TC Mhendislik ve Tasarm Fakltesi Endstri Mhendislii Blm

İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 2. Hafta: Öğr. Gör. Berk Ayvaz

Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri istatistiğin özetleme işini en ileri düzeyde yerine getiren ölçülerdir. N=10000 birim büyüklüğündeki bir anakütle 100 adet grup ile ifade edilebileceği gibi bir adet sayıdan oluşan ortalama değer ile de temsil edilebilir. Merkezi eğilim ölçüleri ikiye ayrılır: 1. Serinin bütün birimlerine tabi olan eğilim ölçüleri 2. Serinin bütün birimlerine tabi olmayan eğilim ölçüleri

Parametrik Merkezi Eğilim Ölçüleri Birinci gruba girenler parametrik merkezi eğilim ölçüleri olarak adlandırılır. Bunlar serideki tek bir rakamın değişmesinden direkt olarak etkilenirler. Bundan dolayı parametrik merkezi eğilim ölçüleri srideki aşırı uçların etkisinde kalırlar. Sınıf uçlarının belli olmadığı serilerde sınıf değerleri hesaplanamayacağı için parametrik merkezi eğilim ölçülerinin hiçbiri hesaplanamaz. Bu gruptaki parametrik merkezi eğilim ölçüleri: aritmetik ortalama, Geometrik ortalama, harmonik ortalama ve kareli ortalamadır.

Aritmetik ortalama Serideki tüm birimlerden etkilenen bir ortalama türüdür. İstatistikte en çok kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür. Basit bir şekilde serideki tüm birimlerin değerlerinin toplamının birim sayısına bölünmesi ile bulunur. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde ise aritmetik ortalama aşağıdaki gibi hesaplanır: Gruplandırılmış serilerde X değeri sınıf orta noktalarını yani sınıf değerlerini gösterir. X değerlerine ait ağırlıklar varsa frekans yerine ağırlıklar kullanılarak ağırlıklı aritmetik ortalamalar hesaplanır.

Örnek 1 Aşağıdaki CEVAP: serinin artimetik ortalamasını hesaplayınız. X= 10, 12, 18, 24, 30

Örnek 2 Aşağıdaki sınıflandırılmış serinin aritmetik ortalamasını bulunuz. X 4 5 7 9 f 1 2 4 3 CEVAP: X 4 5 7 9 f 1 2 4 3 Fx 4 10 28 27

Örnek 3 Aşağıda bir öğrenciye ait ders notları verilmiştir. Buna göre bu öğrencinin ağırlıklı not ortalamasını hesaplayınız. İstatistik Yöneylem araştırması Veri tabanı Üretim yönetimi notu 75 88 64 76 ders kredisi 3 3 2 3 notu ders kredisi ağırlıklı not İstatistik 75 3 Yöneylem araştırması 88 3 Veri tabanı 64 2 Üretim yönetimi 76 3

Çözüm 3 CEVAP: notu ders kredisi ağırlıklı not İstatistik 75 3 225 Yöneylem araştırması 88 3 264 Veri tabanı 64 2 128 Üretim yönetimi 76 3 822

Örnek 4 İstatistik dersinden alınan vize notları aşağıdaki gruplandırılmıştır. Buna göre sınıf ortalamasını bulunuz. notlar 0 -50 50 -70 70 -85 85 -100 f 4 15 8 3 gibi

Çözüm 4 notlar 0 -50 50 -70 70 -85 85 -100 X=sınıf değeri 25 60 77, 5 92, 5 f 4 15 8 3 f. X 100 900 620 277, 5

Geometrik Ortalama Serideki n tane birimin çarpımının n. dereceden kökü alınarak bulunur. Seride 0 yada negatif değerler varsa geometrik ortalama hesaplanamaz. Geometrik ortalama, geometrik dizi şeklinde artış gösteren serileri en iyi temsil eden parametrik merkezi eğilim ölçüsüdür. Seride çok sayıda eleman bulunduğunda bu formül pek elverişli olmamaktadır. Bunun yerine aşağıdaki formül tercih edilir.

Harmonik Ortalama Harmonik ortalama serideki birimlerin çarpmaya göre terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Seride 0 yada negatif değerler varsa harmonik ortalama hesaplanamaz. Gruplandırılmış ve sınıflandırılmış serilerde ise aşağıdaki formülle hesaplanır.

Kareli Ortalama Serideki birimlerin karelerinin aritmetik ortalamasının kare köküdür. Basit serilerde kareli ortalama: Gruplandırılmış ve sınıflansırılmış serilerde ise aşağıdaki formülle hesaplanır.

Parametrik Olmayan Merkezi Eğilim Ölçüleri Mod Bir seride en çok tekrarlanan, yani frekansı en yüksek olan değerdir. Bir sayı setinde sayıların hepsi birbirinden farklı ise bu serinin modu yoktur. Sınıflandırılmış seride mod en yüksek frekansa sahip olan X değeridir. Gruplandırılmış serilerde ise mod en yüksek frekansa sahip olan sınıf sınırları içindedir. Gruplandırılmış serilerde mod, formül ya da frekans histogramı yardımıyla yaklaşık değer olarak elde edilebilir. Mod sınıfı frekansı ile bir önceki sınıfın frekansı arasındaki fark Mod sınıfının sınıf büyüklüğü Mod sınıfının alt sınırı Mod sınıfı frekansı ile bir sonraki sınıfın frekansı arasındaki fark

Mod Grafik metotla mod tespit edilirken önce çizilen frekans histogramında yüksekliği en fazla olan kutucuğun üst iki köşesi işaretlenir. Daha sonra bu kutucuğun sağındaki kutunun sol üst köşesi ve solundaki kutunun sağ üst köşesi işaretlenir. İşaretlenen bu noktalar çaprazlama olarak birleştirildiklerinde doğruların kesişme noktasının X eksenindeki karşılığı serinin modunu verir.

Örnek 5 X 10 Tablodaki serinin modunu bulunuz. 12 18 20 Cevap: Her değer bir kere tekrarlandığı için mod yoktur.

Örnek 6 Sınıflandırılmış serinin modunu bulunuz. X f 4 1 5 2 7 4 9 3

Çözüm 6 Cevap: Sınıflandırılmış seride frekansı en yüksek olan değer 7 olduğu için Mod: 7 ‘dir. X f 4 1 5 2 7 4 9 3

Örnek 7 Gruplandırılmış serinin modunu hesaplayınız. Gruplar f 2 -4 2 5 -7 13 8 -10 4 11 -13 1

Çözüm 7 Dikkat gruplandırılmış seri kesikli verilmiş. Bunun sürekli hale dönüştürülmesi gereliyor. Gruplar f 2 -4 2 2 -4, 5 2 5 -7 13 4, 5 -7, 5 13 8 -10 4 7, 5 -10, 5 4 11 -13 1 10, 5 -13 1 mod

Medyan (M) Orta değer, ortanca demektir. Bir serinin elemanları küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru sıralandığı takdirde tam orta noktaya düşen değere medyan denir. Basit ve sınıflandırılmış serilerde, N toplam frekansı göstermek üzere serilerde medyan aşağıdaki formülle hesaplanır. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride M. değerin içerisinde yer aldığı kümülatif frekans, sınıflandırılmış seride medyanı, gruplandırılmış seride ise medyan sınıfını gösterir. Gruplandırılmış serilerde yukarıdaki formüldeki +1 kısmı dikkate alınmayabilir. Bu durumda Gruplandırılmış seri için formül şu şekilde olur.

Medyan (M) Gruplandırılmış seride medyan formülle yada grafik yoluyla elde edilebilir. Medyanı gösteren değer Medyan sınıfının alt sınırı Medyan sınıfından bir önceki sınıfın kümülatif frekansı Medyan sınıfının sınıf büyüklüğü Medyan sınıfının frekansı

Örnek 8 X Tablodaki serinin medyanını bulunuz. 10 12 18 20 Cevap: Buna göre medyan 2. ve 3. değerlerin ortalamasıdır.

Örnek 9 Sınıflandırılmış serinin medyanını bulunuz. X f 4 1 5 2 7 4 9 3

Çözüm 9 X f k. f. 4 1 1 5 2 3 7 4 7 9 3 10 5, 5’inci değer kümülatif frekans serisinde 7 değerinin içerisinde yer alır. Bu yüzden 7 değeri serinin medyanıdır.

Örnek 10 Gruplandırılmış serinin medyanını hesaplayınız. Gruplar f 2 -4 2 5 -7 13 8 -10 4 11 -13 1

Çözüm 10 Gruplar f k. f. 2 -4 2 2 5 -7 13 15 8 -10 4 19 11 -13 1 20 Kümülatif frekans serisinde 10. değer 15’in içerisindedir. Kümülatif frekansı 15 olan 5 -7 sınıfı içerisinde medyanı bulunduran sınıftır. Dikkat gruplandırılmış seri kesikli verilmiş. Bunun sürekli hale dönüştürülmesi gereliyor. Sınıf büyüklüğü: 7, 5 - 4, 5 = 3 Gruplar f 2 -4, 5 2 4, 5 -7, 5 13 7, 5 -10, 5 4 10, 5 -13 1

Kantiller Kartiller (Dörde Bölenler) Büyüklük sırasına konulmuş bir seriyi dört eşit kısma bölen değerlerdir. Bir seride 3 kartil mevcuttur ve ikinci kartil medyandır. Birinci kartil Q 1, ikinci kartil Q 2 ve üçüncü kartil Q 3 ile gösterilir. Basit ve sınıflandırılmış serilerde;

Kartiller Gruplandırılmış serilerde ise aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

Desiller Desiller, büyüklük sırasına konulmuş bir seriyi 10 eşit kısma bölen değerlerdir. Dokuz adet desil vardır. Basit ve sınıflandırılmış serilerde desiller aşağıdaki gibi hesaplanır.

Desiller Gruplandırılmış serilerde ise aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

Pörsentiller, büyüklük sırasına konulmuş bir seriyi 100 eşit kısma bölen değerlerdir. 99 adet desil vardır. Basit ve sınıflandırılmış serilerde desiller aşağıdaki gibi hesaplanır.

Pörsentiller Gruplandırılmış serilerde ise aşağıdaki formüllerle hesaplanır: