Telescopio interferometrico a fibre ottiche F Strumia Dip

Telescopio interferometrico (a fibre ottiche) F. Strumia - Dip. Di Fisica-Pisa Viene descritto un nuovo tipo di telescopio in cui l’immagine è costruita per interferenza. I singoli pixels sono raccolti separatamente e riposizionati mediante fibre ottiche. L’immagine è la figura di interferenza. 1. Introduzione, modo di funzionamento 2. Immagine: caratteristiche 3. Potere risolvente 4. Come migliorare e semplificare l’immagine 5. Costruzione pratica Versione del 31. 03. 11 – strumia@df. unipi. it

Da Newton in poi si è sviluppata la tendenza e la necessità di aumentare le dimensioni dello specchio Primario, sino a raggiungere il limite della tecnologia. OWL: 100 m tel. TMT: telescopio da 30 m

La complessità dei telescopi, il loro costo e le difficoltà costruttive sono continuamente aumentati sino a divenire proibitivi. Per es. il progetto del TMT ( D=30 m) stima un costo di circa 109 $. Altri progetti simili prevedono costi analoghi o superiori. L’idea base del telescopio a fibre ottiche è di raccogliere separatamente i singoli Pixels, di avvicinarli ed ottenere una immagine per interferenza. Se si raccoglie la luce con lenti a distanza D e si avvicinano le fibre sino a d, una differenza di fase δ nella luce entrante viene amplificata nella figura di interferenza del fattore: Δ= δ D/d luce

Questa possibilità è già utilizzata in radioastronomia In questo caso : λ = 74 cm. Il trasferimento del metodo in campo ottico, visibile ed infrarosso, permetterebbe di: 1. - incrementare la qualità dei risultati (luminosità e risoluzione), 2. - avere immagini dirette per interferenza ottica, 3. - ridurre le dimensioni ed il peso per rendere possibile il posizionamento nello spazio.

Esempi di radio telescopi

Il possibile schema consiste nel terminare le fibre ottiche in un piano (non di qualità ottica) ed osservare, nel piano focale di una lente, la figura di interferenza all’infinito. Il prisma Per compensare il cromatismo. Le fibre possono essere messe in fase mediante il comando di attuatori di fase ed un opportuno software che ottimizzi il contrasto dell’immagine

Trasmissione di fibra commerciale in Si. O 2

L’immagine è periodica L’immagine di interferenza è periodica e si ripete quando la differenza di cammino ottico all’ingresso cambia di λ. L’angolo di ripetizione dell’interferenza vale dunque: Θ =λ/D e può essere molto piccolo ( se λ=1 µm e D=1 m ≈ θ= 10 -6 rad. Circa 0. 206 arcsec) s. 19

Immagine interferenziale di N sorgenti puntiformi lineari. La luce viene raccolta da una lente e l’immagine si osserva nel suo piano focale. Nei testi di ottica il reticolo di diffrazione, semplificato come una linea di sorgenti puntiformi equidistanti b, viene calcolato dal modulo della somma dell’ampiezza complessa. Si ottiene : Da Möller: ”Optics”-1988 Univ. Science Books

La fig. di interferenza nella direzione θ è data dalla somma delle ampiezze complesse Il sistema ha simmetria cilindrica lungo l’asse y. Il modulo quadro da l’intensità

Si ottiene la classica eq. del reticolo di diffrazione: Dove: A 2 è l’intensità della singola sorgente , N il numero delle sorgenti disposte lungo una linea: L’intensità del max. vale I= (AN)2 , mentre la larghezza del piccosi riduce come 1/N. N=2 A=4 N=3 A=9 N=4 A=16 N=5 A=25

Se si usano due reticoli incrociati a 90º, il secondo concentrerà La riga del primo in uno od una serie di punti in cui l’energia Sarà proporzionale ad AN 4.

Nel caso di sorgenti disposte nel piano x, y, la differenza di cammino ottico δ dipende dalla loro distanza e dagli angoli θ e φ(rispetto alla normale al piano): = x+ y In generale = x+ y. =bx. Sin(θ) +by Sin(φ) ≈ bxθ +by φ z

O Possiamo considerare due casi: Disposizione a croce o disposizione in una griglia quadrata Regolare di punti luminosi. In entrambi i casi L’intensità della figura di diffrazione è data dall’equaz (Sommerfel: Optics p. 185). O O O X≈ dθ ; y≈ dφ O O

Griglia quadrata di punti Nel reticolo quadrato l’intensità del picco cresce con N 4 QUADRATO 5 X 5 : I=25 x 25 =625

Immagine di interferenza di 4+4 punti di uguale intensità I: l’intensità delicco è I=16 x 16=256 I.

Figura di interferenza di un quadrato di 10 x 10 punti: L’intensità del picco vale 104 =10 000 volte l’intensità raccolta da un Singolo elemento. Il contrasto è inoltre maggiore. La figura è periodica, L’intensità diminuisce Lateralmente secondo la fig. di diffrazione della sezione della fibra

Sulla diagonale tra i picchi di max. il contrasto è elevato: Quadrato 10 x 10, Max. =10 000, il contrasto è 10000 s. 14

Esempio di figura di diffrazione da una griglia quadrata e regolare di punti Da: R. Hoover Am. J. Phys. 37: 871 -876 (1969) L’immagine è cromatica perché la posizione angolare del massimo è proporzionale a λ. Si ha un max. per λ e per 2 λ. In questo intervallo la risoluzione è ≈N. Ne segue che la dispersione cromatica dell’immagine è piccola e basta un modesto filtro interferenziale (∆λ⁄λ ≈ 1/N) per compensarla. Alternativamente si può usare un prisma di piccolo angolo ed opportuna dispersione, messo dopo la lente

La risoluzione nell’immagine è la stessa del reticolo di diffrazione, cioè N. Se si usano N sorgenti il potere risolvente (PR) risultante è PR≅ λ/ (DN) In realtà PR (Tel. int. )≥ 1. 5 λ/ (DN) Questo è da confrontare con quello di una lente di diametro D dato dalla diffrazione PR(lente)≅ 1. 22 λ/ D Il P. R. è quindi superiore del fattore N rispetto ad una ottica convenzionale. Tuttavia la dimensione del tel. Interf. È DN e tutto torna in quanto di avrebbe un P. R. pari a circa una lente di diametro ND.

Fig. di interferenza di 2 sorg. Puntiformi nel caso di un quadrato di 10 x 10 fibre ed una differenza di fase di π/10 rad. s. 2

In realtà il PR è circa 1, 5 volte superiore (dipende dalla definizione di PR) Interferenza di 2 sorgenti Puntiformi con 10 x 10 fibre ed una diff. di fase di π/15 rad. s. 24 Plot 3 D[(Sin[10 x]/Sin[x])^2*(Sin[10 y]/Sin[y])^2 + (Sin[10 (x + 0. 3)]/ Sin[x + 0. 3])^2*(Sin[10 (y + 0. 3)]/Sin[y + 0. 3])^2, {x, -1, 5}, {y, -1, 4}, Plot. Points -> 50,

Per il tel. Interf. si ha: PR= 1. 5λ/(ND), ma la sua dimensione è ND per cui il PR è di circa uguale a quella di uno specchio di diametro ND. L’immagine è cromatica perché la posizione angolare del massimo è proporzionale a λ. Si ha un max. per λ e per 2 λ. In questo intervallo la risoluzione è ≈N. Ne segue che la dispersione cromatica dell’immagine è piccola e basta un modesto filtro interferenziale (∆λ⁄λ ≈ 1/N) per compensarla. Alternativamente si può usare un prisma di piccolo angolo ed opportuna dispersione, messo dopo la lente Una proprietà importante Il tel. Interferenziale dovrebbe essere poco sensibile alle fluttuazioni di n causate dalla turbolenza dell’atmosfera:

La turbolenza dell’atmosfera e le conseguenti variazioni di n riducono il potere risolvente dei Telescopi convenzionali, in quanto una sorgente puntiforme fluttua attorno ad un certo angolo In funzione della turbolenza. Nelle migliori condizioni di seeing raramente si raggiunge un PR Equivalente ad una apertura di circa 0. 5 m. Nel telescopio Interf. questo effetto è Probabilmente ridotto perché l’immagine è costruita solo sui ritardi di fase della luce in arrivo e non dallo spostamento del punto. Posizionando attivamente le fibre l’effetto del tremolio dell’immagine viene eliminato e rimane solo la fluttuazione di dn/dλ. Per questo basta un puntamento attivo della fibra mediante attuatori x-y. Resta la variazione di dispersione dn/dλ dell’atmosfera. dn/dλ è sensibile in vicinanza di righe o bande di assorbimento ma in un punto intermedio tra le bande di assorbimento, dn/dλ è piccolo. Quindi in queste zone spettrali si possono avere immagini assai poco influenzate dalla turbulenza dell’atmosfera. Indice n tra due righe di assorbimento in a. u. ; Nel punto intermedio Si ha un punto di flesso col minimo di dispersione

