 2 – 5 x + 3 – 2 x 2 + x + 4 = (3 x 2 – 2 x 2) + (– 5 x + x) + (3 + 4) = x 2 – 4 x + 7

Tema 4 POLINOMIOS 3. Multiplicación de Polinomios Ya sabemos cómo multiplicar un polinomio por un monomio usando la propiedad distributiva. (3 x)·(2 x 2 – 5 x + 3) = (3 x)(2 x 2) + (3 x)(– 5 x) + (3 x)(3) = 6 x 3 – 15 x 2 + 9 x En la actividad siguiente, verás cómo un modelo de áreas ilustra la multiplicación de dos binomios. 23

Tema 4 POLINOMIOS Actividad Multiplicación de dos binomios El rectángulo mostrado en la derecha tiene una anchura de (x + 2) y una altura de (2 x + 1). 1 Copia el modelo. ¿Cuál es el área de cada parte del rectángulo? 2 Halla el producto de (x + 2) y (2 x + 1) por suma de las áreas de las piezas para conseguir una expresión para el área total. 3 Copia y completa la igualdad: (x + 2) (2 x + 1) = ? 4 Utilizar un modelo del área para multiplicar (x + 3) y (2 x + 4). 24

Tema 4 POLINOMIOS 25 Otra manera de multiplicar dos binomios es utilizar la propiedad distributiva dos veces. Primero: (a + b)·(c + d) = a(c + d) + b(c + d). Entonces: a(c + d) = ac + ad y b(c + d) = bc + bd. Esto demuestra que (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd. Esta propiedad se puede también aplicar a los binomios de la forma a – b o c – d. EJEMPLO Propiedad distributiva Halla el producto (x + 2)(x – 3). SOLUCIÓN (x + 2) (x – 3) = x(x – 3) + 2(x – 3) (b + c)a = ba + ca = x 2 – 3 x + 2 x – 6 a(b – c) = ab – ac = x 2 – x – 6 Combina términos semejantes.

Tema 4 POLINOMIOS 26 Cuando multiplicas dos binomios, puedes recordar los resultados dados por la propiedad distributiva (3 x + 4)·(x + 5) = 3 x 2 + 15 x + 4 x + 20 = 3 x 2 + 19 x + 20 EJEMPLO Multiplicar binomios (3 x – 4)(2 x + 1) = 6 x 2 + 3 x – 8 x – 4 Simplifica. = 6 x 2 – 5 x – 4

Tema 4 POLINOMIOS Multiplicar polinomios verticalmente EJEMPLO Halla el producto (x – 2)(5 + 3 x – x 2). SOLUCIÓN Alinea los términos en columnas. –x 2 + 3 x + 5 x– 2 2 x 2 – 6 x – 10 –x 3 + 3 x 2 + 5 x –x 3 + 5 x 2 – x – 10 Forma ordenada – 2(–x 2 + 3 x + 5) x(–x 2 + 3 x + 5) Combina términos semejantes. 27

Tema 4 POLINOMIOS EJEMPLO Multiplicar polinomios horizontalmente Halla el producto (4 x 2 – 3 x – 1)(2 x – 5). SOLUCIÓN Multiplica 2 x – 5 por cada término de 4 x 2 – 3 x – 1. (4 x 2 – 3 x – 1)(2 x – 5) = 4 x 2(2 x – 5) – 3 x(2 x – 5) – 1(2 x – 5) = 8 x 3 – 20 x 2 – 6 x 2 + 15 x – 2 x + 5 = 8 x 3 – 26 x 2 + 13 x + 5 28

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Tema 4 POLINOMIOS 30 4. Productos notables de polinomios Algunos pares de binomios tienen productos especiales. Si aprendes a reconocer estos pares, encontrar el producto de dos binomios será a veces más rápido y más fácil. Actividad 1 Productos notables de binomios Calcula los siguientes productos: 1. (x – 2)(x + 2) (2 n + 3)(2 n – 3) (4 t – 1)(4 t + 1) (x + y)(x – y) 2 2. (x + 3)2 (3 m + 1)2 (5 s + 2)2 (x + y)2 3. (z – 2)2 (6 x – 4)2 (5 p – 7)2 (x – y)2 Describe cualquier patrón que veas en cada grupo.

