Tema 1 Introduccin y errores Indice q Introduccin

Tema 1 : Introducción y errores Indice: q Introducción. q Tipos de errores. q Algoritmos y convergencia.

INTRODUCCIÓN(1) • Una definición de Análisis Numérico : Desarrollo y estudio de procedimientos matemáticos para resolver problemas con ayuda del ordenador. • Ventajas : Se pueden resolver de forma aproximada problemas que no tienen solución en el Análisis Matemático tradicional. Las únicas operaciones que se realizan son +, -, *, / y comparaciones. Los resultados son siempre numéricos. • Problemas que se estudian : Resolución de ec. No lineales, Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales, Interpolación y Aproximación de funciones, Derivación e Integración de funciones, Resolución de EDO y de EDP (Mdo. Elementos Finitos), Optimización. • Software utilizado: Para realizar la gran cantidad de operaciones es necesario escribir un programa utilizando un lenguaje como FORTRAN, C, C++, . . También se puede utilizar un software matemático como MATLAB, MAPLE, Mathematica o Derive, que permiten el cálculo numérico y simbólico, trabajar con valores exactos o hacer representaciones gráficas de forma muy sencilla, a la vez que incorporan comandos como Do, For o While que permiten repetir muchas veces un conjunto de operaciones.

INTRODUCCIÓN(2) • Notación científica: Representación en coma flotante. • Nº cifr. significat : bits mantisa • Precisión: bits exponente.

ERRORES (1) TIPOS DE ERRORES • Error absoluto y relativo • Error de redondeo. – Redondeo simétrico – Truncamiento

ERRORES (2) • Error de truncamiento del método. PROPAGACIÓN DEL ERROR: EFECTO DE CANCELACIÓN • Consiste en la pérdida de cifras significativas. Se produce al restar dos cantidades muy parecidas. • Solución : Utilizar una expresión matemática equivalente que evite esa diferencia.

ALGORITMOS Y CONVERGENCIA(I) • Algoritmos. – Definición: Describe una sucesión de pasos en un orden especificado para obtener una solución exacta o aproximada. – Tipos: Directos e iterativos. • Orden de aproximación: “ Sea p(h) una función que aproxima a otra f(h), y sean M>0 y n tales que, si h es suficientemente pequeño: Entonces se dice que p(h) aproxima a f(h) con un orden de aproximación de O(hn) “

ALGORITMOS Y CONVERGENCIA(II) • Algoritmos estables e inestables. – Algoritmo estable : Un error pequeño en los datos de partida produce errores pequeños en los resultados finales. – Algoritmo inestable: en caso contrario. • Sea el error inicial y (n) el error al cabo de n operaciones, – (n)=n : crecimiento lineal. – (n)= kn : crecimiento exponencial. (k<1 : estable, k>1 inestable) • Incertidumbre en los datos: – Se conoce como ruido y afecta a cualquier cálculo numérico realizado.