Tema 1 Sucesiones y series numricas Clculo Infinitesimal

Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Sucesión V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 1 Una sucesión (numérica) {an}={a 0, a 1, a 2, …} consiste en una función A los valores funcionales a 0, a 1, … se les denomina términos de la sucesion y a an término general de la sucesión. La sucesión se dice acotada si existe M>0 tal que |an|<M para todo n. La sucesión es monótona creciente si a 0≤a 1≤…Caso de que a 0≥a 1≥… se habla de sucesión monótona decreciente. A la hora de determinar la monotonía, se puede optar por trabajar una desigualdad, o bien estudiar el crecimiento de la función asociada. Ejemplos: dos sucesiones acotadas, la primera monótona decreciente, la segunda monótona creciente:

Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal La sucesión se dice convergente (a L) si existe un número real L tal que todos los términos de la sucesión a partir de uno dado están tan próximos a L como se desee. V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 2 Formalmente, La sucesión se dice divergente si el límite existe y es infinito. Se dice oscilante si no existe el límite. Ejemplos:

Propiedades Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Sean {an} y {bn} dos sucesiones tales que V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 3 Entonces: INDETERMINACIONES

Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Propiedades V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 4 Dada {an} sea f : Ñ Ñtal que f(n)=an para cualquier entero no negativo n. Entonces, En, particular, se puede tratar de aplicar la regla de L’Hopital a f(x), ¡¡pero nunca a la propia sucesión {an}!! Ejemplo:

Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Teorema del. Sandwich V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 5 Dadas {an} y {bn} convergentes al mismo límite L, y una tercera sucesión {cn} tal que an≤cn≤bn para todo n, entonces Ejemplo: órdenes de convergencia

Propiedades Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Dada una sucesión {an}, se tiene que V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 6 Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Ejemplo: Es claro que se trata de una sucesión acotada: 0≤bn≤ 2 Más aún, {b 2 n} y {b 2 n+1} son monótonas.

Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Criterio de. Stolz V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 7 Sean {an} y {bn} dos sucesiones. Si se cumple: 1. {bn} es estrictamente monótona 2. Bien {bn} diverge, bien Entonces: Ejemplo: demostrar que si existe

Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Series V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 8 Una serie es la sucesión formada por las sumas parciales de una sucesión. Formalmente, dada {an}, se puede formar las sumas parciales Sn=a 1+…+an, que dan lugar a la sucesión {Sn}. Como cualquier sucesión, la serie se dice convergente si Se llama resto n-ésimo de la serie a la suma La serie se dice de términos positivos si an≥ 0 para todo n. La serie se dice alternada si es de la forma

Ejemplos de series Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Sea N un número entero ó 0. V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 9 1. Serie geométrica de razón r: 2. Serie telescópica basada en la sucesión {bn} 3. Las p-series

Aritmética de series como sucesiones Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Sean {an} y {bn} dos sucesiones tales que V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 10 Entonces: Condición necesaria de convergencia

Análisis de la convergencia de series de términos positivos Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Criterio de comparación (directa) V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 11 Sean {an} y {bn} dos sucesiones tales que 0≤an≤bn para todo n≥N entero. En estas circunstancias: 1. Si la serie asociada a {bn} converge, entonces asimismo converge la serie asociada a {an}. 2. Si la serie asociada a {an} diverge, entonces asimismo diverge la serie asociada a {bn}. Ejemplos:

Análisis de la convergencia de series de términos positivos Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Criterio de comparación (por paso al límite) V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 12 Sean dos series tales que 1. Si L>0 finito, entonces las series tienen el mismo carácter: o ambas convergen, o ambas divergen. 2. Si L=0, entonces 3. Si L es infinito, entonces Ejemplo: (se suele comparar con las p-series)

Análisis de la convergencia de series de términos positivos Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Criterio del cociente V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 13 Sea una serie, tal que 1. Si L<1, entonces la serie converge. 2. Si L>1, entonces la serie diverge. 3. Si L=1, la serie puede tanto converger como diverger.

Análisis de la convergencia de series de términos positivos Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Criterio de la raíz V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 14 Sea una serie, tal que 1. Si L<1, entonces la serie converge. 2. Si L>1, entonces la serie diverge. 3. Si L=1, la serie puede tanto converger como diverger.

Análisis de la convergencia de series de términos positivos Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Criterio de Raabe V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 15 Sea una serie, tal que 1. Si L>1, entonces la serie converge. 2. Si L<1, entonces la serie diverge. 3. Si L=1, la serie puede tanto converger como diverger.

Análisis de la convergencia de series de términos positivos Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Criterio Integral V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 16 Sea f: Ñ Ñuna función positiva, continua y decreciente para x≥N, y sea la sucesión {an}={f(n)}, para n≥N entero. Entonces las expresiones siguientes o convergen ambas o divergen ambas: Ejemplo: p-series

Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Criterio de. Leibnizpara la convergencia de series alternadas Una serie alternada es convergente si y sólo si la sucesión de términos positivos {an} asociada es monótona decreciente y convergente a 0. Análisis de la convergencia en cualesquiera series Toda serie absolutamente convergente es convergente. V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 17 OJO: La suma de una serie convergente que no converge absolutamente depende de la ordenación de la serie.

Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Sumaciónde series V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 18 OJO: La suma de una serie convergente que no converge absolutamente depende de la ordenación de la serie. Reordenando los términos de modo que a cada positivo le sigan dos negativos

Sumaciónde series de términos positivos Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Dada una serie convergente V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 19 es claro que Método de lamayorante dos series convergentes tales que y T es conocido. Entonces Este mismo criterio se puede aplicar para series de términos no necesariamente positivos absolutamente convergentes, tomando como sucesión mayorante {bn}={|an|}.

Sumaciónde series de términos positivos Tema 1: Sucesiones y series numéricas Cálculo Infinitesimal Método del cociente V. Álvarez M. D. Frau Tema 1: 20 Sea con Entonces Método integral Sea f: [N, ∞) Ñmonótona decreciente con f(n)=an para n≥N. Entonces