TEMA 2 Distribuciones bidimensionales Tablas de contingencia Regresin

TEMA 2: Distribuciones bidimensionales. Tablas de contingencia. Regresión lineal 2. 1 Distribución de frecuencias bidimensional 2. 2 Distribuciones marginales y condicionadas 2. 3 Dependencia e independencia estadística. Indicadores de asociación 2. 4 Regresión y correlación lineal 1

v 2. 1 Distribución de frecuencias bidimensional ♦ Ejemplo. X: “Peso”, Y: “Estatura” XY 140 -160 160 -180 180 -200 >200 Marginal X 40 -60 10 6 2 0 18 60 -80 8 12 6 2 28 80 -100 1 8 10 6 25 Marginal Y 19 26 18 8 71 ü Frecuencias Marginales de X Frecuencias Marginales de Y ü Frecuencias Condicionadas de X Frecuencias Condicionadas de Y 2

v 2. 2 Distribuciones marginales y condicionadas Ø Distribución marginal de X ♦ Distribución de la variable X: “Peso” X Y 140 -160 160 -180 180 -200 >200 Marginal X 2 0 18 40 -60 10 6 60 -80 8 12 6 2 28 80 -100 1 8 10 6 25 Marginal Y 19 26 18 8 71 3

Ø Distribución marginal de X ♦ Distribución de la variable X: “Peso” X Frecuencias Marginales 40 -60 18 60 -80 28 80 -100 25 71 ü Media Marginal de X ü Varianza Marginal de X ü Mediana Marginal de X 4

Ø Distribución marginal de Y ♦ Distribución de la variable Y: “Estatura” XY 140 -160 160 -180 180 -200 >200 Marginal X 40 -60 10 6 2 0 18 60 -80 8 12 6 2 28 80 -100 1 8 10 6 25 Marginal Y 19 26 18 8 71 5

Ø Distribución marginal de Y ♦ Distribución de la variable Y: “Estatura” Y Frecuencias Marginales 140 -160 19 160 -180 26 180 -200 18 >200 8 71 ü Media Marginal de Y ü Varianza Marginal de Y ü Mediana Marginal de Y 6

Ø Distribuciones de X Condicionadas a valores de Y ♦ Ejemplo. Distribución de X Condicionada a 160 < Y < 180 XY 140 -160 160 -180 180 -200 >200 Marginal X 2 0 18 40 -60 10 6 60 -80 8 12 6 2 28 80 -100 1 8 10 6 25 Marginal Y 19 26 18 8 71 7

♦ Ejemplo. Distribución de X Condicionada a 160 < Y < 180 X Frecuencias condicionadas 40 -60 6 60 -80 12 80 -100 8 26 ü Medias Condicionadas de X ü Varianzas Condicionadas de X 8

Ø Distribuciones de Y Condicionadas a valores de X ♦ Ejemplo. Distribución de Y Condicionada a 60 < X < 80 XY 140 -160 160 -180 180 -200 >200 Marginal X 40 -60 10 6 2 0 18 60 -80 8 12 6 2 28 80 -100 1 8 10 6 25 Marginal Y 19 26 18 8 71 9

♦ Ejemplo. Distribución de Y Condicionada a 60 < X < 80 Y Frecuencias condicionadas 140 -160 8 160 -180 12 180 -200 6 >200 2 total 28 ü Medias Condicionadas de Y ü Varianzas Condicionadas de Y 10

v 2. 4 Dependencia e independencia estadística. Indicadores de asociación Ø Independencia estadística § No hay relación entre las variables Ø Dependencia estadística § Hay relación entre las variables El grado de asociación se mide mediante los coeficientes de asociación 11

♦ Ejemplo. Variables X e Y Independientes XY Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 ni ● X 1 n 12 n 13 n 14 n 1 ● =2 =6 =4 =8 = 20 n 21 n 22 n 23 n 24 n 2 ● =3 =9 =6 = 12 = 30 n 31 n 32 n 33 n 34 n 3 ● =1 =3 =2 =4 = 10 n ● 1 n ● 2 n ● 3 n ● 4 n =6 = 18 = 12 = 24 = 60 X 2 X 3 n ●j Independencia estadística 12

♦ Ejemplo. Variables X e Y No Independientes XY Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 ni ● X 1 n 12 n 13 n 14 n 1 ● =3 =6 =4 =8 = 21 n 22 n 23 n 24 n 2 ● =3 = 10 =6 = 12 = 31 n 32 n 33 n 34 n 3 ● =1 =3 =2 =4 = 10 n ● 1 n ● 2 n ● 3 n ● 4 n =7 = 19 = 12 = 24 = 62 X 3 n ●j Independencia estadística 13

♦ Estadístico Chi-Cuadrado de asociación siendo las frecuencias teóricas que obtendríamos si las dos variables fueran independientes. Recordamos… Independencia estadística Si las variables fueran independientes, el coeficiente se anularía. Tiene el inconveniente de que depende del tamaño de la población. ♦ Estadístico T-Tschuprow de asociación Cuanto más se acerca a 1, mayor es la asociación 14

v 2. 4 Regresión y correlación lineal Definición de Covarianza Mide el grado de correlación lineal entre las variables X e Y. Si tienen una relación positiva, la covarianza será positiva y en el caso de una relación negativa, la covarianza será negativa. v Regresión Ø “Búsqueda de una función matemática sencilla que relacione ambas variables y sirva para predecir la variable de interés del problema” 15

ü Nube de puntos (diagrama de dispersión): gráfico de las observaciones (datos bidimensionales) Especificación de función de regresión üElección de la función de regresión : tipo de función que mejor se ajuste a la nube de puntos: Lineal , polinómica, exponencial…… v Correlación Estudio del grado de asociación entre las variables 16

Rectas de regresión v Recta de mínimos cuadrados de Y / X Y yj* yj y = a + bx * * * * eij (xi, yj* ) * * (xi, yj ) * * xi X Ecuaciones normales 17

v Recta de mínimos cuadrados de Y / X Ecuación de una recta: b = pendiente de la recta o coeficiente de regresión de Y / X “Variación de Y que se produce por cada unidad de aumento en X” a= ordenada en el origen 18

v Recta de mínimos cuadrados de X / Y d = coeficiente de regresión de X / Y “Variación de X si Y aumenta en una unidad” Propiedad: “Las dos rectas de regresión se cortan en el el punto “ 19

v. Coeficiente de determinación y coeficiente de correlación lineal v Coeficiente de correlación lineal de Pearson Es una medida del grado de relación lineal entre las variables X e Y 20

v. Coeficiente de determinación y coeficiente de correlación lineal v Coeficiente de determinación Ø “Proporción de la varianza explicada por la regresión” Como es la proporción de la varianza de Y, explicada por la regresión, proporciona una medida de la bondad del ajuste obtenido. En regresión lineal simple, este coeficiente coincide con el coeficiente de correlación lineal de Pearson al cuadrado, es decir: Propiedad: rectas de regresión. , donde b y d son las pendientes de las 21

♦ Ejemplo. X= “Estatura”, Y= “Peso” xi yi x i 2 Yi 2 160 52 8320 25600 2704 172 64 11008 29584 4096 174 65 11310 30276 4225 176 72 12672 30976 5184 180 78 14040 32400 6084 =862 = 331 = 57350 = 148836 = 22293 22

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Otros tipos de ajuste Ø Parabólico Ø Exponencial Ø Potencial Ø Hiperbólico 24