Tema 10 Expresiones algebraicas fraccionarias y radicales 1

Tema 10 Expresiones algebraicas (fraccionarias y radicales)

1ª Parte FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracciones algebraicas. Valor numérico El valor numérico de cualquier Una expresión algebraica no es más que una combinación de números y letras ligados polos símbolos de operaciones matemáticas, como: expresión algébrica se obtiene al sustituir las “letras” (indeterminadas en lenguaje matemático) por valores numéricos y efectuar las operaciones indicadas, y esta es una operación corriente en matemáticas: Cálculo de la superficie del círculo de radio 1 Solución de x 2+ 2 x -3=0 Expresión Valores de las indeterminadas Valor numérico final

FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es un cociente de polinomios EXEMPLO S: Como para cualquier expresión algebraica, el valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene cuando se sustituye cada una de las indeterminadas por un valor numérico, y se efectúan las operaciones. Expresión Valor de la indeterminada Los tipos de fracciones algebraicas están ligados a los tipos de polinomios: en los no vamos a estudiar más que los cocientes de polinomios enteros, y preferentemente con una sola indeterminada. Valor numérico final Ejemplo 2

EJEMPLO 3: Expresión Valor de la indeterminada Valor numérico final Debe recordarse que el valor numérico de una expresión cambiará se cambiamos los valores asignados a las indeterminadas. . Tomemos por ejemplo cambiemos los valores asignados a las “letras” y calculemos valores numéricos. En ocasiones no es posible calcular este valor No puede calcularse el resultado de una fracción de denominador nulo! x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0, 3125 -0, 4444 -0, 75 -2 #¡DIV/0! 0 0, 25 0, 2222 0, 1875 0, 16 0, 13888889 SUGERENCIA: Comprueba los resultados de la tabla utilizando una calculadora.

EXPRESIÓNS INDETERMINADAS. Se dice de una expresión que es indeterminada cuando su cálculo no es posible. Los matemáticos decidieron que las siguientes expresiones son expresiones indeterminadas: La indeterminación 0/0 es en realidad un caso particular de la primera (k/0) y es la única con la que hemos de tratar aquí Una raíz de índice par y radicando negativo como: Contrariamente a lo que pudiera pensarse, no es una expresión indeterminada. La raíz citada sí puede calcularse. De hecho, el problema de cálculo de las raíces cuadradas de números negativos ha originado una nueva clase de números, los números complejos, con los cuáles es posible calcular la raíz de cualquier índice de Los números complejos, intuidos cualquier número. ya por Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, y popularizados por Gauss en el XVIII, originaron una rama especial de las matemáticas conocida cómo análisis complejo.

Fracciones algebraicas equivalentes La definición corriente de fracciones numéricas equivalentes establece que lo son aquellas cuyo valor coincide. En el caso de fracciones algebraicas eso significaría que su valor numérico debe ser lo incluso, para cualquier valor por el que se sustituya la indeterminada. Consideremos las fracciones: Si consideramos los valores numéricos de estas fracciones en distintos casos observamos En general los valores coinciden, con todo existen valores que ofrecen discrepancias, ya que no se puede calcular el valor numérico de la fracción en ese caso. x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0, 3125 -0, 4444 -0, 75 -2 #¡DIV/0! 0 0, 25 0, 2222 0, 1875 0, 16 0, 13888889 -0, 3125 -0, 4444 -0, 75 -2 #¡DIV/0! 0, 25 0, 2222 0, 1875 0, 16 0, 13888889

Para evitar este problema se define la equivalencia de fracciones algebraicas como: Entonces: Obtención de fraccións equivalentes El procedimiento para obtener fracciones algebraicas equivalentes es similar al procedimiento para obtener fracciones numéricas equivalentes: se multiplicamos o dividimos numerador y denominador de una fracción algebraicas por un mismo polinomio, obtendremos una fracción algebraica equivalente: Multiplicando en cruz en: UN EJEMPLO SENCILLO Se tiene: Comprobándose que efectivamente son equivalentes Para obtener una fracción equivalente a: Simplemente multiplicamos numerador y denominador por el mismo polinomio

Al efectuar las operaciones indicadas obtenemos: : SOLUCIÓN: Factorizamos numerador y denominador por el procedimiento más simple: a) Resolviendo la ecuación: Fracciones equivalentes Simplificación de fracciones algebraicas La simplificación de fracciones consiste en lo contrario: en factorizar las expresiones complejas, y suprimir los factores comunes a numerador y denominador EJEMPLO: Simplifiquemos la fracción: b) Utilizando la factorización de polinomios

