TC Mhendislik ve Tasarm Fakltesi Endstri Mhendislii Blm

İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 12. Hafta: HİPOTEZ TESTLERİ Öğr. Gör. Berk Ayvaz 2013

HİPOTEZ TESTLERİ Hipotez testi 5 aşamalıdır! Hipotez testleri örnekten elde edilen istatistikler vasıtasıyla anakütle parametreleri hakkında karar verilmesini sağlar. 1. 2. 3. 4. 5. Sıfır Ve Alternatif Hipotezlerin Belirlenmesi Önem Veya Risk Derecesinin Belirlenmesi Hipotez Testinin Yönünü Belirlemek Kritik Değeri Veya Değerleri Belirlemek Test İstatistiğini Belirlemek Ve Kritik Değer İle Karşılaştırmak

HİPOTEZ TESTLERİ Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez İstatistiksel hipotezlerin testinde, iki hipotez söz konusudur. Bunlar; “sıfır hipotezi” ve “karşıt hipotez (alternatif hipotez)” olarak isimlendirilirler. Anakütle parametreleri hakkın dakarar verirken doğru veya yanlış olması muhtemel yargılardan hareket ederiz. Daha önce doğru olduğu ispatlanan veya ortak kabul görmüş yargılara sıfır hipotezi (H 0) denir. Sıfır hipotezi (H 0), ilgili evren parametresinin bilinen değerinde, herhangi bir farklılığın beklenmediğinin ifade edildiği hipotezdir. H 0 hipotezi test edilecek hipotez olduğu için test sonucunda verilecek karar da bu hipoteze ilişkin karar olur. H 0 hipotezine ilişkin verilecek karar H 0 kabul veya H 0 red şeklinde olur.

Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez

Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez 1. 2. 3. Örnekten elde edilen istatistikler sıfır hipotezinin yanlış olabileceği yönünde şüpheler doğurabilir. Bu durumda üç tip alternatif hipotez sözkonusu olur. Örnek istatistiği, anakütle parametresinin iddia edilen değere eşit olmadığı şüphesini doğurursa, yapılacak test çift kuyruk testidir. Çünkü anakütle parametresi belirtilen değerden küçük veya büyük olabilir. Örnek istatistiği, anakütle parametresinin iddia edilen değerden küçük olabileceğini düşündürürse yapılacak test sol kuyruk testidir. Örnek istatistiği, anakütle para metresininiddia edilen değerden büyük olduğu şüphesini doğurursa yapılacak test sağ kuyruk testidir. Örnekten elde edilen istatistiğin kafamızda doğurduğu şüpheye göre alternatif hipotezi ve alternatif hipoteze göre de sıfır hipotezini şekillendiririz. Test prosedürü gereği sıfır hipotezini reddetmeye, dolayısıyla alternatif hipotezi kabul etmeye çalışırız.

Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez Sıfır hipotezi, “arada fark yoktur” şeklinde kurulur. Örn. Toplumda kadınlarla erkeklerin sigara içme durumlarını karşılaştırmak istersek kuracağımız H 0 hipotezi şöyle olur: “Toplumda kadınlarla erkeklerin sigara içme sıklıkları arasında fark yoktur” Alternatif hipotez ise H 0’ın doğru olmadığını iddia eder. Yukarıdaki örnekte H 1 şöyle olur: “Toplumda kadınlarla erkeklerin sigara içme sıklıkları farklıdır”

Birinci ve İkinci Tip Hata

Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez Örneği Ders geçmek için gerekli minimum notun ortalama 70 olduğu bir sınıftan seçilen 30 öğrencinin aldığı notların ortalaması 68 olsun. Bu durumda popülasyonun (sınıfın) gerçek ortalaması 70’ın üzerinde midir?

Hipotez Testinin Yönünü Belirleme Alternatif hipotez için yazılan duruma göre hipotez testi tek yönlü ya da iki yönlü olabilir.

Kritik Değer

HİPOTEZ TESTLERİ

Özet Tablo

Test İstatistiği

P Değeri

Hipotez Testi Adımları Özet olarak:

Ortalamalarla İlgili Hipotez Testleri Ortalamalarla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır ve alternatif hipotezler aşağıda gösterilmiştir.

Örnek 1 Bir fakültede not ortalamasının 65 olduğu iddia edilmektedir. Tesadüfi olarak seçilen 49 öğrencinin not ortalaması 60 ve standart sapma 3 bulunmuştur. %1 önem seviyesinde fakülte not ortalamasının 65’ten az olduğu nu söyleyebilir misiniz?

Çözüm 1 Problemin son kısmı test edilecek hipotez çiftinin; Buna göre %1 önem seviyesinde Ho hipotezi reddedilerek fakülte not ortalamasının 65’ten küçük olduğuna karar verilir. P(Z < Zh) = 0. 5 = 0

Örnek 2 Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde brüt 455 gr yazmaktadır. Bu konservelerin brüt ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzere rastgele seçilen 78 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr bulunmuştur. Brüt ağırlığın 455 gr olup olmadığını 0. 05 önem seviyesinde test ediniz?

Çözüm 2 Problemin son kısmı test edilecek hipotez çiftinin şeklinde olduğuna işaret etmektedir. Buna göre, %5 önem seviyesinde Ho hipotezi reddedilerek fabrikada üretilen konservelerin brüt ağırlığının 455 gr’a eşit olmadığına karar verilir. Bu testin P değeri, P = 2[P(Z < Zh)] = 2(0. 5 0. 5) = 0 olarak elde edilir.

Örnek 3

Örnek 4

Oranlarla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir.

Örnek 5 Yatak çarşafları üreten bir firma, üretimdeki kusur oranının %6 olduğunu bildirmektedir. Bu fabrikadan alışveriş yapmak isteyen bir otel yöneticisi, üretici firmanın imalatından tesadüfi gün ve saatlerde 100 örnek almış ve bunların %10’unun kusurlu olduğunu görmüştür. Sözkonusu yönetici yatak çarşafı imalatının kusur oranının %6’dan fazla olduğunu, %5 önem seviyesinde, söyleyebilir mi?

Örnek 6 Bir süpermarketler zinciri sahibi müşterilerinin %95’ten fazlsının süpermarketlerindeki fiyatlardan memnun olduğunu söylemektedir. Rassal olarak seçilen 200 müşteriden 184’ü fiyatlardan memnun olduğunu bildirmektedir. %1 önem seviyesinde, süpermarketlerdeki fiyatlardan memnun olanların %95’e eşit olmadığını söyleyebilir misiniz?

Çözüm 6 Test hipotezleri,

Örnek 7

Ortalamalar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir. Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği;

Ortalamalar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri • Sıfır hipotezi örneklerin aynı anakütleden alındığını belirttiği için, tersi ispatlanmadığı sürece, Sı ve S 2 değerlerinin birbiriyle homojen olduğunu ve bu varyanslar yardımıyla gibi ortak bir varyans hesaplanabileceğini söyleyebiliriz.

Ortalamalar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri Görüldüğü gibi, bu ortak varyans, iki örnek varyansınm tartılı aritmetik ortalaması alınarak bulun muştur. Buna göre, ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testlerine ait test ista tistiği,

Örnek 8 İki ayrı sendikaya bağlı olarak çalışan sanayi işçilerinin aylık ortalama gelirlerini mukayese etmek isteyen bir iş müfettişi A sendikasından tesadüfi olarak seçtiği 150 işçinin aylık ortalama gelirini 35. 5 bin lira ve standart sapmayı 3. 4 bin lira, B sendikasından tesadüfi olarak seçtiği 200 işçinin aylık ortalama gelirini 34 bin lira ve standart sapmayı 3. 7 bin lira olarak hesaplamıştır. Bu iki sendikaya bağlı olan işçilerin ortalama gelirleri arasındaki farklılığın önemli olmadığını, %5 önem seviyesinde, söyleyebilir misiniz?

Çözüm 8 Problemin son kısmı test hipotezlerinin, • olarak hesaplarız. Ortak varyans dikkate alındığında ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testine ait test istatistiği, •

Çözüm 8 (devamı) Test istatistiği ve kritik Z değeri dikkate alındığında karar modeli aşağıdaki gibi olur. • %5 önem seviyesinde Ho hipotezi reddedilerek sözkonusu sendikalara bağlı olarak çalışan işçilerin aylık ortalama gelirleri arasındaki farkın önemli olduğuna karar verilir. • P değeri, 2[P(Z > 3. 88)] = 2(0. 5 0. 49995) = 0. 0001 ’dir.

Örnek 9 Aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikaların birincisinden tesadüfi olarak seçilen 80 mamulün ortalama dayanma süresi 135 gün ve standart sapması 15 gün; İkincisinden alman 95 mamulün ise ortalama dayanma süresi 130 gün ve standart sapması 18 gündür. %1 önem seviyesinde, birinci fabrikada üretilen mamullerin ortalama dayanma süresinin daha fazla olduğunu söyleyebilir misiniz?

Çözüm 9 %1 önem seviyesinde, H 0 hipotezi kabul edilerek, birinci fabrikada üre tilen mamullerin ortalama dayanma süresinin diğerinden daha fazla olmadığına tarar verilir. P değeri, P(Z > 1. 97) = 0. 5 0. 4756 = 0. 0244’tür.

Örnek 10

Çözüm 10

Çözüm 10

Oranlar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri Oranlar arası farkla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir. eşitliğiyle bulunur.

Oranlar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri Anakütle oranları bilinmediğinde bunun yerine örnek oranlan kullanılabilir. Sıfır hipotezinin doğru olabileceği faraziyesiyle hareket edildiği için test istatistiği formülündeki Pı P 2 farkı sıfır kabul edilir. Böylece test istatistiği • gibi ortak bir oran hesaplanabileceğini söyleyebiliriz. Görüldüğü üzere bu ortak oran iki örnek oranının tartılı aritmetik ortalaması alınarak bulunmuştur.

Oranlar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri Nihayet ortak oran dikkate alındığında oranlar arası farkla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği,

Örnek 11 Bir firma yöneticisi firmasına ait iki mağazadan müşterileri nin memnuniyet derecelerini mukayese etmek istemektedir. Yaptığı araştırmaya göre, 300 kişiden 249’u A mağazasından, 400 kişiden 348’i B mağazasından memnundur. %1 önem seviyesinde, müşterilerin memnuniyet dereceleri arasın da Önemli bir farklılığın olduğunu söyleyebilir misiniz?

Çözüm 11 %1 önem seviyesinde Ho hipotezi kabul edilerek iki mağazadaki Müşterilerin memnuniyet dereceleri arasındaki farkın anlamlı olmadığına karar irilir. P değeri, 2[P(Z < 1. 47)] = 2(0. 5 0. 4292) = 0. 1416’dır.

Örnek 12 Bir video kaset kiralayıcısı macera filmi kiralamanın yöredeki erkek ve kadınlar itibariyle farklılık gösterip göstermediğini merak etmektedir. Sözkonusu şahıs belli bir zaman periyodu içerisinde dükkanına gelen 60 erkekten 51’inin ve 40 kadından 20’sinin macera filmi kiraladığını müşahede etmiştir. Bu verilere göre yöredeki erkeklerin kadınlardan daha fazla macera filmi kiraladığını %5 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz?

Çözüm 12 Problemin son kısmı kurulacak hipotez çiftinin, %5 önem seviyesinde Ho hipotezi reddedilerek yöredeki erkeklerin kadınlardan daha fazla macera filmi kiraladığına karar verilir. P(Z > 3. 78) = 0

Örnek 13

Çözüm 13