Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik etymologische

Teil 7 Grundlagen Logik

Was ist Logik? Ø etymologische Herkunft: griechisch λογος bedeutet „Wort, Rede, Lehre“ (s. a. Faust I…) • Logik als Argumentation: ✔ ✖ Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Alle Pinguine sind schwarz-weiß. Einige alte TV-Shows sind schwarz-weiß. Einige Pinguine sind alte TV-Shows. • Definition für diese Vorlesung: Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen.

Warum formal? Ø Automatisierbarkeit! Eine „Rechenmaschine“ für Logik!! G. W. Leibniz (1646 -1716):

Grundbegriffe der Logik

Wie funktioniert Logik? Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen. Ø Was schließen wir woraus? Ø Beschreibende Grundelemente der Logik nennen wir Sätze

Wie funktioniert Logik? Sätze und Schlussfolgerungen Ø Jede Logik besteht aus einer Menge von Sätzen zusammen mit einer Schlussfolgerungsrelation (entailment relation). Letztere liefert die Semantik (grch. σημαντικος – zum Zeichen gehörend). gelb hellgrün ² süß rot sauer grün ² süß-sauer giftig

Folgerung und Äquivalenz von Sätzen Formal: L : = (S, ²) mit ² 2 2 S £ S Dabei bedeutet für ð eine Menge µ S von Sätzen und ð einen Satz 2 S ² „Aus den Sätzen folgt der Satz “ oder auch „ ist eine logische Konsequenz aus . “ Gilt für zwei Sätze und y, dass sowohl { } ² y als auch {y} ² , dann sind diese Sätze (logisch) äquivalent und man schreibt auch y ´ .

Wie funktioniert Logik? Syntax (von grch. συνταξις – Zusammenstellung, Satzbau) erschließt sich über die Frage Ø Was ist ein „richtiger“ Satz? D. h. wie wird die Menge der Sätze einer Logik definiert? Nutzung von „Erzeugungsregeln“ zur Definition (Konstruktion) von wohlgeformten Sätzen, z. B. : Grundelemente: grün rot süß gelb sauer Syntax-Regel: „Wenn und y Sätze sind, dann auch -y“ süß-sauer Konstruktor oder Junktor

Wie funktioniert Logik? Ausdrucksstärke. Tradeoff: Logiken mit vielen Ausdrucksmitteln (Konstruktoren/Junktoren) sind: Ø komfortabler in der Verwendung (verschiedene und komplexe Sachverhalte sind einfach auszudrücken), aber Ø schwieriger (meta)mathematisch zu handhaben (Beweisen von Eigenschaften der Logik umständlicher). Möglicher Ausweg: Einschränkung der Sätze auf Teilmenge, die für jeden Satz der Logik einen logisch äquivalenten Vertreter enthält (vgl. Normalformen, minimale Junktorenmengen…) und Definition der anderen Sätze/Junktoren als „syntactic sugar“. Wird eine Logik über dieses Maß hinaus eingeschränkt, erhält man ein Fragment der ursprünglichen Logik mit geringerer Ausdrucksstärke.

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle Interpretationen ist Modell von ² Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Sätze, für die jede Interpretation ein Modell ist, heißen allgemeingültig oder Tautologien (grch. ταυτολογία). Interpretationen ² ² ² süß ² sauer ² ² ² Sätze ² süß-sauer rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Sätze, für die keine Interpretation ein Modell ist, heißen widersprüchlich oder unerfüllbar (auch: kontradiktorisch). Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Sätze, die (mindestens ein) Modell haben, heißen erfüllbar (auch: kontingent). Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer ² ² rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer ² ² rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer ² ² rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün gelb ² grün giftig

Wie funktioniert Logik? Semantik entlang der Syntax Häufiges Prinzip bei Definition von Interpretationen: Ø Interpretation von Grundelementen wird festgelegt Ø Interpretation von zusammengesetzten (konstruierten) Sätzen wird auf die Interpretation der Teile zurückgeführt, z. B. : Semantik-Regel: „Die Modelle von -y sind genau die Interpretationen, die Modelle sowohl von als auch von y sind. “ süß-sauer ² ² ² süß sauer

Beweistheorie Ø Zurück zu Leibniz: Rechenmaschine für Logik ² Ø Aber: Möglichkeit, direkt mit allen möglichen Interpretationen zu arbeiten, oft eingeschränkt Ø Daher: Versuch, Schlussfolgerungsrelation durch rein syntaktische Verfahren zu beschreiben/berechnen

Entscheidungsverfahren/Entscheidbarkeit 1 1 1 n Ø Entscheidungsalgorithmus: ð input: Menge { 1, …, n} von Sätzen und Satz ð terminiert nach endlicher Zeit ð output: ² „Ja“, falls { 1, …, n} ² ² „Nein“ sonst Ø Gibt es einen solchen Algorithmus für eine Logik, dann nennt man sie entscheidbar. JA/NEIN

Aufzählungsverfahren/Semientscheidbarkeit 1 1 1 n Ø Aufzählungsverfahren: ð input: Sätze { 1, …, n} ð output: Sätze , für die gilt { 1, …, n} ² ð jeder solche Satz wird (irgendwann) ausgegeben • Gibt es einen solchen Algorithmus für eine Logik, dann nennt man sie semientscheidbar.

Deduktionskalkül Ø kann gesehen werden als spezielle Form eines Aufzählungsverfahrens Ø besteht aus Ableitungsregeln, z. B. : { , y w, . . . . } y, y -y

Deduktionskalkül Ein Satz ist aus einer Menge von Sätzen ableitbar (geschrieben: ` ), wenn sich durch wiederholtes Anwenden der Ableitungsregeln eines Deduktionskalküls aus „erzeugen“ lässt. Deduktionskalkül ist korrekt (engl. sound), wenn aus ` immer ² folgt, d. h. alle ableitbaren Schlüsse auch wirklich logisch folgen. Deduktionskalkül ist vollständig (engl. complete), wenn aus ² immer ` folgt, d. h. alle logischen Konsequenzen auch abgeleitet werden können. In einem korrekten und vollständigen Deduktionskalkül gilt: ² = ` und man kann es als Aufzählungsverfahren verwenden. Achtung! Es gibt Logiken, für die nachweislich kein solches Deduktionskalkül existiert (Gödel 1931).

Weitere interessante Eigenschaften von Logiken: Ø Ø Monotonie Kompaktheit Algorithmische Komplexität für Entscheidungsverfahren …und jede Menge anderes…

Aussagenlogik Ø auch: propositionale Logik boolesche Logik Ø schon bei den Stoikern voll ausgearbeitete Junktorenlogik Ø George Boole (1815 – 1864) „An Investigation of the Laws of Thought“ (1854) Ø syntaktische Grundelemente: atomare Sätze / Propositionen / Aussagen (p, q, …, p 1, p 2, …) Ø Können als natürlichsprachliche Aussagen gedacht werden: „Es regnet. “…

Aussagenlogik – Syntax Ø Erzeugungsregeln für Sätze: ðalle atomaren Propositionen sind Sätze ( p , q , …) ðist φ ein Satz, dann auch : φ ðsind φ und ψ Sätze, dann auch (φ ∧ ψ) , (φ ∨ ψ), (φ → ψ) und (φ ↔ ψ) Ø Klammern können ggf. weggelassen werden; Präzedenzen (bei uns): : vor Æ, Ç vor !, $. Ø Zusätzliche Klammern machen es trotzem oft lesbarer…

Aussagenlogik – Syntax Junktor Name Intuitive Bedeutung : Æ Ç ! $ Negation Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz „nicht“ „und“ „oder“ „wenn – dann“ „genau dann, wenn“ Einfache Aussagen Modellierung Es regnet. r Die Straße wird nass. n Die Sonne ist grün g Zusammengesetzte Aussagen Modellierung Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. r!n Wenn es regnet, und die Straße nicht nass wird, dann ist die Sonne grün. (r Æ : n)! g

Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Ø Was sind die Modelle der Aussagenlogik? Interpretationen Sätze p q … ✔ ✖ … p q ✖ ✖ … ✔ ✔ … p q … ✖ ✔ … : ² p ² … ² ² q p p!q p Æ (: p ! q) pÇq

Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Ø Formal: Interpretationen I sind Abbildungen von der Menge der atomaren Propositionen in die Menge {wahr, falsch}, d. h. jeder dieser Propositionen p wird ein Wahrheitswert WWI(p) zugeordnet. Ø Daraus bestimmt man Modelle für zusammengesetzte Sätze über Semantik-Regeln ð I Modell von : φ genau dann, wenn I kein Modell von φ ð I Modell von (φ ∧ ψ) genau dann, wenn I Modell von φ und von ψ ð I Modell von (φ ∨ ψ) genau dann, wenn I Modell von φ oder von ψ ð I Modell von (φ → ψ) genau dann, wenn I kein Modell von φ oder I Modell von ψ ð I Modell von (φ ↔ ψ) genau dann, wenn I Modell für jeden oder keinen der beiden Sätze ist.

Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Ø Beispiel für Tautologie in der Aussagenlogik. Interpretationenp q … : ✔ ✖ … ² p q … ² ✖ ✖ … p q … ✔ ✔ … ² Sätze p p!q p Ç : p (tertium non datur) pÆq ² p q … ✖ ✔ … p Æ (p ! q)

Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Ø Beispiel für Kontradiktion in der Aussagenlogik. Interpretationenp q … : ✔ ✖ … ² p q … ² ✖ ✖ … p q … ✔ ✔ … ² p Sätze p!q p Æ : p pÆq ² p q … ✖ ✔ … p Æ (p ! q)

Aussagenlogik – Normalformen & vollständige Junktoren aus diesen Äquivalenenzen folgt: Ø zu jeder Formel gibt es eine logisch äquivalente Formel, die nur die Junktoren Æ und : enthält. Ø zu jeder Formel gibt es eine Formel in konjunktiver Normalform, d. h. ð nur einfache Negation direkt vor atomaren Propositionen (sog. Literale) ð Formel ist Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ð Bsp. : (p Ú : q Ú r Ú : s) Ù (: p Ú q Ú s) Ù (q Ú : r Ú s)

Aussagenlogik – Entscheidungsalgorithmus Ø Aussagenlogik ist entscheidbar Ø nützliche Eigenschaft dabei: { 1, …, n} ² gilt genau dann, wenn ( 1Æ…Æ n)! eine Tautologie ist Ø Entscheidung, ob Satz Tautologie ist, über Wahrheitswerttabelle Ø im Prinzip: Überprüfung aller Interpretationen (nur die Wahrheitswerte der vorkommenden atomaren Propositionen fallen ins Gewicht)

Aussagenlogik – Entscheidungsalgorithmus Modus Ponens: { p , p!q }² q ² (p Æ(p ! q)) ! q p p ✖ p ✔ q q ✖ q ✔ q ✖ … p!q … … ² ² … … ✔ ✔ … p Æ(p ! q) ² ² (p Æ(p ! q)) ! q ² ²