Tema 3 Aproximacin de funciones por polinomios Introduccin

Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Aproximación de una función por polinomios Tema 3: 1 p 0(x) tiene un contacto de orden 0 con f(x) en el punto P(0, 1)

Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Aproximación de una función por polinomios Tema 3: 2 p 1(x) tiene un contacto de orden 1 con f(x) en el punto P(0, 1)

Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Aproximación de una función por polinomios Tema 3: 3 p 2(x) tiene un contacto de orden 2 con f(x) en el punto P(0, 1)

Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Aproximación de una función por polinomios Tema 3: 4 p 3(x) tiene un contacto de orden 3 con f(x) en el punto P(0, 1)

Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Aproximación de una función por polinomios Tema 3: 5 Polinomios de Taylor de f(x) (en el punto x=0) o desarrollos limitados de Taylor de f(x)

Dada una función f(x), n+1 veces derivable en un entorno del punto a , se llama polinomio de Taylor (o desarrollo limitado de Taylor) de orden n de f(x) en x=a, al único polinomio de orden n, Pn(x), que verifica Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Polinomios o desarrollos limitados de Taylor Tema 3: 6 Pn(a)=f(a), P’n(a)=f’(a), P’’n(a)=f’’(a), . . . , P(n)n(a)=f(n)(a) Polinomio de Mac. Laurin

Polinomios o desarrollos limitados de Taylor Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo: Obtener el polinomio de Taylor de orden n en el punto x=0 (polinomio de Mac. Laurin) de la función f(x)=ex. Tema 3: 7

El polinomio de Taylor aproxima a la función en un entorno del punto x=a. Esta aproximación es mejor cuanto más alto sea el grado del polinomio: Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Polinomios o desarrollos limitados de Taylor Tema 3: 8 Si f(x) es una función n+1 veces derivable en x=a y Tn(f, a)(x) es su polinomio de Taylor de orden n en x=a, Resto o término complementario de Taylor (de orden n en x=a)

Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Polinomios o desarrollos limitados de Taylor Tema 3: 9 Resto o término complementario de Taylor (de orden n en x=a) Fórmula de Taylor con resto en forma infinitesimal

Fórmula de Taylor La fórmula de Taylor en x=0 (fórmula de Mac. Laurin) para la función f(x)=ex nos permite afirmar: Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplos: Tema 3: 10 Otros desarrollos de Mac. Laurin usuales son:

Obtención de desarrollos a partir de otros conocidos 1) El polinomio de Taylor de f(x) + g(x) será pn(x) + qn(x) Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Sean f(x) y g(x) con polinomios de Taylor respectivos en x=a son pn(x) y qn(x): Tema 3: 11 Ejemplo: Desarrollo de la función hiperbólica

Obtención de desarrollos a partir de otros conocidos Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Sean f(x) y g(x) con polinomios de Taylor respectivos en x=a son pn(x) y qn(x): Tema 3: 12 2) El polinomio de Taylor de orden n de f(x) • g(x) se obtiene multiplicando pn(x) • qn(x) y prescindiendo de los términos de grado mayor que n. Ejemplo: Obtener el polinomio de Mac. Laurin de tercer grado de ex cos x

Obtención de desarrollos a partir de otros conocidos Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Sean f(x) y g(x) con polinomios de Taylor respectivos en x=a son pn(x) y qn(x): Tema 3: 13 3) Si g(a) 0, el polinomio de Taylor de orden n de f(x)/g(x) se obtiene dividiendo pn(x)/qn(x) según las potencias crecientes, hasta el orden n. Ejemplo: Obtener el polinomio de Mac. Laurin de tercer grado de 1/(1 -x)

Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Obtención de desarrollos a partir de otros conocidos Tema 3: 14 4) Si qn(x) es el polinomio de Taylor de g(x) en el punto f(a), el polinomio de Taylor de orden n de g(f(x)) se obtiene prescindiendo en qn(pn(x)) de los términos de grado superior a n. Ejemplo: Obtener el polinomio de Mac. Laurin de tercer grado de ecos x.

Si f(x) y sus primeras n derivadas son continuas en un entorno E(a, ) y existe la derivada de orden n+1 en dicho entorno, entonces para cada x E(a, ) existe un valor intermedio c (a, x), de forma que Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Fórmula de Taylor con resto de Lagrange Tema 3: 15 siendo Ejemplo:

Aplicaciones de la fórmula de Taylor Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal 1) Cálculo de valores aproximados Tema 3: 16 Ejemplo 1: Dar un valor aproximado de cos 1, utilizando la fórmula de Mac. Laurin de orden 6 y dando una cota del error cometido. Ejemplo 2: Dar un valor aproximado de cos 5, utilizando la fórmula de Mac. Laurin de orden 6 y dando una cota del error cometido.

Aplicaciones de la fórmula de Taylor Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal 1) Cálculo de valores aproximados Tema 3: 17 Ejemplo 3: Utilizando desarrollos de Mac. Laurin obtener un valor un error menor que 10 -3. con

Aplicaciones de la fórmula de Taylor Para estudiar el comportamiento de f(x) en un entorno de x=a Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal 2) Estudio local de una función Tema 3: 18 Estudio del crecimiento en x=a Máximos, mínimos y puntos de inflexión en x=a

Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Aplicaciones de la fórmula de Taylor 3) Cálculo de límites indeterminados Tema 3: 19

f(x, y)=4 - sen(x+y)cos(x-y) + cos(x) Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Fórmula de Taylor para funciones de varias variables Tema 3: 20 P(0, 0, 5) *

Fórmula de Taylor para funciones de varias variables Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Diferenciales sucesivas de f(x, y) Tema 3: 21

Fórmula de Taylor de orden n para una función f(x, y) en el punto P(a, b), con resto de Lagrange: Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Fórmula de Taylor para funciones de varias variables Tema 3: 22 Polinomio de Taylor Tn(x, y) Fórmula de Taylor de orden n para una función f(x, y) en el punto P(a, b), con resto en forma infinitesimal: Resto de Lagrange Rn(x, y)

Fórmula de Taylor para funciones de varias variables Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Polinomios de Taylor Tn(x, y): Tema 3: 23

Fórmula de Taylor para funciones de varias variables Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo: Polinomio de Taylor de orden 3 de f(x, y)=ex cos y en el punto P(0, ). Tema 3: 24

Aplicaciones de la fórmula de Taylor Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal 1) Cálculo de valores aproximados Tema 3: 25 Ejemplo: Obtener un valor aproximado de polinomio de Mac. Laurin de orden 2. utilizando un

Aplicaciones de la fórmula de Taylor Tema 3: Aproximación de funciones por polinomios Introducción al Cálculo Infinitesimal 2) Cálculo de límites indeterminados Tema 3: 26 Ejemplo 1: Ejemplo 2: