TEMA 3 ARMADURAS PLANAS 1 1 2 3

TEMA 3 ARMADURAS PLANAS 1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Introducción y definiciones Tipos de armaduras Relación entre el número de nudos y el de barras en armaduras planas Fuerzas en las barras de una armadura cargada y reacciones de las ligaduras Resolución de una armadura: Método de los nudos Resolución gráfica de una armadura: Diagrama de Maxwell-Cremona Nudos condiciones especiales de carga Resolución de una armadura: Método de las secciones 2

1. Introducción y definiciones Estructura: Conjunto de sólidos rígidos unidos entre sí y unidos a otros cuerpos, diseñado para soportar cargas aplicadas Armadura: Estructura en la que los sólidos que la constituyen son rectos y alargados (barras), y se conectan entre sí, por sus extremos, a través de articulaciones de pasador sin fricción (nudos, donde concurren dos o más barras) Armadura plana: Armadura en la que las barras son coplanarias y todas las fuerzas externas están en el plano de las barras Las barras concurren en nudos. Las barras se suponen de peso despreciable. Las barras son elementos sometidos a sólo dos fuerzas. Carga o reacción de ligadura barra nudo 3

2. Tipos de armaduras (según el grado de rigidez) Deformables Indeformables Con barras en exceso Estrictamente indeformables Simples Compuestas Complejas Se puede demostrar que toda armadura simple es estrictamente indeformable 4

3. Relación entre el n° de nudos (n) y el de barras (b) en armaduras planas Armadura estrictamente indeformable 2 n – b = 3 Armadura con barras en exceso 2 n – b < 3 Armadura deformable 2 n – b > 3 5

4. Fuerzas en las barras de una armadura cargada y reacciones de las ligaduras En general, las armaduras se diseñan para soportar cargas de forma que las barras no soporten fuerzas transversales sino sólo longitudinales. Todas las fuerzas externas están exclusivamente aplicadas en los pasadores (nudos) Para ligar una armadura sólo se pueden emplear ligaduras: i. - Simples (apoyos móviles) ii. - Dobles (apoyos fijos) -No se usan ligaduras triples. Para que la armadura esté en equilibrio deben estarlo cada uno de los elementos que la constituyen (las barras y también los pasadores o nudos) ¿cómo será, en cada caso, la fuerza que cada barra, ejerce sobre cada uno de los pasadores situados en sus extremos? Clase 3. - Clase 1. - Barra trabajando a tracción Clase 2. - Barra trabajando a compresión La barra no trabaja si no está sometida a ninguna fuerza 6

5. Resolución de una armadura: Método de los nudos “Resolver” una armadura consiste en: Determinar todas las fuerzas externas y también las fuerzas externas a que está sometida cada parte de la armadura. Esto último supone, determinar las fuerzas a que está sometida cada barra y cada nudo (pasador). Obsérvese que si se determinan todas las fuerzas externas y las fuerzas a que está sometida cada barra, se sabrán ya, también, las fuerzas a que está sometido cada pasador (nudo) 7

Método de los nudos Consiste en calcular las fuerzas sobre las barras a partir de la resolución de las ecuaciones de equilibrio para cada nudo de la armadura, considerándolo como un punto material sometido a fuerzas externas. ¿Qué relación hay entre la fuerza que el pasador de un extremo ejerce sobre una barra y la que ésta ejerce sobre dicho pasador? Suponiendo una armadura estrictamente indeformable, ligada isostáticamente, Número de incógnitas: b + 3 (número de barras + reacciones de las ligaduras) Número de ecuaciones: 2 n (dos por cada nudo en el plano) Vimos que en una armadura estrictamente indeformable, 2 n – b = 3, luego el sistema de ecuaciones tiene solución. PASOS: 1. - Resolver el equilibrio externo: determinar las reacciones en las ligaduras. 2. - Localizar un nudo de dos barras con las dos fuerzas correspondientes desconocidas. 3. - Resolver el nudo. 4. - Reiterar para los demás nudos los pasos 2 y 3. 5. - Finalmente, al haber introducido 3 ecs. extra en el paso 1 nos encontraremos con 3 ecs. de equilibrio de nudos sobrantes, que sirven de comprobación. 6. - Resumir los resultados en la tabla de “barra/módulo/clase”. 8

Ejemplo: Resolver la siguiente armadura por el método de los nudos B C P L D A L RB L D. C. A. B C y P L RAy A RAx L x D L 9

6. Resolución gráfica de una armadura: Diagrama de Maxwell-Cremona Al resolver gráficamente una armadura por el método de los nudos se puede observar que la fuerza en cada barra aparece en dos polígonos de Varignon. Esta duplicidad permite superponer todos los polígonos en un único diagrama llamado Diagrama de Maxwell-Cremona. Nota: para ello es necesario sumar las fuerzas aplicadas sobre cada pasador (nudo) en el mismo sentido (convenio: horario). Notación de Bow: Letras minúsculas: regiones externas separadas entre sí por las fuerzas externas aplicadas, y también regiones internas separadas entre sí por barras. Número: nudos. Nombrar barras: las dos letras minúsculas de las dos regiones fronterizas (no importa el orden) Nombrar fuerzas: las dos letras mayúsculas de las dos regiones fronterizas tomadas en el orden que aparecen al girar (por el camino más corto) en sentido horario en torno al nudo en que se aplica la fuerza d 2 c cf e fe 3 b 1 de f fa ea FE 4 AF EA a 10

