Tellen van Stemmen FEB Studiedag Leraren Wiskunde 6

Tellen van Stemmen … FEB, Studiedag Leraren Wiskunde, 6 mei 2010 Luc Lauwers

Notatie • Kiezers : N = {1, 2, …, n} • Alternatieven : A = {a, b, …} (eindig) • Elke kiezer ordent de alternatieven. a > b, – Is even goed : a ~ b, – Is beter dan : – Volledig en transitief.

Profielen • Zij P de verzameling van alle volledige en transitieve relaties in A. • Profiel : p = (>1, >2, …, >n). • P n is de verzameling van alle profielen.

Stemprocedure • F: n P (>1, …, >n) | A F(>1, …, >n) • Meerderheidsregel : – noteer voor elke kiezer het unieke alternatief dat bovenaan staat, – het alternatief dat het meest voorkomt, wordt sociaal gekozen.

Twee alternatieven • A = {a, b} • P: a>b • +1 of b>a -1 of a~b 0 • Profiel : p = (+1, 0, +1, -1, 0).

Wenselijke eigenschappen • Zij F een stemprocedure. • • Anonimiteit, Neutraliteit, Monotoniciteit, …

Anonimiteit • De naam van de kiezer is niet relevant. • Voor alle profielen p en q in P n , • Indien p en q aan elkaar gelijk zijn op de volgorde na, dan F(p) = F(q).

Neutraliteit • De naam van het alternatief is niet relevant. n • Voor elke p in P , voor alle a en b in A • Zij F(p) = a. • Wissel overal in het profiel a en b om en bekom profiel p’. • Dan F(p’) = b.

Monotoniciteit • Zij p een profiel, zij F(p) = a. • Bekom een profiel p’ vanuit p door meer steun te geven aan a. – bij elke kiezer stijgt (zwak) alternatief a in de ranking. • Dan F(p’) = a.

Meerderheidsregel, A = {a, b} en P = { +1, -1, 0 }. n • Zij F : P P een stemprocedure. • Sterke monotoniciteit – Zij p een profiel met F(p) in {0, +1}. – Zij p’ > p (ongelijkheid in Rn). – Dan F(p’) = +1. • Alternatief a krijgt meer steun. De sociale “ordening” beweegt van {0, +1} naar +1.

Meerderheidsregel, A = {a, b} en P = { +1, -1, 0 }. • Stelling. n • Zij F : P P een anonieme, neutrale, en sterk monotone stemprocedure. • Dan F(p) = +1 zodra het profiel p méér +eentjes bevat dan –eentjes.

Bewijs • F is anoniem. Zij p een profiel. • De uitkomst F(p) wordt volledig bepaald door p+ = aantal keer +1 in p, – p- = aantal keer -1 in p, – p 0 = aantal keer 0 in p. – • F is neutraal. F(-p) = - F(p). – herinner +1: a > b, -1: b > a, 0: a ~ b.

• Neem een profiel p waarvoor p + = p -. • De profielen p en -p zijn op de volgorde na aan elkaar gelijk. • Anonimiteit: F(p) = F(-p). • Neutraliteit: F(-p) = - F(p). • Dus F(p) = 0.

• Neem een profiel q met q > q -. + • Zij p een gepast profiel met p = p- = q-. • Uit de vorige stap: F(p) = 0. • Vermits q > p (in Rn) geldt F(q) = +1. + – Gebruik sterke monotoniciteit. • Een profiel q met q + < q-. Op dezelfde wijze. □

Referendum? • Europese grondwet : vóór of tegen. • Lange Wapper : vóór of tegen. • Complexe dossiers herleiden tot vóór of tegen. • Niet zinvol.

Drie alternatieven, A = {a, b, c} • Meerderheidsregel ? • Voorbeeld : 21 kiezers • Alternatief: a Aantal kiezers : 3 a 5 b 7 c 6 • Meerderheidsregel: a heeft 8 kiezers.

Volledige informatie • # Kiezers : 3 • Alternatief : a 5 a b c c b • • 7 b c a 6, totaal 21. c b a a versus b : 8 tegen 13, dus b >sociaal a. a versus c : 8 tegen 13, dus c >sociaal a. b versus c : 10 tegen 11, dus c >sociaal b >sociaal a.