Purtroppo non ci sono dati sulla turbolenza di n dell’atmosfera Per n si ha questo dato per l’atm standard (n-1)x 108 = 8342. 13+2406030(130 -σ2)-1 +15997(38. 9 -σ2)-1 Dove σ è il numero d’onda in µm-1, da: (Edlen B. -1966, “The refractive index of air”, Metrologia 2: 71 -79) Per es. in un intervallo di 100 nm a λ=1 µm si ha ad 1 atm di densità. Δn=35. 8 x 10 -8

• • • Per avere queste figure di interferenza, le fibre devono essere in fase. Non importa che ingresso ed uscita siano disposti su una superficie di qualità ottica. • • Se si possono mettere in fase non serve nessuna lavorazione di qualità ottica. Per avere un’immagine della sorgente basta che tutte le fibre abbiano la stessa fase. Come mettere in fase le fibre?

3 punti in fase: l’aggiustamento della fase del terzo non dipende dalla fase dei primi due. 2 punti, variando la fase, l’immagine scorre lungo x

2 punti, sempre in fase I=4 3 punti in fase I=9

3 in fase Terzo sfasato Di π/2

4 punti: i primi 3 in fase, il quarto in fase per n=1

Tre in fase più un quarto punto: alla fase I=16

Terzo sfasato di 0. 9π Il max. non è 9 ma Circa 8. 5 Ne consegue che variando β sino a quando il max. = 9 si otterrà la messa in fase delle tre fibre. Questo agendo su un solo parametro. Quindi velocemente S. 46

È possibile aggiustare la fase a circa 0. 01π

Massimo di intensità in funzione della fase del terzo punto da o a π

Se c' è un errore di fase il picco è più basso, ma con lo sfasamento del terzo è sempre possibile la messa in fase corretta e questo procedendo a gruppi di tre. Procedendo di 3 in 3, si deve sempre controllare un solo parametro. Nel caso di N punti per la messa in fase si può fare cercando il max. del picco (I=N 2) aggiustando le singole fasi : non è chiaro se si converge e quanto rapidamente. Una soluzione è procedere a gruppi di 3+3 e poi 6+6, 12+12 etc. secondo lo schema: Ad ogni passo si controlla un solo parametro agendo Simultaneamente su tutte le fasi del gruppo precedente. Si dovrebbe andare più in fretta delle derive termiche. S. 45

Anche usando fibre di Si. O 2 , l’espansione termica è rilevante e cambia l’indice di rifrazione n e la lunghezza della fibra: a=1. 4 10 -7/ ˚C Per L=10 m e T=1˚C l ≈ 1. 4 mm > λ Una soluzione possibile è collocare le fibre in un mezzo ad alta capacità termica (H 2 O), ben isolato, in modo da avere un drift termico molto lento abbinato ad un programma di messa in fase sufficientemente veloce. Pa è un singolo elemento ottico di raccolta

Risoluzione nell’immagine La risoluzione nell’immagine è la stessa del reticolo di diffrazione, cioè N. Se si usano N sorgenti il potere risolvente (PR) risultante è PR≅ λ/ (DN) In realtà a seconda della definizione è unpoco superioe (Tel. int. )≈1. 5 λ/ (DN) quello di una lente di diametro D è dato dalla diffrazione PR(lente)≅ 1. 22 λ/ D Il P. R. è quindi superiore del fattore N rispetto ad una ottica convenzionale. Tuttavia la dimensione del tel. Interf. È DN e tutto torna in quanto di avrebbe un P. R. pari a circa una lente di diametro ND. Ovviamente la risoluzione angolare va moltiplicata per il rapporto D/d, che puo essere 105 O superiore.

Fig. di interferenza di 2 sorg. Puntiformi nel caso di un quadrato di 10 x 10 fibre ed una differenza di fase di π/10 rad. s. 2

Per il tel. Interf. si ha: PR= 1. 5λ/(ND), ma la sua dimensione è ND per cui il PR è di circa uguale a quella di uno specchio di diametro ND. L’immagine è cromatica perché la posizione angolare del massimo è proporzionale a λ. Si ha un max. per λ e per 2 λ. In questo intervallo la risoluzione è ≈N. Ne segue che la dispersione cromatica dell’immagine è piccola e basta un modesto filtro interferenziale (banda passante: ∆λ⁄λ ≈ 1/N) per compensarla. Alternativamente si può usare un prisma di piccolo angolo ed opportuna dispersione, messo dopo la lente

Come realizzarlo in pratica? Quale disegno costruttivo?

