Tema 3 TeoremaLimite Centrale IID con valor medio

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Tema 3: Teorema-Limite Centrale IID con valor medio e varianza Indipendenti ed Identicamente Distribuite

Tema 3: Teorema-Limite Centrale IID con valor medio e varianza Indipendenti ed Identicamente Distribuite Teorema-Limite Centrale (T-L. C. ):

Verifica sperimentale del T. -L. C. N=2 Somma di N v. a. indipendenti uniformemente

Verifica sperimentale del T. -L. C. N=2 Somma di N v. a. indipendenti uniformemente distribuite su [0, 1] N=3 ddp effettiva: triangolare istogramma normalizzato di Z 2 ddp Gaussiana con stessa media e varianza ddp effettiva: rami di parabola

Verifica sperimentale del T-L. C. (2) N=5 N=10: condizioni quasi asintotiche N=10 ddp effettiva:

Verifica sperimentale del T-L. C. (2) N=5 N=10: condizioni quasi asintotiche N=10 ddp effettiva: 2 rami con andamento polinomiale di ordine N-1

Verifica sperimentale del T-L. C. (3) Effetto della skewness: somma di N v. a.

Verifica sperimentale del T-L. C. (3) Effetto della skewness: somma di N v. a. indipendenti distribuite secondo Rayleigh N=2 [ con valore quadratico medio = 1 ] N=3 istogramma normalizzato di Z 2 ddp Gaussiana con stessa media e varianza

Verifica sperimentale del T-L. C. (4) N=5 N=10: condizioni quasi asintotiche N=10

Verifica sperimentale del T-L. C. (4) N=5 N=10: condizioni quasi asintotiche N=10

Verifica sperimentale del T-L. C. (5) N=50: condizioni “praticamente” asintotiche somma di N=50 v.

Verifica sperimentale del T-L. C. (5) N=50: condizioni “praticamente” asintotiche somma di N=50 v. a. indipendenti distribuite secondo Rayleigh [ con valor quadratico medio = 1 ] effetto della skewness somma di N=50 v. a. indipendenti uniformemente distribuite su [0, 1]

Verifica sperimentale del T-L. C. (6) Esercizio proposto: ü Generare NR=105 realizzazioni della v.

Verifica sperimentale del T-L. C. (6) Esercizio proposto: ü Generare NR=105 realizzazioni della v. a. SN , somma (normalizzata) di N variabili aleatorie IID, uniformi in [0, 1], con N=2, 5, 10 e 50 [istruzioni utili: rand, sum] ü Tracciare gli istogrammi normalizzati (uno per ogni valore di N) della v. a. SN e confrontarli con la ddp di una v. a. Gaussiana standard [istruzioni utili: hist, bar, normpdf, plot]

Esempio di file. m: sommaunif. m function [eta, sigma] = sommaunif(N) % calcolo istogramma

Esempio di file. m: sommaunif. m function [eta, sigma] = sommaunif(N) % calcolo istogramma norm. della v. a. ZN, somma di N v. a. uniformi IID % e della ddp Gaussiana con stessa media e dev. stand. della somma % IN: N=numero di v. a. uniformi ed indipendenti da sommare; % OUT: eta=media e sigma=deviazione standard della v. a. ZN; % uscita su video di istogramma normalizzato della v. a. ZN Nr=10^5; % numero di realizzazioni eta=N*1/2 % calcolo media e dev. standard della v. a. ZN , sigma=sqrt(N*1/12) % somma di N v. a. uniformi su [0, 1] x=rand(N, Nr); Zn=sum(x); % genera NR campioni della v. a. ZN [n, a]=hist(Zn, 100); bar(a, n/Nr/(a(2)-a(1))); % istogramma normalizzato hold on plot(a, normpdf(a, eta, sigma), 'r-') % ddp Gaussiana

Esempio di file. m: sommarayl. m function [eta, sigma] = sommarayl(N) % calcolo istogramma

Esempio di file. m: sommarayl. m function [eta, sigma] = sommarayl(N) % calcolo istogramma norm. della v. a. ZN, somma di N v. a. di Rayleigh IID % e della ddp Gaussiana con stessa media e dev. standard della somma % IN: N= numero di v. a. di Rayleigh indipendenti da sommare % OUT: eta=media e sigma=deviazione standard della v. a. ZN % uscita su video di istogramma normalizzato della v. a. ZN Nr=10^5; % numero di realizzazioni eta=N*sqrt(pi/2)/sqrt(2) sigma=sqrt(N*(2 -pi/2)/2) % % % x=rand(N, Nr); x=sqrt(-log(x)); % Zn=sum(x); calcolo media e dev. Stand. della v. a. ZN, somma di N v. a. di Rayleigh con parametro m (valor quadratico medio) = 1 trasformaz. ZMNL per ottenere la v. a. di Rayleigh % genera NR campioni della v. a. somma [n, a]=hist(Zn, 100); bar(a, n/Nr/(a(2)-a(1))); % istogramma normalizzato hold on plot(a, normpdf(a, eta, sigma), 'r-') % ddp Gaussiana