Hacemos lo mismo con el denominador: METODO 1 Factores de X+3 1 -3 1 X+2 -2 METODO II 5 6 -3 -6 2 0 -2 1 0 Obtenemos: Fracciones equivalentes Fracción simplificada Claro no es necesario factorizar empleando ambos métodos: con uno es suficiente. En ocasiones podremos factorizar de forma aun más sencilla, si podemos utilizar igualdades notables

Suma y diferencia de fracciones algebraicas SUMA Para efectuar una suma de fracciones algébricas procederemos básicamente al igual que para efectuar una suma de fracciones corrientes 1. - Factorizamos denominadores: 2. - Mínimo común múltiplo de los denominadores: 3. - Transformamos la expresión. 4. - Efectuamos la suma Ejemplo: 1. - Factorizamos denominadores:

2. - Mínimo común múltiplo de los denominadores: Mínimo=(x-1)(x+2)(x+3) Factores no comunes Factores comunes elevados al mayor exponente 3. - Transformamos la expresión. 4. - Efectuamos la suma

DIFERENCIA (RESTA) Dado que la diferencia no es sino la suma del opuesto, el procedimiento para efectuar una resta es el mismo que para efectuar una suma, igual que ocurría con las fracciones numéricas. EJEMPLO: 1. - Factorizamos denominadores: 2. - Mínimo común múltiplo de los denominadores: 3. - Transformamos la expresión. 4. - Efectuamos la resta 1 2 4 3

Producto y cociente La regla para multiplicar fracciones algébricas es la misma que la regla del producto fracciones numéricas. Se multiplican los numeradores, que formarán el nuevo numerador, y por otra parte el denominador será el producto de los denominadores. Análogamente al caso anterior, la división de fracciones algébricas es también idéntica a la división de fracciones numéricas. Se multiplican los dos extremos para obtener el nuevo numerador, y el producto de los medios los darán el denominador.

2ª parte EXPRESIONES RADICALES

Clase 76 DEFINICIÓN. VALOR NUMÉRICO Y EQUIVALENCIA DE RADICALES

Una expresión radical es una expresión que incluye una raíz. La raíz pode englobar varios términos o pode encontrarse en medio de la expresión. Valor numérico de una expresión radical es lo que se obtiene cuando se sustituyen las indeterminadas por valores numéricos Valor numérico cuando x=1 e y=2. Sustituimos las indeterminadas los pones sus valores, efectuamos las operaciones y obtenemos: x=1 y=2. Como podemos apreciar, esta definición es formalmente idéntica la todas las definiciones de valor numérico, con todo en el caso de las raíces, presenta una ambigüedad, ya que las raíces de índice par, con un valor numérico del radicando positivo ofrecerán dos resultados: un positivo y otro negativo. Cuando se nos pida el valor numérico de una raíz indicaremos el valor positivo, salvo petición explícita. Ejemplo: Valor numérico cuando x=2 e y=3.

RADICALES EQUIVALENTES La equivalencia de radicales se vincula al valor numérico: podríamos decir que dos expresiones radicales son equivalentes se ambas tienen el mismo valor numérico Esta definición presenta la ambigüedad anteriormente citada con respeto a los valores que se obtienen en raíces de índice par e impar. Abordaremos a continuación el problema de determinar la equivalencia de expresiones radicales y ver en que casos se presenta esta ambigüedad y como se resuelve. . Obtención de expresiones radicales equivalentes. La obtención de expresiones radicales equivalentes se rige por el incluso procedimiento que la obtención de radicales numéricos Ejemplo: Igualmente válida para expresiones radicales. Debe tenerse en cuenta que al decir exponente del radicando nos referimos a este en su conjunto. En el caso de radicales complejos:

Valor numérico y equivalencia Formalmente: Ambas son raíces equivalentes, como explicamos. Con todo la raíz de índice par siempre nos ofrecerá dos valores como resultado, mientras que la de índice impar solamente nos ha dar uno. A pesar de esto, mantenemos la definición de equivalencia, ya que uno de los resultados de la raíz par siempre coincide con el resultado del índice impar: Con esto en cuenta podemos definir las expresiones radicales equivalentes cómo:

Clase 77 SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN DE RADICALES A ÍNDICE COMÚN. INTRODUCIR Y EXTRAER FACTORES

Simplificación y redución de radicales A simplificación y reducción son procedimientos para obtener radicales equivalentes más simple Se basan en la propiedad: Que pode escribirse igualmente: Si se multiplican o dividen el índice y el exponente del radicando de una expresión radical por un mismo número se obtienen radicales equivalentes EXEMPLOS: Radicales equivalentes a La obtención de radicales equivalentes pode hacerse de las dos maneras: multiplicando obtenemos una más compleja, dividiendo una más simple. Simplificar radicales es obtener una expresión radical equivalente de menor índice.

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES La simplificación de radicales consiste en reducir al máximo mediante este procedimiento los exponentes del radicando y el índice de la raíz, dividiendo todos estos entre su máximo común divisor, de la misma forma que se hace con números. REDUCIÓN A ÍNDICE COMÚN Es un procedimiento previo a operaciones como la suma o la diferencia, o a la aplicación de propiedades que permiten la realización de operaciones como el producto o el cociente. . Exemplo: MCD (12, 6, 8, 2)=2 se realiza tomando cómo índice común el mínimo común múltiplo de los índices considerados, este se divide entre el índice de cada raíz y el resultado es el exponente del radicando:

Introducir factores en una expresión radical En el ejemplo queremos introducir x 2 dentro de la raíz Explicaremos simplemente el procedimiento sin justificarlo: Para hacerlo debemos elevar el factor al índice de la raíz Operamos las potencias

Extraer factores de una expresión radical Solo se pueden extraer factores elevados a exponentes mayores que el índice de la raíz Se dividimos el exponente interior entre el radicando, el cociente nos dará el exponente que sale de la raíz, y el resto lo queda en el interior Explicaremos simplemente el procedimiento sin justificarlo: Podremos extraer factores x e y porque 5 y 7 son >3 5 3 7 3 2 1 1 2 Que escribiremos realmente No podemos extraer factores z: 2<3

Clase 78 OPERACIONES CON RADICALES

Las operaciones aritméticas con expresiones radicales son formalmente idénticas a las operaciones numéricas: las reglas que estudiamos para los números siguen siendo válidas para las operaciones con expresiones algébricas Recordemos estas reglas: Las estudiaremos con más detalle y veremos algunos casos particulares 1 El producto de las raíces es la raíz del producto 2 El cociente de las raíces es la raíz del cociente 3 La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia 4 La raíz de una raíz es igual a la raíz de índice igual al producto de los índices

1 El producto de las raíces es la raíz del producto Ejemplo: En este caso: Aplicando: (n=2, que se omite) Reordenand o: a=x 3 y b=xy 2 El resultado obtenido debe expresarse extrayendo todos los factores que se pueda: En ocasiones se nos presentará el producto de radicales de distinto índice En estos casos habremos de reducir a índice común ambos radicales para efectuar luego el producto

2 El cociente de las raíces es la raíz del cociente Ej. EMPLO: También aquí puede darse el caso de cociente de radicales con diferente índice, Procederemos de la misma forma: reduciremos a índice común y simplificaremos, a ser posible, la expresión resultante: El cociente de expresiones radicales se realiza de la misma forma que el cociente de expresiones numérica El resultado obtenido debe expresarse extrayendo todos los factores que se pueda, si es necesario debe racionalizarse la expresión

3 La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia EJEMPLO: Elevar una expresión radical la una potencia es el incluso que elevar el radicando al mismo exponente aplicamos Una vez introducida la potencia en el radicando operamos siguiendo las reglas de las potencias y simplificamos la expresión radical extrayendo todos los factores posibles:

4 La raíz de una raíz es igual a la raíz de índice igual al producto de los índices Igual que en los casos anteriores, es suficiente con aplicar la regla y simplificar la expresión resultante siempre que sea posible Aplicamos: EJEMPLO : Estes cálculos pueden complicarse si los radicandos no son consecutivos, En estos casos hemos de ir introduciendo todos los elementos intermedios bajo el último radical, para obtener finalmente el índice resultante: Para introducir factores en la raíz deben elevarse al índice: la siete en este caso

Clase 79 RACIONALIZACIÓN

La racionalización en expresiones radicales se realiza de la misma forma que en las expresiones numéricas. Su objeto es facilitar el cálculo de los valores numéricos en las expresiones radicales que incluyan cocientes Para eliminar raíces cadradas Si en el denominador está presente una única raíz: Si en el denominador hay una suma o una resta Se multiplica numerador y denominador por el binomio conjugado del denominador : Operando: Se multiplica numerador y denominador por esa raíz: Se llama binomio conjugado al ligado por la operación contraria: Conjugado de a+b a-b de a-b a+b Operamos: Conjugado de

Raíces no cuadradas (de índice superior a dos) Se multiplica el denominador por la raíz del mismo índice que el radicando elevado a las unidades que falten a la potencia del radicando para eliminar la raíz: Para llegar a 53 necesito multiplicar por 52 Para llegar a z 3 necesito multiplicar por z En consecuencia, multiplico y divido por Operando