Schema base: la distanza tra i punti di raccolta è libera e viene scelta per ottimizzare il risultato I punti di raccolta ed entrata possono essere singoli Ed indipendenti o collettivi. Per quelli singoli si possono adattare piccoli strumenti Commerciali opportunamente modificati:

Per raccogliere i singoli punti si possono usare piccoli telescopi commerciali automatizzati nel puntamento s. 16

Movimento attivo x, y Lente fibra x y Nel piano focale va messo il movimento attivo x, y per assicurare un costante accoppiamento con la fibra e correggere le turbolenze dell’ atm. Nella fibra entra tutta l’informazione Necessaria, consistente nelle piccole differenze di fase tra le sorgenti. s. 1

L’immagine di interferenza si forma nel piano focale di una lente posta davanti all’uscita delle fibre Le fibre possono essere messe in fase mediante il comando di attuatori di fase ed un opportuno software che ottimizzi il contrasto dell’immagine Usando raccoglitori indipendenti posssono esserci difficoltà per un puntamento adeguato (strabismo), che deve essere molto preciso a causa della grande risoluzione possibile.

Nel caso di una croce di punti il telescopio può essere realizzato usando N+N piccoli Telescopi commerciali con puntamento automatico e modificati con accoppiamento attivo x-y alla fibra: è una soluzione poco costosa ed i tel. possono essere messi su rotaia per variare D , cioè la risoluzione, il campo visivo, od in orbita. Nel caso di un quadrato una soluzione pratica è costruire gli Nx. N elementi formati da una lente che alimenta la fibra fissata ad un movimento attivo x-y. Tutti i singoli elementi sono poi posizionati su un unico piano rigido per il puntamento. D Una soluzione semplice e conveniente s. 32

+Attenuatore variabile e regolatore di fase Schema di un singolo elemento di una struttura di Nx. N elementi

Nel calcolare l’immagine di interferenza abbiamo considerato solo una corrispondenza biunivoca tra ingresso ed uscita delle fibre ed usato punti equidistanti. In realtà esistono diversi parametri liberi sulla disposizione ed intensità dei punti: alcune disposizione possono essere vantaggiose per cambiare il periodo della figura.

Nel caso di una croce si ha un reticolo Ruotando gli assi di 45º con I max. =196 croce 7 x 7 ruotata di 45º croce 7 x 7

Combinando una croce e la sua rotazione di 45º: si ottiene un buon miglioramento dell’immagine e contrasto con un N minimo di punti. I max. = 28 x 28=784

Croce di 7 x 7 + Diagonali, che da la figura precedente

Nel calcolare l’immagine di interferenza abbiamo considerato solo una corrispondenza biunivoca tra ingresso ed uscita delle fibre e punti equidistanti. In realtà esistono diversi parametri liberi sulla disposizione ed intensità dei punti: alcune disposizione possono essere vantaggiose per cambiare il periodo della figura Se le distanze tra i punti sono uguali o multipli pari ed interi il periodo dell’immagine è 2π. Se si usano contemporaneamente periodi tra loro razionali è possibile aumentare il periodo dell’immagine a nπ. Interferenza di 9 punti equidistanti

4π 8 interi posti a: 0, 1, 2, 2. 5, 3, 4. 5, 5, 6. 5 2π Usando posizioni diverse Si può allargare il campo Di ripetizione dei massimi 8 punti equidistanti La larghezza del picco È invariata ma il campo raddoppia!

7 punti messi a: 0, 0. 5, 2. 5, 3, 4, 4. 5, 5

10 punti secondo: 0, 1. 5, 2, 2. 5, 3, 4, 4. 5, 5, 6, 7. Il periodo raddoppia! E così il campo di vista. La larghezza del picco non cambia e il R. P. raddoppia!

I=(7 x 7)2=2401 Disponendo i punti a quadrato frazionario raddoppia il campo e la risoluzione, ma rimangono piccole fluttuazioni residue da correggere con eventuale software.

Interferenza di 7 x 7 punti equidistanti

Combinando passi diversi si puo allargare il campo di vista: N=16 punti. Periodo 10π anziché 2π. Disponendo in quadrato:

Disponendoli in quadrato:

Si ha un campo di vista 5 volte più ampio. La larghezza del picco è uguale a quella di una interferenza di 16 punti e quindi la risoluzione dell’immagine è di 80 x 80 pixels. Naturalmente l’immagine va ripulita delle piccole oscillazioni residue con un opportuno programma. Tuttavia è probabile che un ulteriore miglioramento si possa ottenere ottimizzando tutti i parametri liberi. La posizione dei punti di raccolta è mostrata nella figura Questo è solo un esempio di una Combinazione di 16 x 16 punti, ma soluzioni migliori possono essere trovate

