Tatjana Hodnik ade Kombinatorika 1 2 Osnovni pojmi

Tatjana Hodnik Čadež Kombinatorika 1. 2. Osnovni pojmi Permutacije, variacije, kombinacije Dokument predstavlja zgolj izhodišča za študente za pripravo na predavanja. Definicije in zgledi bodo natančno opredeljeni na predavanjih.

Tipične kombinatorične naloge sprašujejo po številu različni razporeditev, izborov ali sestavljenih odločitev. Primeri 4 -mestna števila iz števk od 1 do 9 Število posaditev 4 dreves v drevored. Kaj se zgodi, če breza in platana na smeta biti posajeni druga ob drugi? 120 študentov RP; oblikujemo seminarske skupine po 3 študente. Koliko je vseh različnih trojk?

Kombinatorično drevo – nazoren prikaz korakov pri odločanju Primeri: Priprava zajtrka 1: tri vrste kruha, dva namaza (dvostopenjsko odločanje – izbor na drugi stopnji (npr. vrsta namaza) je neodvisen od izbora na prvi stopnji (npr. vrsta kruha)). Priprava zajtrka 2: tri vrste kruha, dva namaza, 4 napitki (tristopenjsko odločanje) Posplošitev? Oblikujte pravilo.

Naj bo proces odločanja takšen, da poteka v k zaporednih fazah, pri čemer je v prvi fazi n 1, v drugi n 2…, in v k-ti fazi nk možnih odločitev, število izborov v posameznih fazi pa je neodvisno od tega, katere možnosti smo izbrali v predhodnih fazah. Potem je mogoče sestavljeni izbor opraviti na natanko n = n 1 x n 2 x n 3 x…x nk načinov. To pravilo imenujemo osnovni izrek kombinatorike oz. pravilo produkta.

Drugi načini prikazovanja za primera ‘Zajtrk 1 in 2’? Nesimetrično kombinatorično drevo Primer: trimestna števila iz treh različnih števk, npr. 1, 2, 3, pri čemer 2 ne sme biti na mestu desetic. Drugi primeri za simetrično in nesimetrično kombinatorično drevo.

Primer Miha ima 3 pare športnih obutev in 2 para elegantnih čevljev. Na koliko načinov se lahko obuje? Pravilo? Če se pri izbiranju lahko odločimo za eno od n 1 možnosti iz prve množice ali pa za eno od n 2 možnosti iz druge množice izborov, ki so nezdružljivi z izbori iz prve množice, imamo n = n 1 + n 2 možnih izborov. To pravilo imenujemo pravilo vsote.

Permutacije Urejanje vseh elementov dane množice v vrsto (npr. od leve proti desni) – iskanje števila vseh možnih razporedb Permutacije brez ponavljanja n! – ‘n fakulteta’, ‘n faktorsko’, ‘n faktorialno’ n! 0! = 1

Primeri Učenci v kolone 5 mestna števila (prvih pet in zadnjih pet po leksikografski oz. slovarski ureditvi) Športniki v barvnih oblačilih

Permutacije kot preslikave Vsaka bijektivna preslikava končne množice nase je permutacija. Poljubno končno množico z močjo n na natančno n! načinov bijektivno preslikamo nase. Grafi permutacij

Permutacije s ponavljanjem Razporedb dolžine n, v katerih na k mestih nastopa enak objekt (ostali pa so od njega in med seboj različni), je k! manj, kot bi bilo permutacij n različnih objektov. Kaj, če se ponavljajo različni objekti v dani skupini n objektov? Primeri: Koliko je permutacij (razporedb) črk besede MATEMATIKA? Športniki v barvnih oblačilih

Variacije - tudi pri variacijah gre za linearno urejanje elementov, vendar tokrat ne jemljemo vseh elementov, ampak samo neko podmnožico, npr. r od n elementov. Variacije brez ponavljanja Primer: variacije reda 5, ki jih sestavimo iz števk 0 – 9.

n 1 (n-1) 2 (n-2) 3 (n-3) 4 … (n-r+1) r Če produkt pomnožimo z (n-r)(n-r-1)… 2. 1 in tudi delimo, dobimo: (Enak izračun dobimo po osnovnem izreku kombinatorike. )

Če je n = r … Variacije s ponavljanjem Primer: variacije reda 5, ki jih sestavimo iz števk 0 – 9. 00000, 00001, 00002, 00003… (Za vsakega od predalčkov imamo na voljo n elementov. )

Variacije s ponavljanjem: Primer: Koliko trimestnih števil iz števk 1, 3, 5, 7 in 9 je manjših od 600? (v obeh primerih: ko se števke lahko ponavljajo in ko se ne)

Kombinacije - variacije, pri katerih vrstni red ni pomemben Primer: Kombinacije reda 3 iz elementov A, B, C, D n Izpeljava splošnega zapisa za število kombinacij brez ponavljanja ( ). n Binomski simbol

Kombinacije s ponavljanjem Primer: Mama ima 4 otroke. Zastavi jim tri naloge. Na koliko načinov lahko razporedi naloge med otroke?