Notación de Bow (continuación): Cada fuerza se representa con dos letras mayúsculas (origen y extremo del vector que representa a la fuerza), que son las letras correspondientes a las dos regiones que dicha fuerza separa. Las dos letras se sitúan en el orden en que nos las encontramos, al girar en sentido horario en torno al nudo en el que está aplicada la fuerza (por el camino más corto, esto es, atravesando sólo la directriz de la fuerza considerada, no otras directrices, ni otras regiones). Ejemplo: En la figura de la página anterior, la fuerza que la barra ed (o de) ejerce sobre el nudo 1, se representa ED (fuerza ED, un vector), en cambio la fuerza que la misma barra ejerce sobre el otro nudo, el 2, se representa DE (fuerza DE, un vector, exactamente opuesto al ED) 11

6. Resolución gráfica de una armadura: Diagrama de Maxwell-Cremona PASOS: 1. - Resolver el equilibrio externo: determinar las reacciones en las ligaduras. 2. - Determinar el polígono de Varignon de las fuerzas exteriores (sumándolas recorriendo la armadura en sentido horario). 3. - Localizar un nudo donde concurran sólo dos barras desconocidas y trazar paralelas a las barras. 4. - Repetir el paso 3 para el resto de nudos con dos barras desconocidas hasta cerrar el diagrama. 5. - Determinar el módulo común de las dos fuerzas a que está sometida cada barra y la clase de trabajo de la misma (si es a tracción o a compresión). 6. - Resumir los resultados en la tabla de “barra/módulo/clase”. 12

Ejemplo 1: Resolver la siguiente armadura por el método del Cremona 2 1 P L 4 3 L L 13

Ejemplo 2: Resolver la siguiente armadura por el método del Cremona P P L 2 L 14

8. Resolución de una armadura: Método de las secciones Los dos métodos previos (nudos y Cremona) requieren resolver toda la armadura, pero a menudo sólo interesa conocer cómo trabaja una, o bien, varias barras. En ocasiones, incluso, no es posible encontrar un nudo donde tan sólo concurran dos barras desconocidas. El método de las secciones consiste en estudiar el equilibrio de una parte de la armadura que habrá que aislar del resto mediante una sección imaginaria (S). ¿Cómo hacer la sección? Tenemos las siguientes posibilidades que nos permitirán determinar cómo trabajan las barras seccionadas (caso 1) o bien , alguna o algunas de las barras seccionadas (casos 2 y 3) Caso 1. - Corte a sólo 3 barras desconocidas que no sean ni paralelas ni concurrentes las tres (las barras o sus prolongaciones). Caso 2. - Corte a más de 3 barras desconocidas pero que todas sean paralelas menos una, y que esta última sea la que deseamos calcular. Caso 3. - Corte a más de 3 barras desconocidas pero que todas sean concurrentes menos una, y que esta última sea la que deseamos calcular. Una sección también permitiría determinar algo, si afectara a más de 3 barras, pero sólo 3 fueran desconocidas (las fuerzas que ejercen sobre los nudos), siempre que sus tres directrices no fueran, las tres, ni concurrentes, ni paralelas. En cualquier otro caso, la sección no permitiría determinar nada. 15

Ejemplo del caso 1. - Corte a sólo 3 barras desconocidas que no sean ni paralelas ni concurrentes. Para la siguiente armadura, calcular: i. - la fuerza en la barra 1, ii. - la fuerza en la barra 2, y iii. - la fuerza en la barra 3. P 2 P P 1 2 2 L 3 2 P S L 2 P 16

Ejemplo del caso 3. - Corte a más de 3 barras desconocidas pero que todas sean concurrentes menos una, y que esta última sea la que deseamos calcular. Para la siguiente armadura, calcular la fuerza en la barra 1, utilizando las siguientes secciones. S 1 S 2 1 2 L 5 P/2 P P P 5 P/2 L 17

Ejemplo. - Para la siguiente armadura, calcular la fuerza en la barra 1 utilizando el método de las secciones. 2 P P 1 L 2 P P L L 18

Ejemplo. - Para la siguiente armadura, determinar como trabajan y con que valores las barras ch y gh utilizando el método de las secciones. P P b P c c d h i L a g e 3 L 19

Armaduras compuestas Son armaduras estrictamente indeformables que están formadas por armaduras simples, unidas entre sí, de modo que la armadura resultante no es simple. Al resolverlas mediante el estudio del equilibrio de los nudos, analíticamente (método de los nudos) o gráficamente (método de Cremona) llega un momento en el que, no habiendo acabado, no existe ningún nudo en el que concurran sólo dos fuerzas desconocidas. En estos casos hay que usar el método de las secciones. Ejemplo. - Determina cómo trabaja la barra señalada L P P P 20