CONCLUSIONI LUMINOSITA’: Il tel. Inter. può essere molto luminoso e di basso costo: si possono usare specchi parabolici fuori asse per alimentare le fibre. In un insieme di Nx. N=N 2 specchi di superficie A, l’area di raccolta è S=A*N 2. Per es. un 10 x 10 con A=0. 5 m 2 da S=50 m 2 ALTO CONTRASTO: Se si ottiene una buona regolazione dell’interferenza, il contrasto lungo la diagonale dell’immagine è garantito dall’eq. dell’array quadrato Il contrasto potrebbe essere così elevato da permettere di distinguere eventuali exopianeti, la cui luminodità relativa alla stella è dell’ordine di 10 -8 Il contrasto nel caso del quadrato è circa proporzionale a N 4 s. 33

Il Potere risolvente è elevato: dipende da N e dal rapporto D/d. Con D= 1 m , d=0. 1 mm⇒ D/d = 10 000 e con un quadrato 10 x 10 si avrebbe un P. R. >105 Il minimo angolo risolvibile è λ/N. La ripetizione del picco si ha per ogni multiplo di λ, a cui corrisponde una apertura angolare θ pari a θ = λ/D. Per λ= 1μm e D=1 m so ha θ =10 -6 rad. Pari a 0. 206 arc. sec. ( Sirio si vede sotto un angolo di 0. 006 arc. sec. ). Il vantaggio maggiore di questo strumento deriva dal fatto che non è necessario costruire superfici ottiche di grandi dimensioni e precisione. E’ però necessario sviluppare un software efficiente che , leggendo i singoli pixels di una CCD possa posizionare correttamente l’ingresso della fibra e mettere rapidamente in fase tutti i cammini ottici. Nel caso si possa ripulire con un software opportuno l’immagine della disposizione a croce si avrebbe una ulteriore utile semplificazione dello strumento. s. 34

Questo tipo di telescopio è utile per investigare, con elevata luminosità e risoluzione. Sorgenti quasi puntiformi, deboli e lontane (studiare oggetti al limite dell’universo) Può funzionare dal visibile al vicino infrarosso ( dipende dalla trasmittività delle fibre). Un altro vantaggio si ha dall’essere il sistema particolarmente insensibile alla turbolenza atmosferica e dall’essere leggero , poco voluminoso e facilmente collocabile in orbita, specie nella disposizione di lenti fissate ad un piano rigido. L’assenza di lenti o specchi di alta qualità ottica semplifica la costruzione, ma tutto dipende dallo sviluppo di un adeguato software per il controllo delle fasi delle fibre ed per eventuale ripulitura dell’immagine. Un programma efficiente e veloce può compensare, entro certi limiti, imperfezioni costruttive (componenti di media o bassa qualità e richiedere specifiche costruttive meno stringenti) Da un punto di vista pratico il vantaggio maggiore deriva dall’essere sensibilmente meno costoso dei telescopi con un unico grande specchio. Si stima un costo equivalente di almeno 1/10.

La ripetizione del picco si ha per multipli di λ, a cui corrisponde una apertura angolare θ pari a θ = λ/D e , per λ= 1μm e D=1 m si ha θ =10 -6 rad. =0. 206 arc. Sec. (d”) Il campo di vista è molto piccolo. Per confronto, nella tab. è dato il diametro angolare di alcune stelle.

Per esempio, volendo osservare una stella come Sirio, che dalla terra è vista con un angolo di 6 millesimi di arcsec. , scegliendo D= 10 m il campo visivo risulta di 0. 0206 arcsec. e l’immagine della stella corrisponderebbe a circa 1/3 del campo. Si contengono le Dimensioni usando disposizioni a periodi razionali.

CONCLUSIONI Il tel. Inter. può essere molto luminoso e di basso costo: si possono usare specchi parabolici fuori asse per alimentare le fibre. In un insieme di Nx. N=N 2 specchi di superficie A, l’area di raccolta è S=A*N 2. Per es. un 10 x 10 con A=0. 5 m 2 da S=50 m 2 ALTO CONTRASTO: Se si ottiene una buona regolazione dell’interferenza, il contrasto lungo la diagonale dell’immagine è garantito dall’eq. dell’array quadrato Il contrasto potrebbe essere così elevato da permettere di distinguere eventuali exopianeti, la cui luminodità relativa alla stella è dell’ordine di 10 -8

Da un punto di vista pratico il vantaggio maggiore deriva dall’essere sensibilmente meno costoso dei telescopi con un unico grande specchio. Con un costo equivalente di almeno 1 /10 se ne possono costruire molti. Inoltre il tel Interf. è nelle possibilità finanziarie di istituzioni meno ricche.