Condorcet-regel • Paarsgewijs aftoetsen van alternatieven. • Meerderheidsregel : a. • Condorcet : c >sociaal b >sociaal a, • Condorcetverliezer : a. • Meerderheidsregel (3 of meer alternatieven) zet soms een Condorcetverliezer bovenaan.

Condorcet lukt niet altijd • # Kiezers : 6 • Alternatief : a b c 5 c a b 4 b c a 2, b a c totaal 17. • a versus b : 11 tegen 6, dus a >sociaal b. • a versus c : 8 tegen 9, dus c >sociaal a. • b versus c : 12 tegen 5, dus b >sociaal c. • a >sociaal b >sociaal c >sociaal a.

Condorcet consistentie • Vorig voorbeeld : Condorcet paradox. • Arrow’s theorema. • F is Condorcet consistent : • Voor elk profiel p met een Condorcet winnaar, geldt F(p) = Condorcet winnaar. • Meerderheidsregel {a, b} is Condorcet consistent.

Meerderheid met runoff 6 • Alternatief : a b c • # Kiezers : 5 c a b 4 b c a 2, b a c totaal • Eerste ronde : c niet weerhouden. 17.

Meerderheid met runoff 6 • Alternatief : a b 5 4 2, totaal 17. □ b b a □ • Tweede ronde : a wint (11 tegen 6). • # Kiezers :

Meerderheid met runoff ? ? 6 • Alternatief : a b c • # Kiezers : 5 c a b 4 b c a 2, totaal 17. a (ipv b) b (ipv a) c • Eerste ronde : b niet weerhouden. • Tweede ronde : c wint (9 tegen 8). (ipv a).

Meerderheid met runoff ? ? • Is niet monotoon. • F(p) = a. • Alternatief a krijgt meer steun (profiel p’). • F(p’) = c.

Borda regel 7 • Alternatief : a b c • # Kiezers : 7 b a c 1, c a b • Score a : 14+7+1 = 22. • Score b : 7+14 = 21. totaal 15. Borda-score 2, Borda-score 1, Borda-score 0. Score c : 2. Borda-winnaar: a.

Borda regel 7 • Alternatief : a b c • # Kiezers : 7 1, b c c a a b • Score a : 14+1 = 15. • Score b : 7+14 = 21. totaal 15. Borda-score 2, Borda-score 1, Borda-score 0. Score c : 9. Borda-winnaar: b.

Manipuleerbaarheid • Groepje van 7 “liegt”. • In plaats van b > a > c (ware voorkeur), • reveleren ze b > c > a. • De Borda-winnaar beweegt van a naar b. • Incentief om te liegen. • Meerderheidsregel {a, b} niet manipuleerbaar.

Simpson-regel monotoon én Condorcet-consistent • # Kiezers : 3 3 • Alternatief : a a d d c b b c 5 d b c a • Paarsgewijs aftasten: a 4, b c a d totaal • a > b: 6, a > c: 6, a > d: 10. 15.

• # Kiezers : 3 3 • Alternatief : a a d d c b b c • a > b: 6, a > c: 6, • b > a: 9, b > c: 12, • c > a: 9, c > b: 3, • d > a: 5, d > b: 11, 5 4, totaal 15. d b b c c a a d a > d: 10. b > d: 4. c > d: 4. d > c: 11. • Hoogste “laagste score”: alternatief a.

• # Kiezers : 3 3 5 4 4 totaal 19. • Alternatief : a a d b c d d b c a c b c a b b c a d d • a > b: 10, a > c: 6, a > d: 14. • b > a: 9, b > c: 12, b > d: 8. • c > a: 13, c > b: 7, c > d: 8. • d > a: 5, d > b: 11, d > c: 11. • Hoogste “laagste score”: alternatief b. • Oorspronkelijk profiel: alternatief a.

The no show paradox • Oorspronkelijk profiel: alternatief a. • Indien deze vier kiezers komen opdagen, • dan alternatief b. • Deze vier kiezers: c > a > b > d. • Door weg te blijven, steun geven aan a. • … Kiezen en Verliezen.

Stelling • Joaquin Pérez (2001) • “The strong no show paradoxes are a common flaw in Condorcet voting correspondences” • Social choice and welfare 18: 601 -616. • Verdere literatuur: Donald Saari.