Tema 4 POLINOMIOS PRODUCTOS NOTABLES SUMA POR DIFERENCIA (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 Ejemplo: (3 x – 4)(3 x + 4) = 9 x 2 – 16 CUADRADO DE UNA SUMA (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 Ejemplo: (x + 4)2 = x 2 + 8 x + 16 CUADRADO DE UNA DIFERENCIA (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2 Ejemplo: (2 x – 6)2 = 4 x 2 – 24 x + 36 31

Tema 4 POLINOMIOS El modelo de áreas mostrado en la figura da una representación geométrica del cuadrado de una suma (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2. El área del cuadrado grande es (a + b)2, que es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños y los dos rectángulos. Observa que los dos rectángulos con área ab producen el término medio 2 ab. 32

Tema 4 POLINOMIOS EJEMPLO 33 Suma por diferencia Halla el producto (5 t – 2)(5 t + 2). SOLUCIÓN (a – b)(a + b) = a 2 – b 2 Escribe la fórmula. (5 t – 2)(5 t + 2) = (5 t)2 – 22 Aplica la fórmula. = 25 t 2 – 4 Simplifica. COMPRUEBA. Haz la multiplicación: (5 t – 2)(5 t + 2) = (5 t) + (5 t)(2) + (– 2)(5 t) + (– 2)(2) = 25 t 2 – 4 Multiplica. Simplifica.

Tema 4 POLINOMIOS EJEMPLO 34 Cuadrado de un binomio Halla los productos. a) (3 n + 4)2 b) (2 x – 7 y)2 SOLUCIÓN a) (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 (3 n + 4)2 = (3 n)2 + 2(3 n)(4) + 42 = 9 n 2 + 24 n + 16 Escribe la fórmula. Aplica la fórmula. Simplifica. b) (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2 (2 x – 7 y)2 = (2 x)2 – 2(2 x)(7 y) + (7 y)2 = 4 x 2 – 28 xy + 49 y 2 Escribe la fórmula. Aplica la fórmula. Simplifica.

Tema 4 POLINOMIOS 35 Los productos notables pueden ayudar a calcular algunas multiplicaciones mentalmente. Aplicación al cálculo mental EJEMPLO Utiliza cálculo mental para hallar los productos. a) 17 • 23 b) 292 SOLUCIÓN a) 17 • 23 = (20 – 3)(20 + 3) = 400 – 9 = 391 b) 292 = (30 – 1)2 = 900 – 60 + 1 = 841 Escribe como suma por diferencia. Aplica la fórmula. Escribe como cuadrado de una diferencia. Aplica la fórmula.

Tema 4 POLINOMIOS Actividad 36 Modelizar la Factorización de (ax)2 + 2 abx + b 2 1 Utilizar azulejos algebraicos para modelizar x 2 + 6 x + 9. 2 Disponer los azulejos para formar un cuadrado. 3 La longitud de cada lado del cuadrado es ? . Por tanto: x 2 + 6 x + 9 = (? )·(? ) = (? )2

Tema 4 POLINOMIOS Factorización usando productos notables Las fórmulas de los productos notables se pueden utilizar para factorizar polinomios. FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES DIFERENCIA DE CUADRADOS a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) Ejemplo: 9 x 2 – 16 = (3 x + 4)(3 x – 4) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 Ejemplo: x 2 + 8 x + 16 = (x + 4)2 a 2 – 2 ab + b 2 = (a – b)2 Ejemplo: 4 x 2 – 24 x + 36 = (2 x – 6)2 37

Tema 4 POLINOMIOS Factorizar la diferencia de cuadrados EJEMPLO a. m 2 – 4 = m 2 – 2 2 = (m + 2)(m – 2) Escríbelo como a 2 – b 2. Factoriza usando la fórmula. b. 4 p 2 – 25 = (2 p)2 – 52 = (2 p + 5)(2 p – 5) c. 50 – 98 x 2 = 2(25 – 49 x 2) Escríbelo como a 2 – b 2. Factoriza usando la fórmula. Saca factor común 2. = 2[52 – (7 x)2] Escríbelo como a 2 – b 2. = 2(5 + 7 x)(5 – 7 x) Factoriza usando la fórmula. 38

Tema 4 EJEMPLO POLINOMIOS 39 Factorizar un trinomio cuadrado perfecto a. x 2 – 4 x + 4 = x 2 – 2(x)(2) + 22 = (x – 2)2 Escríbelo como a 2 – 2 ab + b 2. Factoriza usando la fórmula. b. 16 y 2 + 24 y + 9 = (4 y)2 + 2(4 y)(3) + 32 Escríbelo como a 2 + 2 ab + b 2. = (4 y + 3)2 c. 3 x 2 – 30 x + 75 = 3(x 2 – 10 x + 25) Factoriza usando la fórmula. Saca factor común 3. = 3[x 2 – 2(x)(5) + 52] Escríbelo como a 2 – 2 ab + b 2. = 3(x – 5)2 Factoriza usando la fórmula.

