Tema 3 Del Clculo Diferencial a las Ecuaciones

Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las Ecuaciones diferenciales 3. 2 Antecedentes del Cálculo: Desde la Edad Media hasta el siglo XVII 1. Desde la Edad Media hasta el siglo XVI Roma En la antigua Roma se cultivaron con entusiasmo las artes prácticas como la medicina, la agricultura, el derecho y la geografía descriptiva. Pero mostraron poco a entusiasmo con la ciencia o a la filosofía, y aún menos con la matemática

Roma Los Impresionantes proyectos de ingeniería y los grandes monumentos arquitectónicos sólo requieren simples recetas y maneras de proceder que bien poco tenían que ver con un conocimiento del gran corpus del pensamiento griego.

Roma M. Vitruvio estaba especialmente interesado en instrumentos de agrimensura y en problemas relativos a medidas aproximadas. En su libro De Architectura, de la Época Augusta, destaca como cima del conocimiento la inconmensurabilidad de la arista y la diagonal en un cubo; el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, y da como perímetro de una rueda de diámetro 4 dm, el resultado de 12, 5 dm, lo que supone un valor de 25/8 para π; Arquímedes ya había como valor aproximado 22/7

Edad Media El grueso de la historia de la matemática medieval fue obra de cinco grandes civilizaciones que escribieron en cinco lenguas diferentes: China, India, Arabia, el imperio romano de Oriente y los restos del Imperio de Occidente.

Imperio bizantino La mayor parte de las contribuciones bizantinas a la matemática fueron de un nivel muy elemental y consistieron principalmente en comentarios de los clásicos antiguos La matemática bizantina representó, más aún que la árabe, una especie de esfuerzo de conservación de todo lo que fuera posible de la Antigüedad hasta que el Occidente estuviera preparado para tomar el relevo.

Mundo árabe-musulmán Primer siglo de su existencia: confusión política e intelectual. Segundo siglo: Despertar cultural. Se convocan sabios de Siria, Irán y Mesopotamia. Bagdad una nueva Alejandría: Casa de la Sabiduría. Siglo IX: Traducciones del griego al árabe Al-Khowarizmi: Astronomía, sistema de numeración hindú. Resolución de ecuaciones cuadráticas. Algoritmo: procedimiento operativo para resolver un problema

Traducciones en Europa A finales del siglo XII, comenzó una verdadera oleada de traducciones primeramente del árabe al latín, Los Elementos de Euclides figuraron entre las primeras obras matemáticas clásicas que aparecieron traducidas del árabe al latín. Hacia el siglo XIII hubo ya muchas variantes, del árabe al español, del árabe al hebreo, del griego al latín, o bien combinaciones tales como del árabe al hebreo y después hebreo al latín.

Siglo XIV Los matemáticos del Occidente europeo mostraron durante el siglo XIV imaginación y notable claridad de pensamiento, pero lo les faltaba habilidad tanto algebraica como geométrica, y así sus contribuciones no consistieron en una extensión de la obra de los clásicos, sino en la exploración de nuevos puntos de vista. Las Universidades de Paris y Oxford fueron durante el siglo XIV los dos principales centros en los que se formularon conceptos que habían de influir de modo importante en el nacimiento de la ciencia moderna.

N. Oresme ( 1323 -1382) Genio intelectual y probablemente el pensador más original del siglo XIV: economista, matemático, físico, astrónomo, filósofo, psicólogo, musicólogo, teólogo y, traductor, consejero del rey Carlos V de Francia y murió como obispo de Lisieux. Uno de los principales fundadores de la ciencia moderna. En su obra “De proportionibus proportionum “ hacia el 1360 utilizó un método gráfico propio para resolver distintos problemas físicos y matemáticos.

N. Oresme A él se debe la introducción temprana de coordenadas preocupado por la representación de la velocidad de un móvil con m. u. a. a lo largo del tiempo. Traza un segmento horizontal cuyos puntos representan los sucesivos instantes de tiempo (longitudes) y para cada instante traza un segmento particular (latitud) cuya longitud representa la velocidad en aquel instante. Área = distancia recorrida

N. Oresme Este método le permite probar la regla de Merton: “El espacio recorrido por un móvil que se mueve con m. u. a = espacio recorrido con la velocidad constante que tiene en el punto intermedio. ” Trasladó al plano lo que hasta entonces habían hecho los geógrafos sobre la esfera. Mantuvo incluso los nombres, y llamó longitud y latitud a los antepasados de lo que hoy llamamos abscisa y ordenada.

Siglo XIV Entre los problemas estudiados, podemos destacar Series infinitas, cuyos preliminares son algunos algoritmos iterados de la antigüedad tales como la suma infinita de una progresión geométrica dada por Arquímedes. Calculator ( R. Suiseth ( 1350), halló que 2 es la suma de la serie numérica infinita mediante una larga y confusa demostración verbal,

N. Oresme También contribuyó al estudio de las series Utilizó el método gráfico para hallar la suma de forma más fácil y elegante de la serie anterior. Consiguió resolver también por el mismo método otros casos más complicados tales como la suma de la serie cuyo resultado es 4/3.

N. Oresme También demostró que la serie armónica ½+1/3+ ¼+1/5+…+1/n+… es divergente , agrupando y colocando el primer término en el primer grupo, los dos términos siguientes en el segundo grupo, los cuatro términos que les siguen en el tercer grupo, y así sucesivamente, de manera que el grupo m-ésimo incluye 2^(m- 1) términos de la serie. Así tenemos infinitos grupos de términos cuya suma de los términos dentro de cada grupo es mayor o igual que ½ , y por lo tanto, sumando : una cantidad suficiente de términos, en su orden, podemos superar cualquier número dado.

Siglo XV A mediados del siglo XV Europa se recupera de la gran conmoción de la Peste Negra. La reciente invención de la imprenta que hizo posible que las obras cultas se extendieran y estuvieran disponibles con mucha más facilidad que nunca hasta entonces, no tuvo un efecto inmediato en la difusión del corpus matemático de la antigua Grecia, ya que: pocos hombres durante el siglo XV podían tener un conocimiento de la matemática suficientemente avanzado como para entender dichas obras,

Siglo XV Las matemáticas siguen estando limitadas por la espesa notación con números romanos y por la falta de un lenguaje simbólico. (no hay signo para indicar la suma, ni la igualdad, … ) Sin embargo, se lleva a cabo la resolución de las ecuaciones cúbicas y cuartas y con el uso de un cierto simbolismo.

Siglo XV Impulsados por las exigencias de la navegación y la creciente necesidad de mapas exactos de grandes áreas, la trigonometría pasó a ser una importante rama de las matemáticas. La tabla de senos y cosenos de Regiomontanus (14361476) se publicó en 1533. Éste contribuyó igualmente a la introducción de los números arábigo-hindues y de algunos simbolismos no muy diferentes a los usados hoy día.

Siglo XVI Hacia finales del siglo XVI Europa Occidental ya había recuperado, difundido y asimilado la mayor parte de las obras matemáticas de la antigüedad que se han conservado hasta hoy. También, había asimilado los conocimientos aritméticos del mundo árabe y había iniciado el estudio de la resolución de las ecuaciones cúbicas y cuartas. La época ya estaba madura para llevar a cabo rápidos avances que superarán las contribuciones tanto antiguas como medievales y renacentistas.

François Viète ( o Vieta) (1540 -1603) Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras. Fue conocido en su época como súbdito del rey fiel y competente. Fue consejero privado de los reyes de Francia Enrique III y de Enrique IV.

François Viète En la época de Viète el álgebra, derivada de la aritmética, se percibe sólo como un catálogo de reglas y se necesitaban razonamientos geométricos para justificar métodos algebraicos, pero como Novedad: Propone la utilización del álgebra para resolver problemas.

François Viète A partir de 1591, Viète, que era muy rico, empezó a publicar a sus expensas la exposición sistemática de su teoría matemática, a la que llama logística especiosa (de specis: símbolo) o arte del cálculo sobre símbolos. 1. Se anotan todas las magnitudes presentes, así como sus relaciones, utilizando un simbolismo adecuado que Viète había desarrollado. (notación complicada) Se resume el problema en forma de ecuación (etapa zetética). Escribe las magnitudes conocidas como consonantes (B, D, etc. ) y las magnitudes desconocidas como vocales (A, E, etc. ).

François Viète 2. El análisis porístico permite transformar y discutir la ecuación. Se trata de encontrar una relación característica del problema, la porisma, a partir de la cual se pueda pasar a la siguiente etapa. 3. El análisis rético, volvemos al problema inicial del que exponemos una solución por medio de una construcción geométrica basada en la porisma. Entre los problemas que Viète aborda con este método, hay que citar la resolución completa de las ecuaciones de segundo grado de forma ax 2 + bx = c y de las ecuaciones de tercer grado de forma x 3 + ax = b con a y b positivos.

François Viète Fue uno de los primeros que utilizó la palabra «análisis» como sinónimo de «álgebra» , y fue uno de los primeros analistas en el sentido más moderno del que estudia procesos infinitos. Fue el primero que dio una expresión numérica para que era teóricamente exacta bajo la forma de un producto infinito que puede escribirse como

Siglo XVI John Neper (1550 -1617), hacendado escocés, Barón de Murchiston, administraba sus extensas propiedades y aprovechaba el tiempo para escribir sobre temas variados. Sólo estaba interesado en algunos aspectos de la matemática, principalmente los relacionados con el cálculo numérico y la trigonometría.

J. Neper Observó que las sucesiones de potencias enteras de una base entera, no resultaban útiles para el cálculo debido a los grandes huecos que existen entre los términos sucesivos y que hacen la interpolación demasiado imprecisa.

J. Neper Para solucionar el problema basta tomar las potencias enteras de un número muy próximo a uno. Neper decidió tomar como base Ciertamente los términos de la progresión (decreciente) de potencias enteras crecientes, están muy próximos entre sí;

J. Neper Para conseguir un cierto equilibrio y evitar el uso de decimales, multiplicó Neper todas las potencias por 10^7. Así consideró Los valores del exponente L fueron inicialmente llamados «números artificiales» , pero más tarde se decidió por la palabra logaritmo, palabra compuesta de las dos palabras griegas logos (o razón) y arithmos (o número).

J. Neper Así pues L será el “logaritmo” de Neper del número N (que él llama «seno» ). Nótese que si L=10^7, el valor de N/10^7 no se diferencia mucho de Esto es, si dividiéramos, tanto los números (N) considerados como sus logaritmos (L), por 10^7, tendríamos prácticamente un sistema de logaritmos de base 1/e (log_(1/e)(A)= - ln (A)).

Principios geométricos Sea un segmento AB y una semirrecta CD E dados. Sea un punto P que parte de A y se mueve a lo largo de AB con velocidad variable que decrece en proporción a su distancia a B. Supongamos que un punto Q parte al mismo tiempo de C y se mueve a lo largo de la semirrecta CDE con velocidad uniforme igual a la velocidad inicial del punto P. Neper llama a la distancia CQ el logaritmo de la distancia P B.

Equivalencia de las definiciones Llamando x=PB e y= CQ y si AB y la velocidad inicial de P igual a 10^7, entonces, tenemos x’(t)=-x, y’(t)= 10^7, x_o = 10^7 , y_o =0. Dado que y’(t)=y’(x). x’(t), tenemos que y’(x)= - 10^7/x , y por tanto y=-10^7 ln (cx), donde la constante c= 10^(- 7) se determina partir de las condiciones iniciales. así pues, y/10^7=log_(1/e) (x/10^7) Esto es, CQ=y=N y PB=x=L

J. Neper Si El logaritmo de N_1. N_2 no es igual a la suma de L_1 y L_2, sino de N_1 N_2/10^7, ya que Pero, estas diferencias se refieren únicamente a un corrimiento de la coma decimal, según los casos Por ejemplo si N=10^7 entonces L=0 log 10^7=0

J. Neper Observó que todos los números (él los llama «senos» ) en la razón de 2 a 1 tienen una diferencia entre sus logaritmos de 6. 931. 469, 22, mientras que los que están en la razón 10 a 1 tienen como diferencia de logaritmos 2 3. 025. 842, 34. En estas diferencias podemos ver, sí corremos adecuadamente la coma decimal, los logaritmos naturales de 2 y de 10. Por lo tanto, resulta razonable utilizar el nombre de «neperianos» para los logaritmos naturales, incluso a pesar de que estos logaritmos no son exactamente los que inventó Neper.

J. Bürgi (1552 -1632): Logaritmos naturales Toma como base 1+10^(-4), multiplica por 10^8 y los exponentes por 10. Llama a 10 L el número rojo correspondiente al número negro N. Si dividiéramos en este sistema todos los números negros por 10^8 y todos los números rojos por 10^5, tendríamos virtualmente un sistema de logaritmos naturales.

Logaritmos En 1616, Henry Briggs (1561 -1630) visitó a Neper en Edimburgo, con el motivo de discutir la sugerencia de cambiar los logaritmos de Neper para que el logaritmo de uno fuese cero y el logaritmo de diez fuese uno. Recuérdese que el logaritmo de 10^7 será 0 Con este dato, Briggs fue calculando otros logaritmos tomando raíces sucesivamente. De que (raíz de 10) =3, 162277 obtiene que: log 3, 162277= 0. 5 Así calculó otros logaritmos. En 1624 publicó los logaritmos del 1 al 100. 000, siempre con 14 cifras decimales. Estos logartimos sí gozan de las propiedades usuales.