Telproblemen overzichtelijk weergeven boomdiagram wegendiagram rooster maken alle

Telproblemen overzichtelijk weergeven boomdiagram wegendiagram rooster maken alle mogelijkheden systematisch uit schrijven 1. 1

Boomdiagram Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´experiment´. We voeren het volgende experiment uit: Het bestellen van een menu. Een restaurant heeft 3 verschillende voorgerechten, 5 hoofdgerechten en 3 desserts. Hoeveel verschillende menu’s kun je samenstellen? Dit gaan we schematisch uitschrijven in een boomdiagram.

Het boomdiagram Vb. aan de hand van het menu Wat kies je eerst? Welke keuzes heb je? Uit 3 voorgerechten Wat kies je vervolgens? Welke keuzes heb je nu? Wat kies je nu? Uit 5 hoofdgerechten Uit 3 nagerechten In totaal zijn er 45 verschillende menu’s te bestellen. Dit kun je uitrekenen door alle takken te tellen of de vertakkingen te vermenigvuldigen

Hoe maak je een boomdiagram ? 1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt 2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken 3 zet de volgorde achter de laatste takken Tip : Als je weet hoeveel takken er na de laatste keuze zijn zet dan dat aantal stippen eerst op papier en teken vervolgens terug. Dit i. v. m. de netheid. 1. 1

voorbeeld: Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets 1 e set 2 e set 3 e set N-N N wint N-G-N G wint N-G-G N wint G-N-N G wint G-N-G G wint geef aan hoe G in 3 sets wint G wint N wint G-G 1. 1

Wegendiagram Een boomdiagram kan erg groot en onoverzichtelijk worden. Dan kun je beter gebruik maken van een wegendiagram. We kijken weer naar het restaurant. Dit kunnen we ook als volgt weer geven: Eerste keus Tweede keus Derde keus Aantal keuzes 3 x 5 x 3 = 45

Wegendiagram kip soep ∙ ham ∙ ijs ∙ pizza cocktail ∙ meloen schnitzel 2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden vermenigvuldigingsregel 2 x 4 x 2 = 16 1. 1

De vermenigvuldigingsregel een gecombineerde handeling die bestaat uit 1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd 2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd 3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd kan op p x q x r manieren worden uitgevoerd 1. 1

Rooster maken je gooit met een rode en een groene dobbelsteen tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster som 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. 1

Systematisch de mogelijkheden noteren Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien. 1112 1121 1211 2111 1. 1

halve competitie je speelt maar 1 x tegen elkaar bv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden hele competitie je speelt 2 x tegen elkaar bv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 = 12 wedstrijden je speelt niet tegen jezelf A A X B X C X D X B C D A-B A-C A-D X X X B-C B-D 6 wedstrijden X X C-D X A B C D A X B C D A-B A-C A-D B-A X C-A C-B B-C B-D X D-A D-B D-C C-D X 12 wedstrijden 1. 1

De vermenigvuldigingsregel of de somregel kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren, dan kan : 1 handeling I EN handeling II op p x q manieren 2 handeling I OF handeling II op p + q manieren 1. 1

Herhaling het is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen zijn toegestaan zonder herhaling bijvoorbeeld bij een bestuur kiezen met herhaling het aantal mogelijke nummerborden 1. 2

Zonder herhaling Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris. Het aantal manieren is aantal = 5 eerst de voorzitter: keuze uit 5 personen × 4 = 20 dan de secretaris: keuze uit 4 personen 1. 2

Met herhaling In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters, hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan. Het aantal mogelijke nummerborden is aantal = 10 × 21 × 21 = 19. 448. 100 10 cijfers voor de eerste plaats 10 cijfers voor de tweede plaats 26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats 26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats enz. 1. 2

Tellen met en zonder terugleggen Een cijfer slot openen op de gok is een gebeurtenis waarbij je te maken hebt met een gebeurtenis met teruglegging. Voor elke ring heb je immers telkens 10 cijfers die je mag gebruiken ( Je telt met terug legging ) Hoeveel cijfer “combinaties” zijn er bij een cijferslot die uit drie ringen bestaat? Dat zijn er maar 10 x 10 = 103 = 1000 Hoe zit dat met de pin-code van je bankpas? Hoeveel mensen hebben er eigenlijk een pin-pas? ! ?

Permutaties en faculteiten een ander woord voor rangschikking is permutatie bij een permutatie mogen geen herhalingen optreden het aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingen van drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 x 7 x 6 het aantal permutaties van 4 uit 9 is 9 x 8 x 7 x 6 het aantal permutaties van 9 uit 9 is 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 de notatie voor dit product is 9! spreek uit : 9 faculteit kortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9! het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n! n ! = n x (n -1) x (n -2) x (n -3) x …… x 4 x 3 x 2 x 1 1. 3

Elke van de 5 personen die de kamer met acht stoelen binnen komt neemt ergens plaats. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Vraag je niet af hoeveel personen er plaats kunnen nemen op de eerste stoel Maar vraag je af welk stoelnummer kan je aan de eerste persoon koppelen? 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720

een volleybalteam bestaat uit 9 spelers a de fotograaf zet de spelers op een rij, hoeveel rijen zijn er? aantal = 9! = 362 880 b er wordt een aanvoerder en een reserve-aanvoerder gekozen aantal = 9 × 8 = 72 c shirts met de rugnummers 1 tot en met 6 aantal =9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 9 n. Pr 6 = 60 480 R– E T N r-E Opti – H T A on f 6 prob n. Pr casio n. P – PRB 6 M – – 2 9 – B R of –P H T MA – 9 6 TI

Een bedrijf gebruikt codes met de letters a, b, c, d, e en f. Bedenk een vraag waarop het antwoord luidt: a 6! op hoeveel manieren zijn de letters te rangschikken zonder herhaling van letters? . b 6× 5× 4 c 64 Hoeveel codes zijn er te maken met drie verschillende letters? hoeveel codes zijn er te maken met 4 letters? d 63 hoeveel codes zijn er te maken met 3 letters?

Mogelijkheden van n dingen waarvan er p gelijk zijn het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn (en de rest verschillend is) is n! p! 7! zo kun je de letters van het woord ADRIANA op = 840 3! manieren rangschikken n! p! = n n. Pr (n-p)

Permutaties en Combinaties Uit een groep van 7 mensen kies ik een bestuur met een voorzitter, penningmeester en secretaris. Hoeveel verschillende besturen kunnen er samengesteld worden? Stel jezelf weer de volgende vraag: Uit hoeveel mensen kun je kiezen als voorzitter? 7 Uit hoeveel mensen kun je nu kiezen als penningmeester en hoeveel als secretaris ? 6 Je hebt nu 7 x 6 x 5 = 210 verschillende permutaties. Het maakt bij een permutatie uit wie er op welke plaats staat. 5

Combinaties Bij het kiezen van een groep van drie mensen uit zeven krijg ik ik 210 permutaties. Op hoeveel manieren kan ik drie mensen neer zetten? Dit zijn 3 x 2 x 1 = 6 manieren. ABC ACB BAC BCA CAB CBA Van de 210 verschillende permutaties zijn er nu elke keer 6 permutaties van dezelfde 3 mensen. Als de plaats van een gekozen persoon of ding er niet toe doet moeten de verschillende permutaties van eenzelfde groepje niet meerdere keren meegeteld worden. Er zijn dan maar 210 / 6 = 35 verschillende combinaties Bij een combinatie is de volgorde van de gekozen permutaties onbelangrijk

Combinaties is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als 7 4 spreek uit : 7 boven 4 het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7 4 Opti on casio f 6 prob – TER 4 N n. Cr – H T A – B R P -E r C n 4 M – – 3 7 – B R of –P H T MA 7– TI 1. 3

Schema op hoeveel manieren kun je 5 dingen kiezen uit 8 dingen volgorde van belang ? s e ati Co in b m nee aantal = ‘ 8 boven 5’ ja herhaling toegestaan ? nee ja aantal = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 aantal = 8 x 8 x 8 Permuta ties en d e h jk eli g o M 1. 3

Wat is de naam van dit voorwerp ? ? !? 1. 3

Herhaling of toch anders ? !? Handig tellen en de rekenformules van de combinatoriek is belangrijk voor volgende hoofdstukken. Het volgende schema kan hier handig bij zijn Herhaling toegestaan Herhaling niet toegestaan Volgorde wel van belang n. Pr Volgorde niet van belang n. Cr

• Permutatie (volgorde) : Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit. • Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit. • Combinatie (groepje) : Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit. • Herhalingscombinatie: Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.

Voorbeelden • Pin code • Afspelen van 9 nummers van een CD • Toto voor een competitie met 13 wedstrijden • Voorzitter, secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 leden • Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28 • Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 dranken • Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnen • Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4 -6 • Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen • Verdeling van de kaarten bij klaverjassen • 4 rings’combinatieslot ‘ ? !?

Het aantal rijtjes bestaande uit A’s en B’s het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt : B A B dus er zijn 11 4 A = A B B B A B B 11 = 330 manieren 7 er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoort totaal zijn er 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211 1. 4

hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1 N en 2 O’s 3 = 3 mogelijkheden 1 van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s 5 dat zijn = 5 mogelijkheden 2 het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus dat zijn 3 1 x 5 2 Noord Routes in een rooster ∙C ∙ B A∙ Oost = 3 x 5 = 15 van A naar B EN van B naar C dus vermenigvuldigen 1. 4

Algemeen ∙ het aantal routes zonder omwegen van A naar B in het rooster hiernaast is B 8 3 afspraak in deze paragraaf bedoelen we met routes in een rooster altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er meestal niet bij A∙ 1. 4

Onvolledige roosters. Bij onvolledige roosters zal er bij elk kruispunt het aantal mogelijkheden om er te komen. Je kunt het niet berekenen met 4 1 2 3 1 1 64 184 8 28 64 120 8 20 36 56 8 12 16 20 4 4 0 n r 1 4 4 4

De driehoek van Pascal • in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan • elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen • in de 4 e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen 4 , 4 , 4 en 4 0 1 2 3 4 • de som van de getallen in de vierde rij is 24 rij 0 rij 1 1 rij 2 1 rij 3 rij 4 1 = 20 1 1 1 2 3 4 2 = 21 1 3 6 4 = 22 1 8 = 23 1 4 1 16 = 24 1. 4