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Tema 4 POLINOMIOS 41 EJERCICIOS Factoriza las expresiones: 1. x 2 – 9 4. 16 – t 2 2. t 2 + 10 t + 25 5. 6 y 2 – 24 3. w 2 – 16 w + 64 6. 18 – 2 z 2 Diferencia de cuadrados. Factoriza las expresiones: 7. n 2 – 16 10. 60 y 2 – 540 13. w 2 – y 2 8. 100 x 2 – 121 11. 16 – 81 r 2 14. 9 t 2 – 4 q 2 9. 6 m 2 – 150 12. 98 – 2 t 2 15. – 28 y 2 + 7 t 2 Cuadrados perfectos. Factoriza las expresiones: 16. 19. 22. 25. x 2 + 8 x + 16 b 2 – 14 b + 49 25 n 2 – 20 n + 4 48 y 2 – 72 xy + 27 x 2 17. 20. 23. 26. x 2 – 20 x + 100 9 x 2 + 6 x + 1 36 m 2 – 84 m + 49 – 16 w 2 – 80 w – 100 18. 21. 24. 27. y 2 + 30 y + 225 4 r 2 + 12 r + 9 18 x 2 + 12 x + 2 – 3 k 2 + 42 k – 147

Tema 4 POLINOMIOS 5. División de Polinomios Para dividir un polinomio por un monomio, dividir cada término por el monomio, guardando los mismos signos entre los términos. Simplificar cada fracción. Actividad División de polinomios 1 Con un compañero, discutir cómo conseguir del problema original de la división la expresión simplificada: 2 Explicar cómo podrías utilizar la multiplicación para comprobar eso: 42

Tema 4 EJEMPLO POLINOMIOS 43 Dividir un polinomio por un monomio Divide 12 x 2 – 20 x + 8 por 4 x. SOLUCIÓN Divide cada término del numerador por 4 x. Halla factores comunes. Divide por el factor común. Forma simplificada

Tema 4 POLINOMIOS 44 Puedes utilizar la división larga de polinomios para dividir los polinomios que no tienen factores comunes. Primero recuerda el proceso para la división larga en aritmética. EJEMPLO Divide 658 por 28 658 56 98 84 El algoritmo de la división 14 Divide 12 x 2 – 20 x + 8 por 4 x. SOLUCIÓN 12 x 2 – 20 x + 8 12 x 2 – 20 x 4 x 3 x – 5 Cociente +8 Resto 12 x 2 = 3 x 4 x – 20 x = – 5 4 x 28 23

Tema 4 POLINOMIOS 45 Dividir polinomios EJEMPLO Divide x 2 + 2 x + 4 por x – 1. SOLUCIÓN Para restar (–x) de 2 x, sumas x. x 2 + 2 x + 4 x 2 – x 3 x + 4 3 x – 3 7 x– 1 x +3 x 2 1. Piensa: =x x 2. Resta x(x – 1). 3. Baja + 4. Piensa: 3 x = 3 x 4. Resta 3(x – 1). 5. El resto es 7. Dividendo: x 2 + 2 x + 4 Divisor: x – 1 Cociente: x + 3 Resto: 7 Puedes comprobar que se cumple la regla de la división: Dividendo = divisor · Cociente + Resto

Tema 4 POLINOMIOS EJEMPLO Dividir polinomios Divide 6 x 2 – 11 por x + 2. Primero completa el polinomio dividendo con el término 0 x: 6 x 2 – 11 = 6 x 2 + 0 x – 11. SOLUCIÓN 6 x 2 + 0 x – 11 6 x 2 + 12 x x+2 6 x – 12 x – 11 – 12 x – 24 13 Dividendo: 6 x 2 – 11 Divisor: x + 2 Cociente: 6 x – 12 Resto: 13 6 x 2 1. Piensa: = 6 x x 2. Resta 6 x(x + 2). 3. Baja – 11. Piensa: – 12 x = – 12 x 4. Resta – 12(x + 2). 5. El resto es 13. 46

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