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TEMA 4. - MATEMÁTICAS. 1. - Introducción. 2. - Ámbitos del conocimiento matemático. 2. 1. - Concepto de número. 2. 2. - Operaciones aritméticas básicas. 2. 3. - Resolución de problemas. 3. - Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. 3. 1. - Dificultades en áreas específicas. 3. 2. - Dificultades en la resolución de problemas. 4. - Evaluación. 5. - Intervención 5. 1. - Principios generales de intervención. 5. 2. - Métodos de enseñanza. 5. 3. - Cambio de actitudes. 5. 4. - Enseñanza de conceptos y de procedimientos

1. - Introducción. Las matemáticas es uno de los conocimientos más antiguos que el ser humano ha estudiado e investigado y están presentes en todos los ámbitos de nuestra vida cotidiana. Aprender matemáticas es importante porque: v Son un medio de comunicación: son un lenguaje. v Son importantes para otros campos del conocimiento. v Contribuyen, junto con otras materias, al desarrollo del pensamiento lógico y a la precisión y visión espacial. v Suscitan un interés intrínseco en muchas personas. Aunque es uno de los conocimientos más valorados en nuestra sociedad también es uno de los más inaccesibles para los alumnos. Los índices de fracaso son altos, sobre todo en los años de escolaridad. Las primeras dificultades surgen durante la adquisición de las nociones básicas que son imprescindibles para la compresión del número como son: clasificación, seriación, correspondencia, valor cardinal, reversibilidad, etc.

Los modelos cognitivos son actualmente los que dan una explicación más satisfactoria de cómo se aprenden las matemáticas. Se pueden dividir en: Modelos de comprensión: analizan cómo se traducen los enunciados de un problema en representaciones mentales. Modelos de procesos: identifican los pasos o procesos que da una persona para realizar una operación matemática bien definida (v. gr. , una división) Modelos de estrategias: estudian la forma de escoger, controlar y alcanzar las metas en la resolución de actividades cognitivas complejas (v. gr. , un problema de geometría) Modelos de esquemas: describen el modo de seleccionar e integrar la información en representaciones coherentes.

2. - Ámbitos del conocimiento matemático. El conocimiento matemático se organiza de forma jerárquica siguiendo una lógica que le dota de gran coherencia. Los ámbitos son tres: 1. - Numeración. 2. - Aritmética. 3. - Resolución de problemas. De ellos nos ocuparemos en los apartados siguientes. 2. 1. - Concepto de número. El concepto de número es una abstracción que se forma lentamente en el niño a través de diversas experiencias. Para su elaboración se requieren dos condiciones psicológicas (operaciones lógico-matemáticas: la conservación del todo y la seriación de los elementos.

Se da la conservación cuando el niño llega a la certeza de que el todo es un conjunto de partes que se pueden distribuir cómo se quiera. Para que haya conservación tiene que haber reversibilidad del pensamiento, es decir, el niño tiene que descentrarse de uno de los puntos de vista (el todo y las partes) para adaptar el otro (las partes y el todo) La segunda condición es la seriación: el número se construye en la media en que los elementos de la serie son concebidos a la vez como “equivalentes y no equivalentes”: Significa que los elementos se pueden seriar siendo cada término de la serie semejante a los demás y diferente por el lugar que ocupa en dicha serie (una cantidad es simultáneamente superior a una primera e inferior a una segunda)

El conteo es un proceso cognitivo complejo que sirve de base a la adquisición de habilidades numéricas posteriores. Para su desarrollo, el niño tiene que adquirir (además de la condiciones psicológicas) cinco principios de naturaleza cognitiva: 1. - Correspondencia 1 (biunívoca): en el conteo a un objeto le corresponde un solo número y viceversa. 2. - Orden estable de la secuencia numérica: el conteo sigue un orden determinado (v. gr. , 1, 2, 3, 4, 5…) 3. - Principio de cardinalidad: el último número de la secuencia representa no sólo el elemento situado en la última posición sino también el conjunto formado por todos los elementos. 4. - Orden irrelevante: los elementos se pueden contar de izquierda a derecha o al revés sin que esto afecte al resultado del conteo. 5. - El principio de abstracción: permite contar tanto objetos homogéneos como heterogéneos, sin que se altere el resultado.

Además de los principios, para el conteo es necesario: a. - percibir visualmente una cantidad. b. - evocar el símbolo correspondiente. c. - realizar el grafismo de dicho símbolo (representación motora del número) Para que la numeración no se aprenda mecánicamente es imprescindible que el niño comprenda desde el inicio del aprendizaje conceptos como unidades, decenas, centenas, el valor posicional de los números dentro de las cifras, etc. Para ello, antes del aprendizaje de las representaciones gráficas de los números es aconsejable que: § El niño manipule objetos formando cantidades (v. gr. , fichas)

2. 3. - Operaciones aritméticas básicas. Son la suma, resta, multiplicación y división. A la hora de introducirlas hay que prestar atención al vocabulario. Los niños deben saber conceptos como juntar y separar antes que sumar y restar. El aprendizaje de las operaciones debe seguir el orden de dificultad que presente cada una de ellas. Primero se suman unidades, después decenas sin llevar, llevando, etc. Después se pasa a la resta, la multiplicación y por último la división. Las operaciones no se realizan si no se comprenden. Por ello el niño debe entender que: Ø La suma es esencialmente una operación de reunión. Ø La resta es compleja, ya que sirve para calcular una diferencia, una comparación y la parte desconocida de una suma (lo contrario de sumar) Ø La multiplicación es una suma abreviada de números iguales. Ø La división corresponde a dos acciones diferentes: una partición y una distribución.

El mecanismo de las operaciones implica la noción de espacio y orientación: los números se escriben de izquierda a derecha pero las operaciones se calculan de derecha a izquierda. 2. 3. - Resolución de problemas. Los problemas matemáticos se representan de distinta manera: Problemas de cambio: Alberto tiene 7 caramelos. María le da 3 caramelos más. ¿Cuántos caramelos tiene ahora Alberto? Problemas de combinación: Antonio tiene 5 caramelos y María 8. ¿Cuántos caramelos tiene entre los dos? Problemas de comparación: Elena tiene 6 caramelos. Sergio tiene 3 caramelos más que Elena. ¿Cuántos caramelos tiene Sergio?

El esquema de estos problemas sería el siguiente: PROBLEMAS DE CAMBIO Estado inicial Cambio PROBLEMAS DE COMBINACIÓN Parte Todo Estado final PROBLEMAS DE COMPARACIÓN Conjunto grande Conjunto pequeño Diferenc.

La representación de los problemas proporciona una base para su comprensión y facilita: q El establecimiento de relaciones entre los términos del enunciado. q La selección del procedimiento para resolverlo. Esto evita que los problemas se asocien a la idea de número, de operación, por no al de búsqueda: lo más importante de los problemas no son los datos sino la relación que hay que establecer entre ellos para llegar a la solución correcta. Por lo que respecta al conocimiento para solucionar un problema, éstos son: a. - conocimiento lingüístico: interviene en la traducción del problema. b. - conocimiento general acerca del mundo y conocimiento de esquemas: interviene en la fase de integración de los datos del problema. c. - conocimiento estratégico o de análisis medios-fines: necesario para la planificación de la resolución. d. - conocimiento operativo o del procedimiento (v. gr. , cómo sumar): interviene en la fase de ejecución.

3. - Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. No existe una definición clara y precisa que englobe todos los trastornos o dificultades en el aprendizaje de las matemáticas (DAM) Aquí nos referiremos a DAM cómo a todos aquellos alumnos que no llegan al dominio de ciertas formas de pensamiento matemático o que encuentran grandes dificultades para alcanzar los objetivos que establece el currículum escolar. Las dificultades más importantes son: § No establecer la asociación número-objetos. § No comprender que un sistema de numeración está formado por grupos iguales de unidades que dan lugar a unidades de orden superior. § No comprender el valor posicional de las cifras dentro de una cantidad. § No descubrir la relación de los números en una serie. § Mostrar alteraciones en la escritura de números (omisiones, confusiones, reiteraciones, números en espejo, etc. ) § Manifestar dificultades en la estructura espacial de las operaciones o en la comprensión de las acciones correctas que debe realizar. § Confundir los signos.

§ No conocer las operaciones necesarias para resolver un problema. § No considerar los datos de un problema u operar con ellos sin tener en cuenta el resultado. 3. 1. - Dificultades en áreas específicas. Existen 8 áreas específicas: numeración, cálculo, álgebra, resolución de problemas, geometría, gráficas, fracciones, y uso del lenguaje matemático. a. - Numeración. El conocimiento y memorización de los números no suele entrañar dificultad. Lo que produce mayor dificultad en el aprendizaje es: ü La asociación número-objetos. ü La concepción del número como la unión de operaciones de clasificar y seriar. ü Los fundamentos del sistema decimal. ü La escritura de los números debido a problemas de lateralidad. ü La comprensión del valor posicional de las cifras.

b. - Cálculo. La primera dificultad es la comprensión y la mecánica de las cuatro operaciones básicas. La resta suele ser la operación que entraña mayor dificultad. Nombre del fallo Ejemplo Descripción Pedir al cero 103 45 158 Cuando restamos de una columna cuyo número superior es cero, el niño escribe 5 pero no sigue restando de la columna de la izquierda del 0. Menor del mayor 253 119 146 El niño resta el dígito menor en cada columna del mayor, sin tener en cuenta cuál está arriba. 0 -N = N 140 21 121 Cuando el dígito superior en una columna es 0, el niño escribe el dígito inferior como respuesta. 0 -N = N Y salta sobre el cero y pide prestado 304 75 279 Cuando el dígito superior en una columna es 0, el niño escribe como respuesta el dígito que está debajo. Cuando el niño necesita restar de una columna cuyo dígito superior es 0, se salta la columna y resta de la siguiente.

c. - Álgebra. Con frecuencia los alumnos no comprenden que las letras simbolizan números y que pueden tener un único valor (como en x + 5 = 9) o infinitos valores (x + y = 0); tienden a sustituir expresiones aditivas (3 + x) por multiplicaciones (3 x); no respetan ni comprenden el significado del paréntesis. c. - Resolución de problemas (lo trataremos en un apartado posterior) d. - Geometría. Las dificultades vienen originadas por la abstracción de algunas nociones (línea, plano, etc. ) y por la dificultad de la terminología (pentágono, polígono) e. - Gráficas. Falta en la comprensión de que una gráfica muestra la relación entre dos variables y no es sólo un dibujo.

f. - Fracciones. El concepto de fracciones es difícil de entender. La mayor dificultad es cuando se tiene que sumar o restar una fracción con un número entero. Otro error común es considerar que numerador y denominador son elementos independientes, por lo que operan con ellos aisladamente. El no saber cómo interpretar el valor del cero en la fracción es otro error muy frecuente. g. - Lenguaje matemático. Las dificultades se producen por: Ø Cantidad de vocabulario teórico nuevo que los alumnos deben asimilar. Ø Distinto significado que los términos tienen a veces respecto a su uso habitual. Ø Legibilidad del texto por el uso del léxico, sintaxis, gráficas, tablas, diagramas, etc. Ø Símbolos matemáticos.

3. 2. - Dificultades en la resolución de problemas. Componente Tipo de conocimiento Traducción del problema - Conocimiento lingüístico - Conocimiento semántico Integración del problema - Conocimiento esquemático Planificación de la solución y supervisión - Conocimiento estratégico Ejecución de la solución - Conocimiento procedimental Traducción del problema: transformar cada paso en la secuencia de realización de un problema en una representación interna. Para ello necesitamos el conocimiento del lenguaje y del mundo (semántico)

Integración del problema: consiste en aunar cada una de las informaciones o representaciones que se van obteniendo de la traducción. Se trata de construir una representación global del problema. Planificación y supervisión del problema: para establecer un plan primero tenemos que preguntarnos si conocemos algún problema que sea parecido. Si la respuesta es afirmativa lo reconocemos (identificamos el problema), realizamos una abstracción (extraemos el método de solución) y trazamos el plan (aplicamos el método al objetivo actual) Puesta en marcha de la solución: aplicamos o realizamos los cálculos pertinentes.

4. - Evaluación. Desde un punto de vista cognitivo, la evaluación para un diagnóstico eficaz debe: v Evaluar tanto el conocimiento formal como el informal. v Evaluar la precisión y eficacia de las técnicas matemáticas básicas y su grado de automatización, así como las estrategias que se siguen para la solución y los errores sistemáticos. ¿Cómo detectar a un niño con DAM? 1. - Lentitud: ü En dar la respuesta a cuestiones matemáticas. ü En la realización de tareas en comparación con sus compañeros. 2. - Uso de la contabilización “tangible” ü Tienen dificultad en el cálculo mental. ü Utilizan los dedos para contar. ü Utilizan marcas donde otros alumnos utilizan el cálculo mental. ü Encuentran dificultades en estimar o dar respuestas aproximadas.

3. - Dificultades con las secuencias. ü Se pierden al contar. ü Se pierden al decir las tablas de multiplicar. ü Dificultades en recordar todos los pasos de un proceso. 4. - Dificultades en el lenguaje matemático. ü Le resulta difícil hablar sobre procesos matemáticos. ü No formulan preguntas, a pesar de resultar evidente que no comprenden. ü Dificultades en generalizar el aprendizaje de una situación a otra. Omisión de errores en la interpretación de los enunciados de los problemas. 5. - Dificultades mnésicas. ü Dificultades en el recuerdo de “hechos matemáticos” y símbolos. ü Dificultades en recordar aprendizajes anteriores. ü Dificultades en recordar los enunciados de los problemas. 6. - Uso de la imitación y el aprendizaje “de memoria” en lugar de comprender.

5. - Intervención. Un niño con DAM necesita: § Una enseñanza más intensiva y explícita sobre el sentido numérico. § Más práctica en el uso del sistema numérico. § Un periodo de tiempo más extenso en el aprendizaje de los conocimientos básicos. § Experiencia concreta con números grandes y pequeños. Para la intervención se aconseja el uso de las estrategias habituales en la enseñanza de las matemáticas , pero más intensivas, más extensas en el tiempo y con un repaso constante. Decálogo para que la enseñanza de las matemáticas sea más efectiva y motivadora: 1. - Hay que generar expectativas positivas en todos los alumnos. Se debe de cuidar las reacciones frente a los errores, sobre todo, con comentarios informales que pueden afectar a la autoestima del alumno cuestionando su capacidad y sus posibilidades de mejora.

2. - Se debe prestar especial atención a la construcción del conocimiento. Hay que sobrepasar el simple desarrollo disciplinar y centrarse en un enfoque más global, que los niños investiguen, piensen, analicen, indaguen, saquen sus conclusiones. 3. - La experimentación debe ser la base del aprendizaje. Los principios, leyes, pautas, estrategias, etc. , se deben introducir a partir de simples experiencias y situaciones significativas que se convertirán en los algoritmos que luego aplicarán. 4. - Hay que favorecer y estimular la comprensión. Es necesario dar tiempo para el diálogo, hacer preguntas, consultar, etc. Precipitar los resultados no es adecuado. Hay que asegurarse de que se ha asimilado lo viejo antes de pasar a lo nuevo. 5. - Se enseñarán paso a paso las estrategias y algoritmos específicos que exige la tarea. Para ello hay que servirse de la atención exploratoria del niño como recurso educativo.

6. - Hay que asegurar que el niño puede recordar los aspectos relevantes de una tarea o problema. Se debe ir comprobando siempre que sea posible que el niño ha procesado la información relevante. 7. - Hay que tener presente que la diversidad es un hecho. Pretender que todos los alumnos consigan los mismos objetivos con las mismas actividades y al mismo tiempo es simplemente una falacia. Lo adecuado es plantear la programación como un espacio flexible y disponer de actividades de diferentes niveles para el refuerzo y la ampliación. 8. - La ayuda se debe prestar de forma mutua. Los compañeros pueden actuar de forma cooperativa, ayudándose los unos a los otros. 9. - La enseñanza de las matemáticas debe seguir una secuenciación espiral ascendente. Un determinado contenido se retoma en niveles sucesivos, acordes con los niveles madurativos del niño y valiéndose de otros contenidos que se han ido desarrollando paralelamente. En una espiral ascendente se retoma cada aspecto de la disciplina en un nivel superior, más complejo.

10. - Hay que procurar darle al niño tareas de orientación adecuada, procedimientos de análisis profundo y ocasiones frecuentes de aprendizaje incidental. Esto es válido tanto para los niños interesados en la matemáticas como para aquellos que no están motivados. 5. 2. - Métodos de enseñanza. Los métodos de enseñanza basados en la psicología cognitiva proponen algunas prescripciones, que completan el decálogo de principios generales que hemos expuesto anteriormente: a. - Tener en cuenta los conocimientos previos de los alumnos, con el fin de que los materiales no resulten ni demasiado nuevos ni demasiado conocidos. b. - Disponer el tiempo suficiente para que se dé un aprendizaje significativo. c. - Planificar las actividades para que los niños experimenten las matemáticas en acción, aclarando los objetivos de las mismas. d. - Evitar la complejidad notacional, introduciendo la notación formal y las técnicas pertinentes sólo cuando el alumno disponga de suficientes estructuras de conocimiento para asimilarlas y esté adecuadamente motivado.

e. - Estimular el aprendizaje de relaciones y la modificación de los puntos de vista, priorizando la comprensión y la resolución de problemas, pero sin descuidar el recuerdo de hechos numéricos, deficitario en los alumnos con DAM. f. - Aprovechar la matemática inventada por los niños y el interés de éstos por el juego. g. - Proporcionar experiencias múltiples, con formas de representación diversas y materiales variados. h. - Emplear la práctica distribuida, breve pero frecuente, en torno a los conceptos más complejos. 5. 3. - Cambio de actitudes. Desde la psicología cognitiva se ha comprobado que los procesos implicados en la resolución de problemas son susceptibles al influjo de los factores afectivos. Muchas creencias negativas en torno a las matemáticas, algunas de ellas inducidas por la instrucción, tienen una influencia inhibitoria sobre sus actividades. Ello hace necesario romper el círculo vicioso que muchos alumnos con DAM establecen entre las creencias irracionales, ansiedad, conductas de protección para fomentar creencias constructivas acerca de las matemáticas.

Lo anterior se puede lograr poniendo de manifiesto la inexactitud de las creencias y ayudando a los niños a desarrollar una perspectiva adecuada, que mantenga una imagen positiva de las matemáticas, tanto por su papel en la resolución de tareas cotidianas como en la propia naturaleza de las matemáticas. 5. 4. - Enseñanza de conceptos y de procedimientos. Las principales dificultades de las matemáticas surgen durante la adquisición de los conceptos básicos que son la base de toda actividad matemática. Su adquisición supone un nivel determinado de desarrollo que depende del proceso de maduración. Por ello, debemos cuidar en modo extremo la enseñanza de nociones como las de clasificación, correspondencia, valor cardinal, etc. Es recomendable identificar las características relevantes e irrelevantes de cada concepto, llamando la atención de los alumnos hacia las mismas mediante preguntas y explicaciones, así como seleccionar ejemplos que contengan las características relevantes más frecuentes, y gran variedad de contraejemplos que infrinjan las características relevantes.

Uno de los métodos más conocidos que utiliza sistemáticamente las ideas erróneas de los alumnos, con el fin de modificarlas, es la enseñanza diagnóstica. Dicho método se basa en tareas críticas que exponen las ideas, tanto correctas como equivocadas, de los alumnos, a partir de las cuales se estima la discusión; dichas tareas se aproximan lo más posible a aquellas en las que se espera que los alumnos apliquen los principios aprendidos. Una vez que los alumnos descubren el método correcto de resolución, se les plantea problemas similares, con feed-back inmediato, para consolidar el nuevo conocimiento. Este método ejemplifica la idea de que la enseñanza de conceptos y de procedimientos se encuentra íntimamente relacionada, más aún si cabe que en otras disciplinas. Por lo que respecta a la enseñanza de procedimientos, actualmente se recomienda dar instrucción explícita de los conceptos y las relaciones entre ellos. Esto ayuda a los niños con DAM a progresar en las fases de resolución de problemas de modo ordenado y exitoso, evitando que sus errores sistemáticos predominen en todos sus intentos de solución.