Tema 4 Clculo deductivo en lgica proposicional b

Tema 4. Cálculo deductivo en lógica proposicional b) Deducibilidad, teorema, interdeducibilidad

Deducible • Una fórmula es deducible de una fórmula si es posible obtener desde aplicando una serie de reglas de inferencia. • Ejemplos: q es deducible de (p q) (Eliminación de conyuntor) (r s) es deducible de r (Introducción de disyuntor) p no es deducible de (p q) r no es deducible de (q r)

Deducible • En general, una fórmula es deducible de un conjunto de fórmulas{ 1. . . n} si es posible obtener desde { 1. . . n} aplicando una serie de reglas de inferencia. • Ejemplos: q es deducible de {(p q), p} (Modus ponens) r es deducible de {(r p), (q ¬p) (Eliminación de conyuntor, Eliminación de disyuntor por negación)

Teorema • Las reglas de Reducción al Absurdo e Introducción del Condicional permiten empezar una deducción sin utilizar ninguna premisa. • Si podemos cerrar la RA o la ICd con la que hemos comenzado, la fórmula así obtenida será una que no requiere de premisa alguna para su demostración. • Ejemplo: 1. p 2. ¬q p 3. q p 4. p (q p) (hipótesis) ID 1 DCD 2 ICd 1 -3

Teorema • Este tipo de fórmula demostrable sin premisas se llama TEOREMA. • Dado que un teorema es demostrable sin premisa alguna, eso significa que un teorema es deducible desde cualquier otra fórmula. El papel de esta fórmula es en realidad irrelevante: 1. r premisa 2. ¬(p (q p)) (hipótesis) 3. p ¬ (q p) NCC 1 Como se ve, la 4. ¬(q p) EC 2 fórmula de la 5. q ¬p NCC 3 premisa no desempeña 6. p EC 2 papel alguno. 7. ¬p EC 4 8. p ¬p IC 5, 6 9. ¬¬(p (q p)) RA 1 -7 10. p (q p) DN 8

Teorema • Los teoremas no tienen por qué ser más difíciles de demostrar que las derivaciones con premisas. La dificultad depende de la complejidad de la fórmula a obtener, no del hecho de que empleemos premisas o no. • De hecho, demostrar un teorema plantea una restricción en relación al modo de comenzar el ejercicio: necesariamente debe empezar con la introducción de un supuesto, bien con vistas a una Reducción o a una Introducción de Condicional.

Teorema • Cualquier fórmula demostrable desde un teorema, debe ser a su vez un teorema. • Supongamos que es un teorema y que es demostrable desde . Entonces existe la secuencia siguiente de pasos: 1. Demostramos sin premisas 2. Aplicamos reglas de inferencia 3. Obtenemos • Como se ve, ha sido obtenida sin utilizar tampoco premisa alguna; por tanto, es también un teorema

Interdeducibilidad • • Si una fórmula es deducible desde y a su vez es deducible desde , decimos de ellas que son INTERDEDUCIBLES. Por ejemplo, ¬(p (q r)) y ¬((¬q ¬p) r) lo son: 1. ¬(p (q r)) 2. p ¬(q r) 3. p 4. ¬¬p 5. ¬(q r) 6. ¬q ¬r 7. ¬q ¬¬p 8. ¬(¬q ¬p) 9. ¬r Pr 10. ¬(¬q ¬p) ¬r IC 8, 9 NCC 1 11. ¬((¬q ¬p) r) NDC 10 EC 2 DN 4 EC 2 NDC 5 IC 6, 4 NCC 7 EC 6

Interdeducibilidad • • Si una fórmula es deducible desde y a su vez es deducible desde , decimos de ellas que son INTERDEDUCIBLES. Por ejemplo, ¬(p (q r)) y ¬((¬q ¬p) r) lo son: 1. ¬((¬q ¬p) r) Pr 2. p (q r) hip 3. ¬(¬q ¬p) ¬r NDC 1 4. ¬(¬q ¬p) EC 3 5. ¬q ¬¬p NCC 4 6. ¬q EC 5 7. ¬r EC 3 8. ¬q ¬r IC 6, 7 9. ¬(q r) NDC 8 10. ¬p EDN 2, 9 11. ¬¬p EC 5 12. ¬p ¬¬p IC 10, 11 13. ¬(p (q r)) RA 2 -12

Paralelismo sintáctico-semántico • Hay un paralelismo entre la tríada de propiedades que acabamos de ver y las nociones semánticas estudiadas el tema anterior: SEMÁNTICO SINTÁCTICO Consecuencia lógica Deducibilidad Verdad lógica Teorema Equivalencia Interdeducibilidad

Paralelismo sintáctico-semántico • En otras palabras, da la impresión de que: a) Las consecuencias lógicas de son deducibles desde y, a la inversa, lo que es deducible desde es consecuencia lógica de . b) Toda verdad lógica constituye un teorema y, a la inversa, todo teorema es una verdad lógica c) Dos fórmulas y equivalentes son interdeducibles y, a la inversa, dos fórmulas interdeducibles son equivalentes

Paralelismo sintáctico-semántico • Esta impresión es correcta: (a), (b) y (c) se cumplen. Pero decir que da la impresión no es suficiente: demostrar que (a), (b) y (c) se cumplen es tarea de la METALÓGICA. • Esta disciplina se encarga de investigar qué propiedades tienen los sistemas lógicos. • En virtud de cumplir (a), por ejemplo, diremos que el cálculo de la lógica proposicional es COMPLETO y CORRECTO • No todo sistema lógico tiene estas propiedades.