Tema 3 1 Multiplicacin de nmeros enteros Nmeros

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Tema: 3 1 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 1 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Multiplicación de números enteros de distinto signo Ejemplo: Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces? Cada vez que va al cine gasta 6 euros Va tres veces Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros Gráficamente: – 6 – 24 – 18 – 6 +3 – 18 – 6 – 12 (– 6) · (+ 3) = – 18 – 6 0 +6 +12 El producto de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. Otros ejemplos: (a) (– 7) ·(+ 9) = – 63 (b) (+12) · (– 12) = – 144 (c) (– 13) · (+4)= – 52

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 2 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 2 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Multiplicación de números enteros Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Hay cuatro posibilidades: Observa: Regla de los signos: (+7) · (+ 9) = +(7· 9) = +63 + · + = + (+7) · (– 9) = –(7· 9) = – 63 + · – = – (– 7) · (+ 9) = –(7· 9) = – 63 – · + = – (– 7) · (– 9) = +(7· 9) = +63 – · – = + 1º. Se halla el producto de sus valores absolutos. 2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo. Otros ejemplos: (a) (+5) · (– 1) = – 55 (b) (– 5) ·(+7) = – 35 (c) (– 3) · (– 9) = 27

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 3 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 3 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO División exacta de números enteros Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Pueden darse cuatro casos: Regla de los signos: (+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3 + : + = + (+32) : (– 4) = –(32 : 4) = – 8 + : – = – (– 63) : (+ 9) = –(63 : 9) = – 7 – : + = – (– 48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6 – : – = + Otros ejemplos: (a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = – 3 (c) – 35 : 7 = – 5 (b) (– 54) : (+6) = –(54 : 6) = – 9 (d) – 72 : (– 9) = 8 Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un número negativo. En cualquier otro caso es optativo. Es la misma que para la multiplicación

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 4 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 4 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Propiedad conmutativa De la suma Observa: 7 +(– 12) = – 5 7 +(– 12) = (– 12) + 7 = – 5 La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos. Del producto Observa: 4 ·(– 5) = – 20 4 · (– 5) = (– 5) · 4 = – 20 El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores. Otros ejemplos: Suma Producto (– 5) + 7 = 7 +(– 5) = 2 2 + (– 13) = (– 13) + 2 = – 11 (– 3) · (– 9) = (– 9) · (– 3) = 27 (+6) · (– 8) = (– 8) · (+6) = – 48

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 5 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 5 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Propiedad asociativa de la suma La suma 10 + (– 5) + (– 2) puede hacerse de dos maneras: 1º. Sumando los dos primeros números al tercero: [10 + (– 5)] + (– 2) = 5 + (– 2) = 3 2º. Sumando el primer número a los otros dos: 10 + [(– 5) + (– 2)] = 10 + (– 7) = 3 Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)] La suma de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos Otro ejemplo: [(– 5) + 17] + (– 8) = = 12 + (– 8) = 4 (– 5) + [17 + (– 8)] = = – 5 + 9 =4 Propiedad asociativa de la suma

Tema: 3 6 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 6 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Propiedad asociativa del producto El producto (– 12) · 8 · (– 5) puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas: 1º. (los dos primeros) · (el tercero): [(– 12) · 8] · (– 5) = (– 96) · (– 5) = 480 2º. (el primero) · (el producto de los otros dos): (– 12) · [8 · (– 5)] = (– 12) · (– 40) = 480 Luego: [(– 12) · 8] · (– 5) = (– 12) · [8 · (– 5)] El producto de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos Otro ejemplo: [(– 5) · 7] · (– 3) = – 35 · (– 3) = 105 = (– 5) · [7 · (– 3)] = = – 5 · (– 21) = 105 Propiedad asociativa del producto

Tema: 3 7 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 7 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Propiedad distributiva El valor de la expresión – 5 · (– 3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas: Una forma: Otra forma: Hacemos primero la suma y a continuación la multiplicación. – 5 · (– 3 + 7) = – 5 · 4 = – 20 Multiplicamos el factor por cada sumando y después sumamos. – 5 · (– 3 + 7) = – 5 · (– 3) +(– 5) · 7 = +15 + (– 35) = – 20 El resultado es el mismo Luego: – 5 · (– 3 + 7) = – 5 · (– 3) + (– 5) · 7 Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos. Otro ejemplo: 15 · [– 10 +8 + (– 17)] Sumando antes: 15 · [– 10 +8 + (– 17)] = 15 · (– 19) = – 285 Multiplicando por cada sumando: 15 · [– 10 +8 + (– 17)] = 15 · (– 10) + 15 · 8 + 15 · (– 17) = – 150 + 120 + (– 255) = – 285

Tema: 3 8 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 8 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Factor común En la suma – 3 · 7 + (– 3) · (– 2) los sumandos son productos. En ambos se repite el factor – 3. Decimos que – 3 es factor común. Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda. Podemos escribir: Hemos sacado factor común. – 3 · 7 + (– 3) · (– 2) = – 3 · [7 + (– 2)] Otros ejemplos: (a) 5 · (– 10) + 5 · (– 17) (b) – 6 · (– 12) + (– 6) · 17 + (– 6) · (– 9) 5 · [– 10 + (– 17)] = 5 · (– 27) = – 135 El factor común es – 6 · [(– 12) +17 + (– 9)] = – 6 · (– 4) = – 24 Aparentemente no hay factor común. Pero (c) – 9 · 7 + (– 9) · (– 15) + 27 · 12 como 27 = – 9 · (– 3), se tiene: – 9 · 7 + (– 9) · (– 15) + (– 9 )· (– 3) · 12 = – 9 · [ 7 + (– 15) + (– 3 )· 12] = – 9 · (– 44) = 396

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 9 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 9 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Operaciones combinadas. Sin paréntesis Ejemplos: (a) La operación – 5 · 6 + (– 4) · 8 +30 – 30 + (b) Para hallar (– 32) + 30 = – 32 – 30 : 6 + (– 3) · 4 + 14 – 5 + debe realizarse en el siguiente orden: Primero hemos hecho los productos y después las sumas hay que seguir el siguiente orden: (– 12) + 14 = – 3 Primero divisiones y productos, después las sumas El orden de las operaciones es: 1º Multiplicaciones y divisiones. 2º Sumas y restas Otros ejemplos: 1º – 6 · (– 4) + (– 12) · 4 + (– 5) · (– 9) = 24 – 48 + 45 = 21 Operando en 2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 – 17) – 48 – 3 ·(– 5) = – 48 + 15 = – 33 el paréntesis Aplicando la propiedad distributiva 8 ·(– 6) – 3 · 12 – 3 · (– 17) = – 48 – 36 + 51 = – 33

Tema: 3 10 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 10 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Operaciones combinadas. Con paréntesis Ejemplos: (a) La operación – 12 + [8 + (– 14) : 2] + [– 7 + (– 9) · 5] Se hace así: – 12 + [8 + (– 7)] + [– 7 + (– 45)] – 12 + + 1 (– 52) = – 63 El orden a seguir es: 1º Operar dentro de los paréntesis 2º Hacer las multiplicaciones y divisiones. 3º Hacer las sumas y restas Otros ejemplos: 1º – 6 ·[ (– 4) + (– 12) ] + [4 + (– 5)] · (– 9) = – 6 · (– 16) + (– 1) · (– 9) = 96 + 9 = 105 2º. El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva – 6 ·[ (– 4) + (– 12) ] + [4 + (– 5)] · (– 9) = – 6 · (– 4) + (– 6) · (– 12) ] + 4 · (– 9) + (– 5) · (– 9) = 24 + 72 – 36 + 45 = 105 3º [15 : (– 5) + (– 2) ] + [ (– 8) · (– 3) + 10] + (– 5) = [(– 3) + (– 2) ] + [24 + 10] + (– 5) = – 5 + 34 – 5 = 24

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 11 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 11 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Operaciones combinadas. Resumen Resumimos con los siguientes casos: Caso 1: – 12 + (– 3) · (+4) + (– 9) = – 12 + (– 12) + (– 9) = – 33 Caso 2: [– 12 + (– 3)] · (+4) + (– 9) = (– 15) · (+4) + (– 9) = – 60 + (– 9) = – 69 Caso 3: – 12 + (– 3) · [(+4) + (– 9)] = – 12 + (– 3) · (– 5) = – 12 + 15 = 3 Caso 4: [– 12 + (– 3)] · [(+4) + (– 9)] = – 15 · (– 5) = 75 Observa que en todos los casos hay los mismos números y operaciones. Cambia la situación de los paréntesis

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 12 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 12 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Resolución de problemas Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a – 19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números? ¿Has advertido que Tantear para comprender mejor para que el producto sea Si los números suman – 19, uno podría ser – 29 y el otro 10. 60, los dos números deben Entonces, su producto sería: – 29 · 10 = – 290. ser negativos? No puede ser, pues su producto debe ser 60. ¿Por qué no valdrían dos números positivos? Primero: Segundo: Hacer una tabla Luego, los números buscados son – 4 y – 15. Tercero: Comprobación. La suma es: – 4 + (– 15) = – 19. Su producto vale: (– 4) · (– 15) = 60 Que son las condiciones requeridas.

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 13 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO

Tema: 3 Multiplicación de números enteros 13 Números 2001 - Matemáticas 1. º ESO Resolución de problemas Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? Primero: Segundo: Leer el enunciado y resumirlo. Hacer un dibujo explicativo. Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min. ? +25 durante 15 min. Hay 800 l Tercero: Hacer los cálculos. -30 800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725 Cuarto: Comprobación. Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = – 5) En 15 minutos: 15 · (– 5) = – 75. Quedan entonces: 800 – 75 = 725.